离散数学 教案 集合论—基本概念部分(2)
《离散》公开课教案
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离散公开课教案
一、教学目标
- 了解离散数学的基本概念和应用领域。
- 掌握离散数学中常用的逻辑、集合论和图论等基础知识。
- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容
1. 离散数学简介
- 离散数学的定义和作用
- 离散数学在计算机科学、信息技术等领域的应用
2. 逻辑与命题
- 逻辑与命题的基本概念
- 命题的逻辑运算（与、或、非）
- 命题的真值表和推理规则
3. 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的基本运算（交、并、差、补）
- 集合的性质和特征
4. 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）
- 常见的图算法（深度优先搜索、广度优先搜索）
三、教学方法
1. 授课讲解：通过讲解离散数学的基本概念和原理，帮助学生建立起相关知识框架。
2. 例题演示：通过解析一些典型的例题，引导学生掌握离散数学的基本方法和技巧。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生在合作中研究、思考和解决问题。
4. 实践应用：通过实际问题的应用，让学生将离散数学的知识应用到实际情境中去。
四、教学评价
1. 每节课结束后进行小测验，检查学生对当堂课程的掌握情况。
2. 课堂参与度：评估学生在讨论和实践环节中的积极参与度。
3. 作业完成情况：评估学生对作业内容的完成情况和质量。
五、参考资料
1. 《离散数学导论》
2. 《离散数学（第2版）》
3. 《离散数学及其应用》
注：以上教案仅供参考，具体教学内容和方法可根据实际情况
进行调整。
(完整word版)《离散数学》教案详解
《离散数学》教案第一章集合与关系集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。
集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。
G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。
1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。
1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。
1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。
然而，朴素集合论中包含着悖论。
第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。
1901年罗素发现了有名的罗素悖论。
1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。
集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。
另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。
哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。
现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
一、学习目的与要求本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。
通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运算方法，为学习后续章节打下良好基础。
二、知识点1．集合的基本概念与表示方法；2．集合的运算；3．序偶与笛卡尔积；4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；5．关系的性质，符合关系、逆关系；6．关系的闭包运算；7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；8．序关系、偏序集、哈斯图。
三、要求1．识记集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、对称关系、传递关系的识别，复合关系、逆关系的识别。
2．领会领会下列概念：两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证明。
离散数学教案
离散数学教案一、教案引言离散数学作为计算机科学及相关领域的基础学科，对培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力具有重要作用。
本教案旨在介绍离散数学课程的重点内容和教学方法，以帮助教师在教学中实现教学目标，提高学生的学习成效。
二、教学目标1. 了解离散数学的基本概念和方法，包括集合论、逻辑推理、图论等内容；2. 掌握离散数学的基本技能，包括集合的运算、证明方法、图的遍历等；3. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力，培养学生的数学建模能力；4. 提高学生的团队合作和沟通能力，培养学生的创新意识。
三、教学内容1. 集合论1.1 集合与元素1.2 集合的运算1.3 集合的关系1.4 集合的应用2. 逻辑与证明2.1 命题与命题联结词2.2 命题的真值与命题的合取、析取、蕴含、等价关系2.3 命题逻辑的推理定律2.4 命题与谓词的等价关系2.5 谓词逻辑的推理定律3. 图论3.1 图的概念与性质3.2 图的表示方法3.3 图的遍历算法3.4 图的连通性与最小生成树3.5 图的应用四、教学方法1. 概念讲解与例题演练相结合：通过简洁清晰的讲解，引导学生理解离散数学的基本概念和方法，并通过大量的例题演练巩固学生的知识掌握能力。
2. 问题引导与探究学习：引导学生通过解决实际问题来理解和应用离散数学的原理和方法，培养学生的问题解决能力和数学建模能力。
3. 团队合作与讨论学习：组织学生进行小组活动，鼓励学生在团队合作中分享思路、互相讨论、共同解决问题，培养学生的合作意识和沟通能力。
