离散数学 教案 集合论—基本概念部分(2)
《离散》公开课教案
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一、教学目标
- 了解离散数学的基本概念和应用领域。
- 掌握离散数学中常用的逻辑、集合论和图论等基础知识。
- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容
1. 离散数学简介
- 离散数学的定义和作用
- 离散数学在计算机科学、信息技术等领域的应用
2. 逻辑与命题
- 逻辑与命题的基本概念
- 命题的逻辑运算（与、或、非）
- 命题的真值表和推理规则
3. 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的基本运算（交、并、差、补）
- 集合的性质和特征
4. 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）
- 常见的图算法（深度优先搜索、广度优先搜索）
三、教学方法
1. 授课讲解：通过讲解离散数学的基本概念和原理，帮助学生建立起相关知识框架。
2. 例题演示：通过解析一些典型的例题，引导学生掌握离散数学的基本方法和技巧。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生在合作中研究、思考和解决问题。
4. 实践应用：通过实际问题的应用，让学生将离散数学的知识应用到实际情境中去。
四、教学评价
1. 每节课结束后进行小测验，检查学生对当堂课程的掌握情况。
2. 课堂参与度：评估学生在讨论和实践环节中的积极参与度。
3. 作业完成情况：评估学生对作业内容的完成情况和质量。
五、参考资料
1. 《离散数学导论》
2. 《离散数学（第2版）》
3. 《离散数学及其应用》
注：以上教案仅供参考，具体教学内容和方法可根据实际情况
进行调整。
(完整word版)《离散数学》教案详解
《离散数学》教案第一章集合与关系集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。
集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。
G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。
1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。
1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。
1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。
然而，朴素集合论中包含着悖论。
第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。
1901年罗素发现了有名的罗素悖论。
1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。
集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。
另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。
哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。
现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
一、学习目的与要求本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。
通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运算方法，为学习后续章节打下良好基础。
二、知识点1．集合的基本概念与表示方法；2．集合的运算；3．序偶与笛卡尔积；4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；5．关系的性质，符合关系、逆关系；6．关系的闭包运算；7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；8．序关系、偏序集、哈斯图。
三、要求1．识记集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、对称关系、传递关系的识别，复合关系、逆关系的识别。
2．领会领会下列概念：两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证明。
离散数学教案
离散数学教案一、教案引言离散数学作为计算机科学及相关领域的基础学科，对培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力具有重要作用。
本教案旨在介绍离散数学课程的重点内容和教学方法，以帮助教师在教学中实现教学目标，提高学生的学习成效。
二、教学目标1. 了解离散数学的基本概念和方法，包括集合论、逻辑推理、图论等内容；2. 掌握离散数学的基本技能，包括集合的运算、证明方法、图的遍历等；3. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力，培养学生的数学建模能力；4. 提高学生的团队合作和沟通能力，培养学生的创新意识。
