角平分线辅助线专题练习

角平分线专题

1、轴对称性：

内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法：边角等造全等，也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形基本结构：如图,

2、角平分线的性质定理：注意两点（1 ）距离相等（2 ）一对全等三角形

3、定义：带来角相等。

4、补充性质：如图，在△ ABC中，AD平分/ BAC，则有AB:AC=BD:DC

针对性例题:

例题1:如图，AB=2AC , / BAD玄DAC,DA=DB

求证：DCL AC

例题2:如图，在△ ABC中，/ A等于60°, BE平分/ ABC , CD平分/ ACB 求证：

DH=EH

B C

例题3:如图 1 , BC > AB, BD 平分/ ABC，且/ A+ / C=180°, 求证：

AD=DC

思路一：利用“角平分线的对称性”来构造

因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分

线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形.

证法1:如图1,在BC上取BE=AB，连结DE , v BD平分

/ ABC，•/ ABD= / DBE，又BD=BD , •△ ABD ◎△ EBD (SAS), •••/ A= / DBE , AD=DE ,又/ A+ / C=1800, / DEB+ / DEC=1800,贝U AD=DC .

证法2:如图2,过A作BD的垂线分别交BC、BD于E、F, 连结DE,由BD 平分/ ABC，易得△ ABF ◎△ EBF，贝U AB=BE , BD 平分/ ABC , BD=BD , ABD ◎△ EBD ( SAS), • AD=ED , / BAD= / DEB ,又/ BAD+ / C=1800,

/ BED+ / CED=1800, C=Z DEC,贝U DE=DC , • AD=DC .

说明：证法1 , 2,都可以看作将△ ABD沿角平分线BD折向全等三角形的.

证法3：

•/ BD平分/ •••/ C=Z E ,

图i

C=Z DEC , DE=DC ,

BC而构成

如图3,延长BA至E,使BE=BC，连结DE,

ABC ,•••/ CBD= / DBE，又BD=BD ,.••△ CBD ◎△ EBD (SAS

CD=DE，又/ BAD+ / C=180°,/ DAB+ / DAE=180 0,

E

:丄 E= / DAE , DE=DA ,贝U AD=DC . B图3 说明：证法3是厶CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的.

思路二：利用“角平分线的性质”来构造

由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向

角的两边作垂线而构成

两个全等的直角三角

形.

证法4:如图4,

Z ABC , • DE=DF ,

• Z FAD=Z C,.・.A

例题 4 已知：如图5，在△ ABC中, Z C=90° ,AC=BCAD平分/ CAB 求证：AGCD=AB

证明：在AB上截取AE=AC •/ AD平分Z CAB •Z CAD Z

DAB AD=AD •••△CAD^A EAD •••/ DE/=90°, vZ C=90° , AC=BC B=45° ,

•Z B=Z BDE45°

•DE=BE •- A（+CD=AE H DE=AE H BE=AB即AGCDAB

例题5.已知：如图6，在Rt△ ABC中，/ C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三

角形，使C点与AB边上的一点D重合，当/ A满足什么条件时，明D为AB中点.

解：当/ A=30°时，点

角三角形两锐角互余）.

等三角形对应角相

等），•••/ DBE Z

A等量代换）• T BE=AE等角对等边），又/ ED昏90°, 即EDLAB • D是AB的中点（三线

从D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F,T BD平分又/

BAD+ / C=180°,/ BAD+ / FAD=180°,

FAD◎△ ECD （AAS ）,贝U AD=DC .

点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证

囹6

D 恰为AB 的中点.vZ A=30°, Z C=90° （已知），•/ CB/=60 ° （直

又厶BEC^A BED已知），•Z CBE Z DBE30° ,且Z EDB Z C=90 °（全

合一）.

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在厶ABC 中，/ ABC=3 / C , AD 是/ BAC 的平分线,

证明：延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线, 所以AD 为/ BAC 的对称轴， 又因为BE 丄AD 于F , 所以点B 和点F 关于AD 对称，

1

所以 BE=FE= BF , AB=AF ，/ ABF= / AFB 。

2

因为/ ABF +Z FBC= / ABC=3 / C ,

/ ABF= / AFB= / FBC + Z C , 所以/ FBC +Z C +Z FBC=3 / C ,

所以/ FBC= Z C ,所以 FB=FC ,

1 1 1

所以 BE= FC=— (AC — AF ) =— ( AC — AB ),

2 2 2

1

所以 BE -(AC AB)。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 如图所示，Z 1 = Z 2, P 为BN 上的一点，并且 PD 丄BC 于D , AB + BC=2BD 。

求证：Z BAP +Z BCP=180 °。

证明：经过点P 作PE 丄AB 于点E 。 因为 PE 丄 AB , PD 丄 BC , Z 1 = Z 2, 所以PE=PD 。 在 Rt △ PBE 和 Rt △ PBC 中

BP BP PE PD

所以 Rt △ PBE 也 Rt △ PBC ( HL ), 所以BE=BD 。

因为 AB + BC=2BD , BC=CD + BD , AB=BE — AE , 所以AE=CD 。

因为PE 丄AB , PD 丄BC , 所以 Z PEB= Z PDB=90 ° . 在厶PAE 和Rt A PCD 中

PE PD PEB PDC AE DC

求证:

BE

1(A

C

AB)

BE 丄AD 于F 。

A