4. 案例分析与实践应用：选取具体的案例，让学生将离散数学的知识应用于实际问题中，提升学生的学习兴趣和创新意识。
五、教学评估与反馈1. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对离散数学知识的掌握情况，及时发现和纠正学生的错误和不足。
2. 作业评定：通过布置作业并进行评定，评估学生对离散数学知识和方法的应用能力和问题解决能力。
3. 课后讨论与反馈：鼓励学生课后进行小组讨论，并提供及时的反馈和指导，加深学生对重点内容的理解和掌握程度。
《离散数学》电子教案
第一章集合论一、教学内容及要求授课学时：2教学内容1.1 集合的基本概念集合的概念及其表示；集合与集合之间的包含、真包含和相等关系的定义，数学描述及判定和证明方法；空集、全集和幂集三个特殊集合的定义、性质以及幂集的计算算法。
1.2 集合的运算集合运算的定义、性质及证明1.3 无限集可数集合和不可数集合的概念。
1.4 与集合相关的应用与集合相关的简单应用实例。
基本要求1）能正确地用枚举法或叙述法表示一个集合，会画文氏图。
2）能判定元素与集合的属于关系。
3）能利用集合与集合关系的判定与证明方法证明两个集合之间的包含、相等、和真包含的关系。
4）能熟练计算集合之间的并、交、差、补运算，掌握集合运算的定律；5）能熟练地计算P(A)。
6）理解集合的归纳法表示。
7）理解集合的对称差运算。
8）了解集合的递归指定法表示。
9）了解无限集的基本概念。
10）了解集合的简单应用。
能力培养通过课堂讲解和课后实践作业，培养学生的抽象思维和问题解决能力。
二、教学重点、难点及解决办法教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。
教学难点：从集合与元素两个角度去分析集合；集合与集合关系的证明和无限集基数的理解。
解决办法：1）在教学过程中，为了加强学生对一个集合“双重身份”的理解，可以通过实例教学法，让学生具体体会一个集合的“双重身份”带来的问题及解决办法；2）对于新概念—幂集，让学生编程实现求一个集合的幂集，从而加深对幂集的理解。
初步建立学生的发散思维能力以及实际动手编写程序的能力。
三、教学设计从集合伦论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。
从集合的定义入手，结合高中阶段对集合的认识，指出当时定义存在的不足，提出新的定义方法；重点介绍大学阶段学习集合的主要意义和内容，关注重点概念的理解；介绍属于关系与包含关系之间的区别与联系，特别是一个集合“双重身份”的理解；强调集合的基本运算，特别是幂集的计算；集合与集合包含、真包含和相等关系的数学描述及相应的证明方法。
离散数学教案-第一部分集合概念
第一章集合概念§1 集合及其表示法一、集合的定义1、集合：任一确定的物体的全体，常用大写字母表示。
如：A，B，C，…。
2、元素：集合中的物体，常用小写字母表示。
如：a, b, c,…。
注：（1）集合中的元素是确定的；（2）集合中的元素是无序的；（3）集合中的元素是互异的3、集合与元素之间的关系A 是一个集合，a 是一个元素，则（ⅰ）若a 在A 中，则称a属于A ，记为a∈A；（ⅱ）若a不在A 中，则称a不属于A，记为a∉A；例1 、A＝{1，3，5，7}，则1∈A，2∉A。
4、集合的表示方法1）列举法：逐一写出集合中的全部元素。
如：小于10的素数的全体A＝{2，3，5，7}适合于集合中元素的个数是有限的情形。
2）部分列举法：写出集合中前几个元素，其余元素用“…”表示。
如：正整数的全体A＝{1，2，3，4，…}自然数的全体A＝{0，1，2，3，4，…}适合于集合中的元素有规律的情形（有限集或无限集）3）隐式法，我们不便或不可能用列出集合中的全部元素的方法来描述集合时，常采用此方法。
即：找出集合中全体元素所具有的共同性质（properties），记为P（x），集合就用P（x）来定义，记为{x | P（x）}。
这意味着：该集合中的元素必须满足性质P（x），满足性质P（x）的元素必须在该集合中。
如：A＝{x | x是素数且x 小于10}4）归纳法：用这种方法描述非空集合A由三步组成，（1）归纳基础：找出某些元素属于A（A非空）。
（2）归纳步：给出一组规则，使得从这组规则出发构造的元素仍然属于A。
（3）极小化：如果有S⊆A，且满足（1）和（2），则S=A。
例：用归纳定义法描述集合N={0，1，2，3，4，…}5、常用的集合记号（several sets and their notations）Z+＝{x | x 是正整数} 即Z+＝{1，2，3，4，…}N＝{ x | x 是正整数或0} 即N＝{0，1，2，3，4，…}Z＝{ x | x 是整数} 即Z＝{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}Q＝{ x | x 是有理数} 即Q中的元素可以写成a/b 的形式，a, b 是整数，b≠0R ＝{ x | x 是实数}Φ 是空集，即不含任何元素的集合 举例6、集合的相等若集合A 和 集合B 有相同的元素，则称集合A 与 集合B 相等记为 A ＝B 。
离散数学PPT教学课件 集合论ppt2
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3/2[12]…
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3/3…
3/4[13]…
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所以，有理数集合必是可数集合。
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习题类型
1. 基本概念题：涉及集合的表示；
2. 判断题：涉及元素与集合、集合与集合间的关 系； 3. 计算题：涉及集合的运算和幂集的计算； 4. 证明题：涉及集合相等以及集合间包含关系的 证明。
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可数集合(可列集）
定义 1.3.2 凡是与自然数集合等势的集合， 统称为可数集合 ( 可列集 )(Countable Set ) 。可 数集合记为：א0 (读作阿列夫零) 。
例1.3.1 下列集合都是可数集合： 1)O+＝{x|xN，x是正奇数}; 2)P＝{x|xN，x是素数}; 3)有理数集合Q.