三、教学内容1. 集合论1.1 集合与元素1.2 集合的运算1.3 集合的关系1.4 集合的应用2. 逻辑与证明2.1 命题与命题联结词2.2 命题的真值与命题的合取、析取、蕴含、等价关系2.3 命题逻辑的推理定律2.4 命题与谓词的等价关系2.5 谓词逻辑的推理定律3. 图论3.1 图的概念与性质3.2 图的表示方法3.3 图的遍历算法3.4 图的连通性与最小生成树3.5 图的应用四、教学方法1. 概念讲解与例题演练相结合：通过简洁清晰的讲解，引导学生理解离散数学的基本概念和方法，并通过大量的例题演练巩固学生的知识掌握能力。
2. 问题引导与探究学习：引导学生通过解决实际问题来理解和应用离散数学的原理和方法，培养学生的问题解决能力和数学建模能力。
3. 团队合作与讨论学习：组织学生进行小组活动，鼓励学生在团队合作中分享思路、互相讨论、共同解决问题，培养学生的合作意识和沟通能力。
4. 案例分析与实践应用：选取具体的案例，让学生将离散数学的知识应用于实际问题中，提升学生的学习兴趣和创新意识。
五、教学评估与反馈1. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对离散数学知识的掌握情况，及时发现和纠正学生的错误和不足。
2. 作业评定：通过布置作业并进行评定，评估学生对离散数学知识和方法的应用能力和问题解决能力。
3. 课后讨论与反馈：鼓励学生课后进行小组讨论，并提供及时的反馈和指导，加深学生对重点内容的理解和掌握程度。
《离散数学》电子教案
第一章集合论一、教学内容及要求授课学时：2教学内容1.1 集合的基本概念集合的概念及其表示；集合与集合之间的包含、真包含和相等关系的定义，数学描述及判定和证明方法；空集、全集和幂集三个特殊集合的定义、性质以及幂集的计算算法。
1.2 集合的运算集合运算的定义、性质及证明1.3 无限集可数集合和不可数集合的概念。
1.4 与集合相关的应用与集合相关的简单应用实例。
基本要求1）能正确地用枚举法或叙述法表示一个集合，会画文氏图。
2）能判定元素与集合的属于关系。
3）能利用集合与集合关系的判定与证明方法证明两个集合之间的包含、相等、和真包含的关系。
4）能熟练计算集合之间的并、交、差、补运算，掌握集合运算的定律；5）能熟练地计算P(A)。
6）理解集合的归纳法表示。
7）理解集合的对称差运算。
8）了解集合的递归指定法表示。
9）了解无限集的基本概念。
10）了解集合的简单应用。
能力培养通过课堂讲解和课后实践作业，培养学生的抽象思维和问题解决能力。
二、教学重点、难点及解决办法教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。
教学难点：从集合与元素两个角度去分析集合；集合与集合关系的证明和无限集基数的理解。
解决办法：1）在教学过程中，为了加强学生对一个集合“双重身份”的理解，可以通过实例教学法，让学生具体体会一个集合的“双重身份”带来的问题及解决办法；2）对于新概念—幂集，让学生编程实现求一个集合的幂集，从而加深对幂集的理解。
初步建立学生的发散思维能力以及实际动手编写程序的能力。
三、教学设计从集合伦论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。
从集合的定义入手，结合高中阶段对集合的认识，指出当时定义存在的不足，提出新的定义方法；重点介绍大学阶段学习集合的主要意义和内容，关注重点概念的理解；介绍属于关系与包含关系之间的区别与联系，特别是一个集合“双重身份”的理解；强调集合的基本运算，特别是幂集的计算；集合与集合包含、真包含和相等关系的数学描述及相应的证明方法。
离散数学教案-第一部分集合概念
第一章集合概念§1 集合及其表示法一、集合的定义1、集合：任一确定的物体的全体，常用大写字母表示。
如：A，B，C，…。
2、元素：集合中的物体，常用小写字母表示。
如：a, b, c,…。
注：（1）集合中的元素是确定的；（2）集合中的元素是无序的；（3）集合中的元素是互异的3、集合与元素之间的关系A 是一个集合，a 是一个元素，则（ⅰ）若a 在A 中，则称a属于A ，记为a∈A；（ⅱ）若a不在A 中，则称a不属于A，记为a∉A；例1 、A＝{1，3，5，7}，则1∈A，2∉A。
4、集合的表示方法1）列举法：逐一写出集合中的全部元素。
如：小于10的素数的全体A＝{2，3，5，7}适合于集合中元素的个数是有限的情形。
2）部分列举法：写出集合中前几个元素，其余元素用“…”表示。
如：正整数的全体A＝{1，2，3，4，…}自然数的全体A＝{0，1，2，3，4，…}适合于集合中的元素有规律的情形（有限集或无限集）3）隐式法，我们不便或不可能用列出集合中的全部元素的方法来描述集合时，常采用此方法。
即：找出集合中全体元素所具有的共同性质（properties），记为P（x），集合就用P（x）来定义，记为{x | P（x）}。
这意味着：该集合中的元素必须满足性质P（x），满足性质P（x）的元素必须在该集合中。
如：A＝{x | x是素数且x 小于10}4）归纳法：用这种方法描述非空集合A由三步组成，（1）归纳基础：找出某些元素属于A（A非空）。
（2）归纳步：给出一组规则，使得从这组规则出发构造的元素仍然属于A。
（3）极小化：如果有S⊆A，且满足（1）和（2），则S=A。
