离散数学 教案 集合论—基本概念部分(2)

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Discrete Mathematics 关于对称差的一些性质: 关于对称差的一些性质 交换律： ⊕ 交换律：A⊕B=B⊕A A ⓧ B=B ⓧ A ⊕ 结合律： ⊕ ⊕ 结合律：(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C) ⊕ ⊕ (AⓧB)ⓧC=A ⓧ(BⓧC) ∩对⊕的分配律：A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C) 对 的分配律： ∩ ⊕ ∩ ⊕ ∩ 的分配律： ∪ ∪对ⓧ的分配律： A∪(B ⓧ C)=(A∪B) ⓧ(A∪C) ∪ ∪ 同一律： ⊕∅=A 同一律： A⊕∅ ⊕∅ 零律： A⊕A=∅ A ⓧ A=U 零律： ⊕ ∅ A⊕(A⊕B)=B （A⊕(A⊕B)=(A⊕A)⊕B=∅⊕ ⊕ ⊕ ∅⊕B=B ） ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ∅⊕
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Discrete Mathematics 某班有25个学生 其中14人会打篮球 个学生， 人会打篮球， 人会 例 某班有 个学生，其中 人会打篮球，12人会 打排球， 人会打篮球和排球 人会打篮球和排球， 人会打篮球和网球 人会打篮球和网球， 打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球， 还有2人会打这三种球， 还有 人会打这三种球，而6个会打网球的人都会打 人会打这三种球 个会打网球的人都会打 另外一种球(指篮球或排球 ， 另外一种球 指篮球或排球)，求不会打这三种球的 指篮球或排球 人数。 人数。 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A， 解 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为 ， B和C，则有 和 ， |S|=25； |A|=12； |B|=6； |C|=14； ； ； ； ； |A∩C|=6； |B∩C|=5； |A∩B∩C|=2； ； ； ； 现在求| 现在求|A∩ B|: |
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第三章 集 合
3.4 有限集合的计数
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Discrete Mathematics 通常用|A|来表示有限集合 中所含元素的个数 通常用 来表示有限集合A中所含元素的个数。 来表示有限集合 中所含元素的个数。 也称为基数 基数（ 集合中所含元素的个数 ，也称为基数（势）。 性质： 性质：1. 当A∩B=∅时，则A∪B=A+B ∩ ∅ ∪ 2.当A∩B=∅时，A∩B=0，A-B=A 当 ∩ ∅ ∩ ， 3.当B⊆A时，A∪B=A，A∩B=B 当 ⊆ 时 ∪ ∩ A-B=A-B 4. A∪B=A+B-A∩B ∪ ∩
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Discrete Mathematics 关于幂运算，具有以下性质： 关于幂运算，具有以下性质： A⊆B ⇔ρ(A) ⊆ρ(B) ⊆ ρ(A) ∪ρ(B) ⊆ρ(A∪B) ∪ ρ(A∩B)= ρ(A) ∩ρ(B) （留作习题） ∩ 留作习题）
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Discrete Mathematics 上述公式也可表示为： 上述公式也可表示为：
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Discrete Mathematics 更一般地成立以下公式： 更一般地成立以下公式：
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Discrete Mathematics 之间能被2， ， 任一数整除的整数个数 任一数整除的整数个数。 例 求1到500之间能被 ，3，7任一数整除的整数个数。 到 之间能被 间分别能被2， ， 整除的整数集合为 整除的整数集合为A， 解 ： 设 1到500间分别能被 ， 3，7整除的整数集合为 ， 到 间分别能被 B，C，则有： ， ，则有： A=[500/2]=250； B=[500/3]=166； ； ； C=[500/7]=75；A∩B=[500/(2*3)]=83； ； ∩ ； A∩C=[500/(2*7)]=35; ∩ B∩C=[500/(3*7]]=23； ∩ ； A∩B∩C =[500/(2*3*7)]=11 ∩ ∩ ∴A∪ ∪ ∩ ∩ ∴ ∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩CA∩C+A∩B∩C=250+166+71-83-35=23+11=357 ∩ ∩ ∩