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定理1.3.1
两个有限集合等势当且仅当它们有相同 的元素个数； 有限集合不和其任何真子集等势；
可数集合可以和其可数的真子集等势。
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不可数集合
定义1.3.3
开区间 (0,1) 称为不可数集合，其基数设为 (א读作阿列夫)；
凡是与开区间 (0,1) 等势的集合都是不可数 集合。
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1.4
离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论
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• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
• • |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
• •|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i＜j≤n
1≤i＜j＜k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n－＝1∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• （1）一个基本概念——函数的基本概念。
•
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；
以及y＝f（x）。
•
（2）三种不同性质函数：
•
• 满射与内射
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学第三章-集合的基本概念和运算
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例5、证明： A B A 证明：对任意 x ，
xAB
B (第14条)
xAxB
xAxB
xA B 故 AB A B
30
例6、证明 A (B A) A B 。 证明： A (B A) A (B A)
(A B) (A A) (A B) E A B
31
例7、化简 (A B C) (A B)
A B A AB
此式给出了A是B的子集的3种等价定义。不仅提供 了证明子集的新方法，也可以用于集合公式的化简。28
除基本运算外，还有以下一些常用性质 (证明略)
16、 A B B A
“ ”的交换律
17、(A B) C A (B C) “ ”的结合律
18、 A A
19、 A A
20、 A B AC B C
A {a1, a2, an} 表示集合 A 含有元素 a1, a2, an
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注意： (1) a A或 a A
(2) 集合中的元素均不相同
{a,b,c},{a,b,b,c},{c, a,b}
表示同一个集合。 (3) 集合的元素可以是任何类型的事物，
一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如：A a,{b,c},b,{b}
1元子集：{a},{b},{c} (共C31 3个)， 2元子集：{a,b},{a, c},{b, c}(共 C32 3个)， 3元子集：{a,b, c} (共 C33 1个)。 一般，n 元集共有子集 Cn0 Cn1 Cnn （11）n 2n 个。
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定义2 ：集合 A 的幂集，记 ( A) ,是 A的全体子集的集合 例5、 A {a,b,c} ，求 (A) 。 解：(A) {,{a},{b},{c},{a,b},
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件一、引言1.1 离散数学的概念离散数学是研究离散结构及其性质的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用计算机科学：图论在网络设计、算法分析中的应用，集合论在数据结构设计中的应用等。
数学逻辑：计算机程序设计中的逻辑判断，布尔代数在电路设计中的应用等。
二、集合论2.1 集合的基本概念集合的定义：由明确的元素构成的整体。
集合的表示法：列举法、描述法。
2.2 集合的运算并集、交集、补集的定义及运算性质。
集合的幂集。
三、逻辑与布尔代数3.1 命题逻辑命题、联结词、复合命题的真值表。
命题逻辑的推理规则。
3.2 谓词逻辑个体、谓词、量词。
谓词逻辑的推理规则。
3.3 布尔代数布尔代数的基本运算：与、或、非。
布尔表达式的化简。
四、图论4.1 图的基本概念图的定义：节点和边的集合。
无向图、有向图、多重图、加权图等。
4.2 图的运算图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
图的连通性：强连通、弱连通。
4.3 特殊图二分图、树、路径、圈。
网络流、最短路径问题。
五、组合数学5.1 排列组合排列、组合的定义及计算公式。
分布计数原理。
5.2 计数原理鸽巢原理、包含-排除原理。
二项式定理、多项式定理。
5.3 组合设计区块设计、拉丁方、Steiner系统等。
组合设计的性质和构造方法。