例：用归纳定义法描述集合N={0，1，2，3，4，…}5、常用的集合记号（several sets and their notations）Z+＝{x | x 是正整数} 即Z+＝{1，2，3，4，…}N＝{ x | x 是正整数或0} 即N＝{0，1，2，3，4，…}Z＝{ x | x 是整数} 即Z＝{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}Q＝{ x | x 是有理数} 即Q中的元素可以写成a/b 的形式，a, b 是整数，b≠0R ＝{ x | x 是实数}Φ 是空集，即不含任何元素的集合 举例6、集合的相等若集合A 和 集合B 有相同的元素，则称集合A 与 集合B 相等记为 A ＝B 。
离散数学PPT教学课件 集合论ppt2
-3/3
[6]
0/2 0/3 0/4
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→
-3/1[11]…
3/2[12]…
1/3[8] 1/4[14]
2/3[9]
3/3…
3/4[13]…
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-2/4
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2/4
所以，有理数集合必是可数集合。
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习题类型
1. 基本概念题：涉及集合的表示；
2. 判断题：涉及元素与集合、集合与集合间的关 系； 3. 计算题：涉及集合的运算和幂集的计算； 4. 证明题：涉及集合相等以及集合间包含关系的 证明。
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可数集合(可列集）
定义 1.3.2 凡是与自然数集合等势的集合， 统称为可数集合 ( 可列集 )(Countable Set ) 。可 数集合记为：א0 (读作阿列夫零) 。
例1.3.1 下列集合都是可数集合： 1)O+＝{x|xN，x是正奇数}; 2)P＝{x|xN，x是素数}; 3)有理数集合Q.
67-8
定理1.3.1
两个有限集合等势当且仅当它们有相同 的元素个数； 有限集合不和其任何真子集等势；
可数集合可以和其可数的真子集等势。
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不可数集合
定义1.3.3
开区间 (0,1) 称为不可数集合，其基数设为 (א读作阿列夫)；
凡是与开区间 (0,1) 等势的集合都是不可数 集合。
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1.4
离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论
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• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
• • |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
• •|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i＜j≤n
1≤i＜j＜k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n－＝1∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• （1）一个基本概念——函数的基本概念。
•
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；
以及y＝f（x）。
•
（2）三种不同性质函数：
•
• 满射与内射
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
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(分配律 分配律) 分配律
(已知代入) (已知代入) 已知代入
∀x∈C ⇒x∈(A∩B)∪C ∈ ∈ ∩ ∪
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Discrete Mathematics 试证： ∪ 例4. 试证：(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) ∩ ∪ 证明：左边 ∩∼(A∩ 证明：左边=(A∪B)∩∼ ∩B) ∪ ∩∼ =(A∪B)∩(∼A∪∼ ∪ ∩ ∼ ∪∼ ∪∼B) =∅∪ ∩∼ ∪(B∩∼ ∪∅ ∅∪(A∩∼ ∩∼A)∪∅ ∅∪ ∩∼B)∪ ∩∼ =(A-B)∪(B-A) ∪ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。 (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 =(A∩∼ ∪(A∩∼ ∪(B∩∼ ∪(B∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B)∪ ∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B) (分配律 分配律) ∩∼ 分配律 (互补律 互补律) 互补律
