非线性科学介绍)

【内容提要】非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科。其主要研究内容包括混沌、分形和孤立子。本文主要介绍了非线性科学的起源、主要内容、主要研究方法及其工程应用，并对其未来发展进行了一些思考。

【关键词】非线性科学/研究方法/工程应用

非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科，产生于20世纪六七十年代。其标志是：1963年美国气象学家洛伦兹发表的《确定论的非周期流》论文，揭示确定性非线性方程存在混沌(Chaos)；1965年数学家查布斯基和克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton)；1975年美籍数学家芒德勃罗发表《分形：形态、机遇和维数》一书，创立了分形(Fractal)理论。混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类，构成非线性科学的三大理论。[1]

非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。非线性科学中的混沌理论被认为是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命；分形几何是继微积分以来的又一次革命；孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。

一、线性科学与非线性科学

所谓线性，是指量与量之间的关系用直角坐标系形象地表示出来时是一条直线。在数学上，主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。如果算子Y满足：

其中，α为常数，u、v为任意函数，则称算子为线性算子，否则称为非线性算子。[2]线性系统中部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解。线性理论是研究线性系统的理论，主要包括：牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论和量子力学理论等，它有成熟的数学工具，如线性方程、曲线，以及微积分等数学方法。[3]

虽然非线性问题自古以来就有，但人们开始只能解决线性问题，随着科学技术的发展，在解决非线性问题方面才逐步取得进展。当代所有的科学前沿问题几乎都是非线性问题。从物理现象来看，线性现象是在空间和时间上光滑和规则的运动，非线性现象则是从规则运动向不规则运动的过渡和突变。非线性科学贯穿了自然科学、工程科学、数学和社会科学的几乎每门学科。[4]

二、非线性科学的起源[5]

现代科学研究在15世纪初处于萌芽状态时，由于生产力水平限制，面临的实际问题大多是能量密度较低、相对稳定、变化不快、干扰不大的问题，象动能、运动速度、力的大小等都正好属于这种领域，在初步近似下都可以用线性模型处理。那时数学家们也只能解决线性问题，解决非线性问题的数学方法还很不成熟，尤其是非线性的微分方程只有很有限的一些方程可以求解。直到19世纪末，大量的经典物理理论都是线性的，线性的数学方法也得到了充分发展。20世纪以后，随着对物质运动观测的深入，特别是在量子力学的研究中，发现很多关系都是非线性的；同时，物理和化学中涌现了很多非线性的问题。随着原子能和航空航天技术的发展，把人们带进了能量密度高、变化较快和外部干扰较大、控制精度要求高的研究领域，很多情况下甚至需要解决突变问题。所有这些新兴研究领域以及新材料、新技术、新工艺的发展，都使得建立非线性模型成为必要。

三、非线性科学的主要内容及应用

在目前对非线性问题还没有完全获得系统的处理方法的情况下，不同的研究领域里分别出现了自己独特的研究方法，如混沌运动；分形；奇异摄动理论；分岔、突变理论；孤立子理论等。但一般认为非线性科学的三大普适类包括混沌、分形以及孤立子。

（一）混沌

1.混沌理论的发展历程[6]

19世纪末20世纪初，庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌问题。发现如太阳、月亮和地球三者之间的相对运动与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的，多年来这成了牛顿力学中的遗留难题。1903年庞加莱在《科学与方法》一书中提出了庞加莱猜想，把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使其成为世界上最先了解混沌可能存在的第一人。

1954年，前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫发表《哈密顿(Hamilton)函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文，这篇文章表述了在混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌，是KAM定理的雏形。1963年该文所述内容获得严格的数学证明，为确认不仅耗散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。

1963年，洛伦兹在《确定性的非周期流》一文中指出：在三阶非线性自治系统中可能会出现混乱解。这是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例。2000年《自然》杂志发表论文《The Lorenz Attractor Exists》，

首次从数学上严格证明了Lorenz吸引子在自然界中的存在。KAM定理讨论的是保守系统，而洛伦兹方程讨论的是耗散系统，他们分别从不同的角度说明，两种不同类型的动力系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的。

1964年，法国天文学家伊侬(Henon)从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了henon映射，并用它建立了“热引力崩坍”理论，揭示了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。

1971年，法国数学物理学家D.Ruelle和荷兰学者

F.Takens联名发表了著名论文《论湍流的本质》，发现动力系统中存在着特别复杂的新型吸引子，并描绘了它的几何特征，证明了与这种吸引子有关的运动即为混沌，并命名这种新型的吸引子为奇怪吸引子。

2.混沌运动的特点[7]

混沌一词是由美籍华人学者李天岩和美国数学家约克于1975年首先提出。当年他们在《周期3意味着混沌》的文章中给出了混沌的一种数学定义，由于该定义存在缺陷，1989年，Devaney R.L.从混沌所具有的特性出发，又给出了混沌的一种描述性的定义。然而迄今为止，混沌还没有一个公认的数学定义。一般认为，混沌是确定性系统中出现的

貌似无规则的有序运动，混沌运动的特点可以概括为：(1)内在随机性。描述混沌系统的演化方程确定，但演化行为不确定；系统短期行为确定，但长期行为不确定。系统的这种行为既不同于传统的确定性现象也不同于传统的随机性现象，而是系统确定性与随机性的有机结合。研究表明，产生混沌的本质原因在于确定性系统的非线性。(2)对初值的敏感依赖性。混沌运动的振荡解不是渐近稳定的，它的解在一定范围内表现出整体的稳定性，但是系统的非线性使进入吸引子内部的轨线不断彼此互相排斥，反复分离和折叠，使得系统的局部不稳定。这种局部不稳定就是对初始条件的敏感依赖性，即使系统初始值出现小的偏差，也会引起轨道按指数分离，这就是所谓的“蝴蝶效应”。系统对初值敏感性依赖的根源仍然在于系统内的非线性相互作用，对于一维迭代系统就表现为非线性迭代方程。(3)奇异性。从整体上看系统稳定；从局部上看系统不稳定。其解轨道在有限范围内作无数次的分离、折叠和靠拢，形成一种称为奇怪吸引子或混沌吸引子的结构。系统吸引子内部具有无穷层次的自相似结构，奇怪吸引子的维数一般为非整数。

3.混沌的主要应用领域