《离散数学教案》课件六、数理逻辑与计算逻辑6.1 数理逻辑的基本概念命题、联结词、逻辑代数。
真值表和逻辑等价式。
6.2 计算逻辑形式语言和自动机。
编译原理中的逻辑分析。
七、组合设计与编码理论7.1 组合设计的基本概念区块设计、拉丁方、Steiner系统。
组合设计的性质和构造方法。
7.2 编码理论线性码、循环码、汉明码。
编码的纠错能力和应用。
八、图的同态与同构8.1 图的同态图的同态的定义和性质。
同态定理和同态的应用。
8.2 图的同构图的同构的定义和性质。
同构定理和同构的应用。
九、树与森林9.1 树的基本概念树的定义和性质。
离散数学教案集合论―基本概念部分(2)精品PPT课件
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第三章 集 合
3.4 有限集合的计数
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通常用|A|来表示有限集合A中所含元素的个数。 集合中所含元素的个数 ，也称为基数（势）。 性质：1. 当AB=时，则AB=A+B
2.当AB=时，AB=0，A-B=A 3.当BA时，AB=A，AB=B
15 计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 更一般地成立以下公式：
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Discrete Mathematics 例 求1到500之间能被2，3，7任一数整除的整数个数。
解：设1到500间分别能被2，3，7整除的整数集合为A， B，C，则有：
=(AC)(BC) (已知代入)
=(AB)C
(分配律)
=(AC)C
(已知代入)
=C
(吸收律)
证毕。
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Discrete Mathematics
例3. 求证：(AB)C=A(BC)的充要条件是 CA。
证明：(充分性) ∵ CA AC=A
(AB)C=(AC)(BC) (分配律) =A(BC) (已知代入)
2.当A≠B，且A、B都不是空集时，有：A×B≠B×A。
3.当A、B、C都不是空集时，有：
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离散数学教程集合的基本概念
离散数学教程集合的基本概念标题：离散数学教程——集合的基本概念离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学中离散对象的性质和结构。
在这些离散对象中，集合是最基本的概念之一。
集合是由一些互不相同的、可以区分的对象组成的整体，这些对象可以是数字、字母、图形等。
在离散数学中，集合的概念被广泛地应用于各种不同的领域，包括计算机科学、信息论、统计学等。
一、集合的基本定义1、集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象可以是任何类型，如数字、字母、图形等。
2、集合中的对象必须是互不相同的，即集合中的每个对象都是独一无二的，不能有两个或更多的对象重复。
3、集合的元素具有可区分性，即可以根据一定的规则或性质将集合中的对象区分开来。
二、集合的表示在数学中，通常用大写字母来表示集合，如A、B、C等。
如果集合中有多个元素，则可以用列举法或描述法来表示集合。
1、列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，用大括号括起来。
例如，A={1, 2, 3}表示集合A包含1、2和3这三个元素。
2、描述法：用特定的符号或语言来描述集合的性质或特征。
例如，B={x|x是正方形}表示集合B包含所有的正方形。
三、集合的运算在离散数学中，集合的运算是最基本的概念之一。
常见的集合运算包括交集、并集、补集等。
1、交集：如果集合A和B的元素都有共同的属性或特征，则称A和B有交集。
记作A∩B或A.B，表示A和B的交集。
2、并集：如果集合A和B的所有元素都属于另一个集合C，则称A 和B的并集为C。
记作A∪B或A.B，表示A和B的并集。
3、补集：如果集合A中存在一些不属于B的元素，则称B为A的补集。
记作∁AB，表示A的补集。
四、集合的性质1、空集：没有任何元素的集合称为空集。
记作∅。
空集是所有集合的子集。
2、全集：包含所有可能元素的集合称为全集。
记作U。
全集是所有集合的超集。
3、幂集：给定一个集合A，A的幂集是指包含A的所有子集的集合。
记作P(A)。
4、子集：如果一个集合B的所有元素都属于另一个集合A，则称B为A的子集。
离散数学 教案 第3章 集合
当n无限增大时，可以记为
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例1 集合A={x-2＜x＜2，xR}， B={x0≤x≤4,xR}
求A∪B，A∩B 。 解：A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR} ={x-2＜x≤4,xR} A∩B={x-2＜x＜2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x＜2,xR}
把集合的所有元素写在花括号内，元素之间用逗 号分开；一般用于有限集和有规律的无限集合。
2.描述法 用谓词来概括集合中元素的属性。通常用 { xA(x)}来表示具有性质A的一些对象组成的集合。
例：D={(x,y)x2+y2≤1∧x∈R∧y∈R}