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第三章 集 合
3.3 集合的基本运算律
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1
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Discrete Mathematics 交换律： ∪ 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A ∪ ， ∩ ∩ 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ∪ ∪ (A∩B)∩ C=A(B∩ C) ∩ ∩ ∩ 分配律： ∪ ∩ 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ∪ ∩ ∪ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ 等幂律： ∪ 等幂律：A∪A=A，A∩A=A ， ∩ 同一律： ∪∅ ∪∅=A， ∩ 同一律：A∪∅ ，A∩U=A 零一律： ∩∅ ∩∅=∅ 零一律：A∩∅ ∅，A∪U=U ∪
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第三章 集 合
3.4 有限集合的计数
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Discrete Mathematics 通常用|A|来表示有限集合 中所含元素的个数 通常用 来表示有限集合A中所含元素的个数。 来表示有限集合 中所含元素的个数。 也称为基数 基数（ 集合中所含元素的个数 ，也称为基数（势）。 性质： 性质：1. 当A∩B=∅时，则A∪B=A+B ∩ ∅ ∪ 2.当A∩B=∅时，A∩B=0，A-B=A 当 ∩ ∅ ∩ ， 3.当B⊆A时，A∪B=A，A∩B=B 当 ⊆ 时 ∪ ∩ A-B=A-B 4. A∪B=A+B-A∩B ∪ ∩
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第三章 集 合
3.5 集合的笛卡尔乘积
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Discrete Mathematics 一、二重组（序偶） 二重组（序偶） 由两个元素x和 允许 允许x=y)按一定的顺序排 定义 由两个元素 和y(允许 按一定的顺序排 列成的二元组叫做一个二重组(也称序偶)， 也称序偶 列成的二元组叫做一个二重组 也称序偶 ，记作 <x，y>。其中是 称为二重组的第一个分量，y是 称为二重组的第一个分量 ， 。其中是x称为二重组的第一个分量， 是 第二个分量。 它的第二个分量 它的第二个分量。 平面直角坐标系中点的坐标就是二重组。 平面直角坐标系中点的坐标就是二重组。 二重组 例如： ， ， ， ， ， ， 都代表 例如：<1，-1>，<-1，1>，<1，1>， …都代表 坐标系中不同的点。 坐标系中不同的点。
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Discrete Mathematics 证明（德摩根律）：∼ ∩∼B 证明（德摩根律）：∼（A∪B）=∼A∩∼ ）： ∪ ） ∼ ∩∼ (1) ∀x∈∼ (A∪B) ∈∼ ∪ ⇒x∉A∪B ∉ ∪ ⇒x∉A∧x∉B ∉ ∧ ∉ ⇒x∈∼ ∧x∈∼ ∈∼A∧ ∈∼ ∈∼B ∈∼ ⇒x∈∼ ∩∼B ∈∼A∩∼ ∈∼ ∩∼ ⊆∼A∩∼ ∴∼ (A∪B)⊆∼ ∩∼ ∪ ⊆∼ ∩∼B (2) ∀x∈∼ ∩∼ ∈∼A∩∼ ∈∼ ∩∼B ∈∼A∧ ∈∼ ∈∼B ⇒x∈∼ ∧x∈∼ ∈∼ ⇒x∉A∧x∉B ∉ ∧ ∉ ⇒x∉A∪B ∉ ∪ ⇒x∈∼ (A∪B) ∈∼ ∪ ∴∼A∩∼ ⊆ ∴∼ ∩∼B⊆ ∼(A∪B) ∩∼ ∪ 由(1)(2)得: 得 ∩∼B ∼(A∪B)= ∼A∩∼ ∪ ∩∼
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Discrete Mathematics 因为会打网球的人都会打另一种，即篮球或排 因为会打网球的人都会打另一种， 球，而其中会打篮球的有5人，那么另一个人 而其中会打篮球的有5 肯定会打排球但不会打篮球。 肯定会打排球但不会打篮球。再加上会打三种 球的2 球的2人，共有3人会打排球和网球。 共有3人会打排球和网球。 即|A∩ B|=3。 B|=3。 于是， 于是，有：
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Discrete Mathematics 集合基本运算律的应用举例 求证： 例1. 求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ∪ ∩ 证明：左边 ∩∼ ∩∼(B∪ 证明：左边=A∩∼ ∪C) =A∩(∼B∩∼ ∩ ∼ ∩∼ ∩∼C) （德摩根律） 德摩根律） =A∩∼ ∩A∩∼ （幂等律、交换律） ∩∼B∩ ∩∼ ∩∼C 幂等律、交换律） ∩∼ =(A-B)∩(A-C) ∩ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。