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Discrete Mathematics 一般说来二重组具有以下特点： 一般说来二重组具有以下特点： 二重组具有以下特点 1. 二重组中的元素是有次序的。当x≠y时， 二重组中的元素是有次序的。 时 <x,y>≠<y,x>。 。 2. 两个二重组相等，即<x,y>=<u,v>的充分必要 两个二重组相等， 的充分必要 条件是x=u且y=v。 条件是 且 。
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Discrete Mathematics 已知A∪ 例2. 已知 ∪B=A∪C，A∩B=A∩C，求证 ∪ ， ∩ ∩ ，求证B=C 证明： 证明：B=B∩(A∪B) ∩ ∪ =B∩(A∪C) ∩ ∪ =(B∩A)∪(B∩C) ∩ ∪ ∩ =(A∩C)∪(B∩C) ∩ ∪ ∩ =(A∪B)∩C ∪ ∩ =(A∪C)∩C ∪ ∩ =C 证毕。 证毕。
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Discrete Mathematics 性质4推广： 性质 推广： 推广 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C∪ ∪ ∩ ∩ B∩C+A∩B∩C ∩ ∩ ∩ 一般地成立以下公式： 一般地成立以下公式：
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Discrete Mathematics 集合基本运算律的应用举例 求证： 例1. 求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ∪ ∩ 证明：左边 ∩∼ ∩∼(B∪ 证明：左边=A∩∼ ∪C) =A∩(∼B∩∼ ∩ ∼ ∩∼ ∩∼C) （德摩根律） 德摩根律） =A∩∼ ∩A∩∼ （幂等律、交换律） ∩∼B∩ ∩∼ ∩∼C 幂等律、交换律） ∩∼ =(A-B)∩(A-C) ∩ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。
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(分配律 分配律) 分配律
(已知代入) (已知代入) 已知代入
∀x∈C ⇒x∈(A∩B)∪C ∈ ∈ ∩ ∪
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Discrete Mathematics 试证： ∪ 例4. 试证：(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) ∩ ∪ 证明：左边 ∩∼(A∩ 证明：左边=(A∪B)∩∼ ∩B) ∪ ∩∼ =(A∪B)∩(∼A∪∼ ∪ ∩ ∼ ∪∼ ∪∼B) =∅∪ ∩∼ ∪(B∩∼ ∪∅ ∅∪(A∩∼ ∩∼A)∪∅ ∅∪ ∩∼B)∪ ∩∼ =(A-B)∪(B-A) ∪ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。 (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 =(A∩∼ ∪(A∩∼ ∪(B∩∼ ∪(B∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B)∪ ∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B) (分配律 分配律) ∩∼ 分配律 (互补律 互补律) 互补律
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第三章 集 合
3.5 集合的笛卡尔乘积
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Discrete Mathematics 一、二重组（序偶） 二重组（序偶） 由两个元素x和 允许 允许x=y)按一定的顺序排 定义 由两个元素 和y(允许 按一定的顺序排 列成的二元组叫做一个二重组(也称序偶)， 也称序偶 列成的二元组叫做一个二重组 也称序偶 ，记作 <x，y>。其中是 称为二重组的第一个分量，y是 称为二重组的第一个分量 ， 。其中是x称为二重组的第一个分量， 是 第二个分量。 它的第二个分量 它的第二个分量。 平面直角坐标系中点的坐标就是二重组。 平面直角坐标系中点的坐标就是二重组。 二重组 例如： ， ， ， ， ， ， 都代表 例如：<1，-1>，<-1，1>，<1，1>， …都代表 坐标系中不同的点。 坐标系中不同的点。