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Discrete Mathematics 常用集合的表示方法和表示符号 （1）自然数集N={0，1，2，…}
由定义可知，广义交和广义并是针对集族而言的， 对于非集族来说，其广义交和广义并为空集。
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Discrete Mathematics 下面以n个集合为例说明：
例如：
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Discrete Mathematics 可以把n个集合的并和交简记为: 和 ，即:
（2）整数集合I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）有理数集合Q={xx=Pq∧p,qZ}
（4）实数集合R={ x x是实数
（5）复数集合C={x x=a+bi∧a,bR∧i2=-1}
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3. 归纳定义法
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件一、引言1. 课程介绍离散数学的概念：研究离散结构及其相互关系的数学分支课程目标：培养学生掌握离散数学的基本概念、原理和方法，提高解决问题的能力2. 课程内容离散数学的主要内容：集合论、图论、逻辑、组合数学、数理逻辑等各章节安排：第一章：集合论第二章：图论第三章：逻辑与数理逻辑第四章：组合数学第五章：算法与复杂性二、集合论1. 集合的基本概念集合的定义：由不同元素构成的整体集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等2. 集合的关系子集、真子集、非空子集的定义与性质集合的幂集及其性质3. 集合的运算并、交、补集的定义与运算规律集合的德摩根定理4. 应用实例集合的表示与运算在计算机科学中的应用集合论在图论、逻辑等领域中的应用三、图论1. 图的基本概念图的定义：由顶点集合和边集合构成的数学结构图的表示方法：邻接表、邻接矩阵等2. 图的性质与分类无向图、有向图、weighted 图的定义与特点连通性、路径、圈的概念及性质3. 图的算法深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）算法最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法最小树算法：Prim算法、Kruskal算法4. 应用实例图论在网络优化、社交网络、交通规划等领域中的应用图论在计算机科学中的重要作用，如图灵机、网络流等四、逻辑与数理逻辑1. 命题逻辑命题与命题联结词的概念逻辑推理规则：蕴含、逆否、德摩根定理等命题逻辑的等值转换与推理2. 谓词逻辑量词：全称量词、存在量词谓词与谓词联结词：合取、析取、非、蕴含等谓词逻辑的等值转换与推理3. 数理逻辑公理化逻辑：ZF公理体系形式演算：命题演算、谓词演算逻辑电路与布尔代数4. 应用实例逻辑在计算机科学中的应用：逻辑门、逻辑电路、计算机网络中的协议等数理逻辑在数学基础研究中的应用五、组合数学1. 组合数学的基本概念组合与排列的概念及其区别组合数的计算公式：二项式定理、组合恒等式等2. 组合计数原理鸽巢原理、包含-排除原理、函数等计数方法3. 图的着色问题顶点着色、边着色及其相关性质着色问题的算法及其复杂性分析4. 应用实例组合数学在计算机科学中的应用：算法设计、数据结构等组合数学在其他领域中的应用，如运筹学、统计学等六、算法与复杂性1. 算法的基本概念算法的定义：解决特定问题的步骤序列算法的特性：输入、输出、确定性、有穷性2. 算法设计技巧贪心算法、动态规划、分治法、回溯法等设计方法递归算法的概念与实现3. 算法分析与评价时间复杂度分析：大O符号、主定理等空间复杂度分析算法的效率与优化4. 应用实例排序算法：冒泡排序、快速排序、归并排序等搜索算法：线性搜索、二分搜索等算法在实际问题中的应用案例七、数理逻辑与集合论的应用1. 数理逻辑在计算机科学中的应用形式语言与自动机理论编译原理中的逻辑方法程序正确性证明2. 集合论在计算机科学中的应用数据结构：集合、映射、函数等数据库理论：关系模型、SQL语言等计算复杂性理论：问题的可计算性分析3. 应用实例计算机网络中的逻辑运算与协议设计软件工程中的需求分析与规格说明中的知识表示与推理八、图论的应用1. 社会网络分析社交网络中的图模型网络中心性指标：度中心性、介数中心性等社群发现与网络演化分析2. 网络流与最优化问题最大流与最小费用流问题匹配问题与网络设计运输问题与物流优化3. 应用实例交通网络中的路径规划与拥堵分析电信网络中的资源分配与调度生物信息学中的基因调控网络分析九、组合数学的应用1. 组合设计拉丁方、Steiner系统、区块设计等组合设计组合设计在编码理论、通信系统中的应用2. 排列组合在概率论中的应用随机事件的概率计算条件概率与贝叶斯定理随机过程的基本概念3. 应用实例彩票号码组合与概率分析统计学中的样本设计运筹学中的排程与调度问题十、总结与展望1. 离散数学在计算机科学中的重要性离散数学作为计算机科学基础的必要性离散数学在各个领域的应用趋势2. 离散数学的发展与挑战离散数学的新兴研究领域离散数学在理论与应用之间的桥梁作用3. 离散数学的未来方向离散数学在、大数据、云计算等领域的融合与应用离散数学教育与研究的挑战与机遇重点和难点解析一、集合论1. 集合的基本概念与表示方法：理解集合的定义及其表示方法是离散数学的基础。