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Discrete Mathematics 补余律： ∩∼ ∩∼A=∅ ∪∼A=U 补余律：A∩∼ ∅，A∪∼ ∪∼ 吸收律： ∪ ∩ 吸收律：A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A ∩ ∪ 摩根律： ∩∼B 德.摩根律：∼(A∪B)=∼A∩∼ 摩根律 ∪ ∼ ∩∼ ∪∼B ∼(A∩B)=∼A∪∼ ∩ ∼ ∪∼ 双重否定律： ∼ 双重否定律：∼(∼A)=A A-B=A∩∼ ∩∼B ∩∼ 以上定律均可用集合相等的定义或已知运算律 相互来证明。 相互来证明。
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Discrete Mathematics 某班有25个学生 其中14人会打篮球 个学生， 人会打篮球， 人会 例 某班有 个学生，其中 人会打篮球，12人会 打排球， 人会打篮球和排球 人会打篮球和排球， 人会打篮球和网球 人会打篮球和网球， 打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球， 还有2人会打这三种球， 还有 人会打这三种球，而6个会打网球的人都会打 人会打这三种球 个会打网球的人都会打 另外一种球(指篮球或排球 ， 另外一种球 指篮球或排球)，求不会打这三种球的 指篮球或排球 人数。 人数。 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A， 解 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为 ， B和C，则有 和 ， |S|=25； |A|=12； |B|=6； |C|=14； ； ； ； ； |A∩C|=6； |B∩C|=5； |A∩B∩C|=2； ； ； ； 现在求| 现在求|A∩ B|: |
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Discrete Mathematics 一般说来二重组具有以下特点： 一般说来二重组具有以下特点： 二重组具有以下特点 1. 二重组中的元素是有次序的。当x≠y时， 二重组中的元素是有次序的。 时 <x,y>≠<y,x>。 。 2. 两个二重组相等，即<x,y>=<u,v>的充分必要 两个二重组相等， 的充分必要 条件是x=u且y=v。 条件是 且 。
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计算机科学与tics 关于幂运算，具有以下性质： 关于幂运算，具有以下性质： A⊆B ⇔ρ(A) ⊆ρ(B) ⊆ ρ(A) ∪ρ(B) ⊆ρ(A∪B) ∪ ρ(A∩B)= ρ(A) ∩ρ(B) （留作习题） ∩ 留作习题）
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Discrete Mathematics 已知A∪ 例2. 已知 ∪B=A∪C，A∩B=A∩C，求证 ∪ ， ∩ ∩ ，求证B=C 证明： 证明：B=B∩(A∪B) ∩ ∪ =B∩(A∪C) ∩ ∪ =(B∩A)∪(B∩C) ∩ ∪ ∩ =(A∩C)∪(B∩C) ∩ ∪ ∩ =(A∪B)∩C ∪ ∩ =(A∪C)∩C ∪ ∩ =C 证毕。 证毕。
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Discrete Mathematics 性质4推广： 性质 推广： 推广 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C∪ ∪ ∩ ∩ B∩C+A∩B∩C ∩ ∩ ∩ 一般地成立以下公式： 一般地成立以下公式：
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Discrete Mathematics 上述公式也可表示为： 上述公式也可表示为：
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Discrete Mathematics 更一般地成立以下公式： 更一般地成立以下公式：
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Discrete Mathematics 之间能被2， ， 任一数整除的整数个数 任一数整除的整数个数。 例 求1到500之间能被 ，3，7任一数整除的整数个数。 到 之间能被 间分别能被2， ， 整除的整数集合为 整除的整数集合为A， 解 ： 设 1到500间分别能被 ， 3，7整除的整数集合为 ， 到 间分别能被 B，C，则有： ， ，则有： A=[500/2]=250； B=[500/3]=166； ； ； C=[500/7]=75；A∩B=[500/(2*3)]=83； ； ∩ ； A∩C=[500/(2*7)]=35; ∩ B∩C=[500/(3*7]]=23； ∩ ； A∩B∩C =[500/(2*3*7)]=11 ∩ ∩ ∴A∪ ∪ ∩ ∩ ∴ ∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩CA∩C+A∩B∩C=250+166+71-83-35=23+11=357 ∩ ∩ ∩