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数列基本概念

数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：

依定义域分为：有穷数列、无穷数列；

依值域分为：有界数列和无界数列；

依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；

数列通项：()n a f n = 2、等差数列

1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有

1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。 2、通项公式 1(1)n a a n d =+-

3、前n 项和公式

由

1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2

n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。 特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。

4、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2

a c

b +=，则称b 为a 与

c 的等差中项． 5、等差数列的性质： （1）m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m

n p q a a a a +=+； 特别地，若2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n

p q a a a =+． （2）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．

（3）若项数为()*2n n ∈N ，则S S nd -=偶奇，．

（4）若项数为()*

21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，1S n S n =-奇偶

3、等比数列

1、 定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1

(0)n n a q q a -=≠ , q 叫公比。 2、 通项公式： 11n n m n m a a q a q --==, 在等比数列中，若2m n p q r +=+= , 则

2m n p q r a a a a a ⋅=⋅=.

3、 、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中

项．若2

G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．

4、 等比数列的前n 项和的性质：

（1）m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅．

（2）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列。

5、 前n 项和公式:

由 12231,n n n n n S a a a qS a a a a +=+++=++++， 两式相减，

当 1q ≠时，11(1),(1)11n n a a q a q S q q q

--==≠-- ；当1q =时 ，1n s na = 。 关于此公式可以从以下几方面认识：

① 不能忽视11(1)11n n a a q a q S q q

--==-- 成立的条件：1q ≠。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。

② 公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如，公差为 d 的等差数列{}n a ，212n n n S a x a x a x =+++ ，则23

1121n n n n n xS a x a x a x a x +-=+++， 相减得 211(1)n n n n S x a x dx dx a x +-=++

+-， 当 1x ≠时，111(1)(1)1n n n n dx x S x a x a x x

-+--=+--，12112(1)1(1)n n n n a x a x dx x S x x +---=+-- 当1x =时 ，

；

第一节 等差数列的概念、性质及前n 项和

题根一 等差数列{a n }中，69121520a a a a +++= ，求S 20

[思路]等差数列前n 项和公式11()(1)22n n

a a n n n S na d +-==+： 1、 由已知直接求a 1 ，公差d.

2、 利用性质q p n m a a a a q p n

m +=+⇒+=+

[请你试试 1——1]

1、 等差数列{a n } 满足12

1010a a a +++= ，则有 （ ） A 、 11010a a +> B 、 21000a a +< C 、 3990a a += D 、 5151a =

2、 等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求 13S 。

第1变 求和方法——倒序相加法

[变题1] 等差数列{a n }共10项，123420a a a a +++= ，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n.

[思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。

[请你试试 1——2]

1、 等差数列{a n }前n 项和为18 ，若 1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n .

2、 求和 122n

n n n n S n C C C =+++。

第2变 已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和

[变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。

[思路] ,,m m n S S S +n 下标存在关系：m+n=m+n, 这

与通项性质

q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+是否有关？

[请你试试 1——3]

1、 在等差数列{a n }中，15S =6，55S =9，求 S 15 。

2、在等差数列{a n }中，1S =3，3S =9，求 S 12 。

第3变 已知已知前n 项和及前2n 项和，如何求前3n 项和

[变题3] 在等差数列{a n }中，20S =10，40S =20，求 S 30

[思路] 由2030,,S S S 10寻找102030,,S S S S S --1020之间的关系。

[请你试试 1——4]

1、在等差数列{a n }中，123a a +=，346a a +=，求 78a a +