《离散数学课件》1-2集合的基本概念
集合与元素的关系
如果 a是集合A 的一个元素，就叫做 a属于 集合A，这时记为 a∊A 。 如果 a不是集合A中的一个元素，就叫做a 不属于A ，这时记为a∉A 。 对于任给的一个对象a和任给的一个集合A， 或者a属于A，或者 a不属于A， 二者必居其一，不可得兼。
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隶属关系的层次结构
若A⊆B且A≠B ， 说A是B 的真子集，记为A⊂B 。
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命题2：空集是唯一的。
证明：设 Ø1，Ø2 是两个空集合。 由命题1， Ø 1⊆ Ø 2 且 Ø2⊆Ø1 故 Ø1 = Ø2
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集合之间的关系
包含（子集） A B x (xA xB)
不包含 相等 不相等 真包含 不真包含 A ⊈ B x (xA xB) A=BABBA AB ABABAB AB
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6.2 集合的基本运算
6.2.1 集合的并、交、差 6.2.2 集合的对称差 6.2.3 文氏图 6.2.4 集合的幂集合 6.2.5 多个集合的并与交
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并运算：A∪B
A∪B={x │x∊A或x∊B}
其元素是所有的或者属于集合A，或者属于集 合B的元素组成。
A∪B
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交运算： A∩B
③数0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 可以组成一个集合, 阿拉 伯数字集。 ④数0，1, 3, 4可以组成一个集合。 ⑤二十六个英文字母可以组成一个集合, 英文字母集
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一、集合与元素
集合：某些确定的、能够区分的对象的聚合。 元素：组成一个集合的那些对象称为这一集合 的元素和成员。 用大写字母代表集合， 用小写英文字母代表集合的元素。
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离散数学教案
离散数学教案教案：离散数学概论教学目标：1.使学生了解离散数学的基本概念和方法。
2.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
3.帮助学生将离散数学的知识应用到实际问题中。
教学内容：1.真值逻辑与命题逻辑2.集合论与其运算3.二元关系与其属性4.递归与归纳5.图论与树论基础6.组合数学与概率论教学重难点：1.对学生来说，最难的可能是理解集合论和命题逻辑的基本概念和运算规则。
2.理解递归和归纳的思想和方法。
3.运用图论和树论的基础概念解决实际问题。
教学过程：第一课时：真值逻辑与命题逻辑（60分钟）1.真值表与命题的逻辑运算（10分钟）-介绍命题逻辑的基本概念和真值表的作用。
-教授真值表的构建方法和命题的逻辑运算规则。
2.命题逻辑的推理法则（20分钟）-介绍命题逻辑的推理法则，如合取范式、析取范式、蕴含式等。
-给出一些例子，帮助学生理解和应用这些推理法则。
3.应用实例：判断命题的真假（30分钟）-提供一些具体的例子，让学生通过构建真值表来判断命题的真假。
-引导学生思考如何通过命题逻辑的推理法则来判断复杂命题的真假。
第二课时：集合论与其运算（60分钟）1.集合的基本概念（10分钟）-介绍集合的定义和表示方法。
-引导学生通过例子理解集合的基本概念。
2.集合的运算（20分钟）-教授集合的运算，包括交集、并集、差集和补集。
-给出一些具体的例子，让学生通过集合运算来解决问题。
3.应用实例：集合的应用问题（30分钟）-提供一些实际问题，让学生通过集合的运算来解决。
-引导学生思考如何应用集合论解决实际问题。
第三课时：二元关系与其属性（60分钟）1.二元关系的定义（10分钟）-介绍二元关系的基本概念和定义。
-引导学生通过例子了解二元关系的特点。
2.二元关系的性质（20分钟）-教授二元关系的自反性、对称性和传递性等基本性质。
-给出一些具体的例子，让学生判断二元关系的性质。
3.应用实例：二元关系的应用问题（30分钟）-提供一些实际问题，让学生通过二元关系解决。
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(分配律 分配律) 分配律
(已知代入) (已知代入) 已知代入
∀x∈C ⇒x∈(A∩B)∪C ∈ ∈ ∩ ∪
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Discrete Mathematics 试证： ∪ 例4. 试证：(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) ∩ ∪ 证明：左边 ∩∼(A∩ 证明：左边=(A∪B)∩∼ ∩B) ∪ ∩∼ =(A∪B)∩(∼A∪∼ ∪ ∩ ∼ ∪∼ ∪∼B) =∅∪ ∩∼ ∪(B∩∼ ∪∅ ∅∪(A∩∼ ∩∼A)∪∅ ∅∪ ∩∼B)∪ ∩∼ =(A-B)∪(B-A) ∪ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。 (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 =(A∩∼ ∪(A∩∼ ∪(B∩∼ ∪(B∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B)∪ ∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B) (分配律 分配律) ∩∼ 分配律 (互补律 互补律) 互补律