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Discrete Mathematics 证明吸收律： ∩ ∪ 证明吸收律：A∩(A∪B)=A 证明： ∩ ∪ 证明：A∩(A∪B) =(A∪∅ ∩(A∪B)（同一律） ∪∅)∩ ∪ （同一律） ∪∅ =A∪(∅∩ ∪ ∅∩ ∅∩B) =A∪∅ ∪∅ =A （分配律） 分配律） （零一律） 零一律） （同一律） 同一律）
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Discrete Mathematics 证明（德摩根律）：∼ ∩∼B 证明（德摩根律）：∼（A∪B）=∼A∩∼ ）： ∪ ） ∼ ∩∼ (1) ∀x∈∼ (A∪B) ∈∼ ∪ ⇒x∉A∪B ∉ ∪ ⇒x∉A∧x∉B ∉ ∧ ∉ ⇒x∈∼ ∧x∈∼ ∈∼A∧ ∈∼ ∈∼B ∈∼ ⇒x∈∼ ∩∼B ∈∼A∩∼ ∈∼ ∩∼ ⊆∼A∩∼ ∴∼ (A∪B)⊆∼ ∩∼ ∪ ⊆∼ ∩∼B (2) ∀x∈∼ ∩∼ ∈∼A∩∼ ∈∼ ∩∼B ∈∼A∧ ∈∼ ∈∼B ⇒x∈∼ ∧x∈∼ ∈∼ ⇒x∉A∧x∉B ∉ ∧ ∉ ⇒x∉A∪B ∉ ∪ ⇒x∈∼ (A∪B) ∈∼ ∪ ∴∼A∩∼ ⊆ ∴∼ ∩∼B⊆ ∼(A∪B) ∩∼ ∪ 由(1)(2)得: 得 ∩∼B ∼(A∪B)= ∼A∩∼ ∪ ∩∼
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第三章 集 合
3.3 集合的基本运算律
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Discrete Mathematics 交换律： ∪ 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A ∪ ， ∩ ∩ 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ∪ ∪ (A∩B)∩ C=A(B∩ C) ∩ ∩ ∩ 分配律： ∪ ∩ 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ∪ ∩ ∪ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ 等幂律： ∪ 等幂律：A∪A=A，A∩A=A ， ∩ 同一律： ∪∅ ∪∅=A， ∩ 同一律：A∪∅ ，A∩U=A 零一律： ∩∅ ∩∅=∅ 零一律：A∩∅ ∅，A∪U=U ∪
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(吸收律 吸收律) 吸收律 (已知代入 已知代入) 已知代入 (分配律 分配律) 分配律 (已知代入 已知代入) 已知代入 (分配律 分配律) 分配律 (已知代入 已知代入) 已知代入 (吸收律 吸收律) 吸收律
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Discrete Mathematics 求证： ∩ ∪ 例3. 求证：(A∩B)∪C=A∩(B∪C)的充要条件是 ∩ ∪ 的充要条件是 C⊆A。 ⊆ 。 证明： 充分性 充分性) 证明：(充分性 ∵ C⊆A ⊆ ∴A∪C=A ∪ ∴(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) ∩ ∪ ∪ ∩ ∪ =A∩(B∪C) ∩ ∪ (必要性 必要性) 必要性 ∵ (A∩B)∪C=A∩(B∪C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∴x∈A∩(B∪C) ∈ ∩ ∪ ∈ ⊆ 。 ∴x∈A ∴C⊆A。
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Discrete Mathematics 补余律： ∩∼ ∩∼A=∅ ∪∼A=U 补余律：A∩∼ ∅，A∪∼ ∪∼ 吸收律： ∪ ∩ 吸收律：A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A ∩ ∪ 摩根律： ∩∼B 德.摩根律：∼(A∪B)=∼A∩∼ 摩根律 ∪ ∼ ∩∼ ∪∼B ∼(A∩B)=∼A∪∼ ∩ ∼ ∪∼ 双重否定律： ∼ 双重否定律：∼(∼A)=A A-B=A∩∼ ∩∼B ∩∼ 以上定律均可用集合相等的定义或已知运算律 相互来证明。 相互来证明。
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Discrete Mathematics 因为会打网球的人都会打另一种，即篮球或排 因为会打网球的人都会打另一种， 球，而其中会打篮球的有5人，那么另一个人 而其中会打篮球的有5 肯定会打排球但不会打篮球。 肯定会打排球但不会打篮球。再加上会打三种 球的2 球的2人，共有3人会打排球和网球。 共有3人会打排球和网球。 即|A∩ B|=3。 B|=3。 于是， 于是，有：