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第三章 集 合
3.3 集合的基本运算律
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Discrete Mathematics 交换律： ∪ 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A ∪ ， ∩ ∩ 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ∪ ∪ (A∩B)∩ C=A(B∩ C) ∩ ∩ ∩ 分配律： ∪ ∩ 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ∪ ∩ ∪ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ 等幂律： ∪ 等幂律：A∪A=A，A∩A=A ， ∩ 同一律： ∪∅ ∪∅=A， ∩ 同一律：A∪∅ ，A∩U=A 零一律： ∩∅ ∩∅=∅ 零一律：A∩∅ ∅，A∪U=U ∪
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第三章 集 合
3.4 有限集合的计数
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Discrete Mathematics 通常用|A|来表示有限集合 中所含元素的个数 通常用 来表示有限集合A中所含元素的个数。 来表示有限集合 中所含元素的个数。 也称为基数 基数（ 集合中所含元素的个数 ，也称为基数（势）。 性质： 性质：1. 当A∩B=∅时，则A∪B=A+B ∩ ∅ ∪ 2.当A∩B=∅时，A∩B=0，A-B=A 当 ∩ ∅ ∩ ， 3.当B⊆A时，A∪B=A，A∩B=B 当 ⊆ 时 ∪ ∩ A-B=A-B 4. A∪B=A+B-A∩B ∪ ∩
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第三章 集 合
3.5 集合的笛卡尔乘积
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Discrete Mathematics 一、二重组（序偶） 二重组（序偶） 由两个元素x和 允许 允许x=y)按一定的顺序排 定义 由两个元素 和y(允许 按一定的顺序排 列成的二元组叫做一个二重组(也称序偶)， 也称序偶 列成的二元组叫做一个二重组 也称序偶 ，记作 <x，y>。其中是 称为二重组的第一个分量，y是 称为二重组的第一个分量 ， 。其中是x称为二重组的第一个分量， 是 第二个分量。 它的第二个分量 它的第二个分量。 平面直角坐标系中点的坐标就是二重组。 平面直角坐标系中点的坐标就是二重组。 二重组 例如： ， ， ， ， ， ， 都代表 例如：<1，-1>，<-1，1>，<1，1>， …都代表 坐标系中不同的点。 坐标系中不同的点。
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Discrete Mathematics 证明（德摩根律）：∼ ∩∼B 证明（德摩根律）：∼（A∪B）=∼A∩∼ ）： ∪ ） ∼ ∩∼ (1) ∀x∈∼ (A∪B) ∈∼ ∪ ⇒x∉A∪B ∉ ∪ ⇒x∉A∧x∉B ∉ ∧ ∉ ⇒x∈∼ ∧x∈∼ ∈∼A∧ ∈∼ ∈∼B ∈∼ ⇒x∈∼ ∩∼B ∈∼A∩∼ ∈∼ ∩∼ ⊆∼A∩∼ ∴∼ (A∪B)⊆∼ ∩∼ ∪ ⊆∼ ∩∼B (2) ∀x∈∼ ∩∼ ∈∼A∩∼ ∈∼ ∩∼B ∈∼A∧ ∈∼ ∈∼B ⇒x∈∼ ∧x∈∼ ∈∼ ⇒x∉A∧x∉B ∉ ∧ ∉ ⇒x∉A∪B ∉ ∪ ⇒x∈∼ (A∪B) ∈∼ ∪ ∴∼A∩∼ ⊆ ∴∼ ∩∼B⊆ ∼(A∪B) ∩∼ ∪ 由(1)(2)得: 得 ∩∼B ∼(A∪B)= ∼A∩∼ ∪ ∩∼
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Discrete Mathematics 因为会打网球的人都会打另一种，即篮球或排 因为会打网球的人都会打另一种， 球，而其中会打篮球的有5人，那么另一个人 而其中会打篮球的有5 肯定会打排球但不会打篮球。 肯定会打排球但不会打篮球。再加上会打三种 球的2 球的2人，共有3人会打排球和网球。 共有3人会打排球和网球。 即|A∩ B|=3。 B|=3。 于是， 于是，有：
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Discrete Mathematics 集合基本运算律的应用举例 求证： 例1. 求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ∪ ∩ 证明：左边 ∩∼ ∩∼(B∪ 证明：左边=A∩∼ ∪C) =A∩(∼B∩∼ ∩ ∼ ∩∼ ∩∼C) （德摩根律） 德摩根律） =A∩∼ ∩A∩∼ （幂等律、交换律） ∩∼B∩ ∩∼ ∩∼C 幂等律、交换律） ∩∼ =(A-B)∩(A-C) ∩ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。
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Discrete Mathematics 补余律： ∩∼ ∩∼A=∅ ∪∼A=U 补余律：A∩∼ ∅，A∪∼ ∪∼ 吸收律： ∪ ∩ 吸收律：A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A ∩ ∪ 摩根律： ∩∼B 德.摩根律：∼(A∪B)=∼A∩∼ 摩根律 ∪ ∼ ∩∼ ∪∼B ∼(A∩B)=∼A∪∼ ∩ ∼ ∪∼ 双重否定律： ∼ 双重否定律：∼(∼A)=A A-B=A∩∼ ∩∼B ∩∼ 以上定律均可用集合相等的定义或已知运算律 相互来证明。 相互来证明。
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Discrete Mathematics 某班有25个学生 其中14人会打篮球 个学生， 人会打篮球， 人会 例 某班有 个学生，其中 人会打篮球，12人会 打排球， 人会打篮球和排球 人会打篮球和排球， 人会打篮球和网球 人会打篮球和网球， 打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球， 还有2人会打这三种球， 还有 人会打这三种球，而6个会打网球的人都会打 人会打这三种球 个会打网球的人都会打 另外一种球(指篮球或排球 ， 另外一种球 指篮球或排球)，求不会打这三种球的 指篮球或排球 人数。 人数。 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A， 解 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为 ， B和C，则有 和 ， |S|=25； |A|=12； |B|=6； |C|=14； ； ； ； ； |A∩C|=6； |B∩C|=5； |A∩B∩C|=2； ； ； ； 现在求| 现在求|A∩ B|: |
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Discrete Mathematics 一般说来二重组具有以下特点： 一般说来二重组具有以下特点： 二重组具有以下特点 1. 二重组中的元素是有次序的。当x≠y时， 二重组中的元素是有次序的。 时 <x,y>≠<y,x>。 。 2. 两个二重组相等，即<x,y>=<u,v>的充分必要 两个二重组相等， 的充分必要 条件是x=u且y=v。 条件是 且 。
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计算机科学与tics 关于幂运算，具有以下性质： 关于幂运算，具有以下性质： A⊆B ⇔ρ(A) ⊆ρ(B) ⊆ ρ(A) ∪ρ(B) ⊆ρ(A∪B) ∪ ρ(A∩B)= ρ(A) ∩ρ(B) （留作习题） ∩ 留作习题）
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Discrete Mathematics 已知A∪ 例2. 已知 ∪B=A∪C，A∩B=A∩C，求证 ∪ ， ∩ ∩ ，求证B=C 证明： 证明：B=B∩(A∪B) ∩ ∪ =B∩(A∪C) ∩ ∪ =(B∩A)∪(B∩C) ∩ ∪ ∩ =(A∩C)∪(B∩C) ∩ ∪ ∩ =(A∪B)∩C ∪ ∩ =(A∪C)∩C ∪ ∩ =C 证毕。 证毕。
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Discrete Mathematics 性质4推广： 性质 推广： 推广 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C∪ ∪ ∩ ∩ B∩C+A∩B∩C ∩ ∩ ∩ 一般地成立以下公式： 一般地成立以下公式：
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Discrete Mathematics 上述公式也可表示为： 上述公式也可表示为：
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Discrete Mathematics 更一般地成立以下公式： 更一般地成立以下公式：
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Discrete Mathematics 之间能被2， ， 任一数整除的整数个数 任一数整除的整数个数。 例 求1到500之间能被 ，3，7任一数整除的整数个数。 到 之间能被 间分别能被2， ， 整除的整数集合为 整除的整数集合为A， 解 ： 设 1到500间分别能被 ， 3，7整除的整数集合为 ， 到 间分别能被 B，C，则有： ， ，则有： A=[500/2]=250； B=[500/3]=166； ； ； C=[500/7]=75；A∩B=[500/(2*3)]=83； ； ∩ ； A∩C=[500/(2*7)]=35; ∩ B∩C=[500/(3*7]]=23； ∩ ； A∩B∩C =[500/(2*3*7)]=11 ∩ ∩ ∴A∪ ∪ ∩ ∩ ∴ ∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩CA∩C+A∩B∩C=250+166+71-83-35=23+11=357 ∩ ∩ ∩