3.3总体方差的假设检验

§3 检验母体方差 3.1检验正态母体的方差——2

χ检验

母体),(~2σμN X ，2

,σμ均未知，试对

2

σ与2

0σ有无显著差异作假设检验.

①

在

母体上作

假设

↔=2

2

0:σσH 2

021:σσ≠H

②检验统计量)1( ~ )1(2

20

2

20

--=*n S n H χσχ ③给定显著水平α，如图存在

)1(22

1--

n α

χ

和)1(2

2

-n αχ，使

2

)}1({)}1({2

2

22

2

12α

χχχ

χαα

=

->=-<-

n P n P

故取拒绝域

}

)1()1(),,,{(2

2

222

1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或

④决策：当抽样结果是

W x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0H ，认为2

σ与20σ有

显著差异；否则接受0H ，认为2

σ与20

σ无

显著差异.

例3.3.1 某细纱车间纺出的一种细纱支数X 的标准差2.10=σ，现从某日纺出的一批细纱中随机抽出16缕进行支数

测量，算得子样标准差1.2*=s ，问：纱的

均匀度有无显著变化（取05.0=α）？假

定母体X 的分布是正态的。

解: 设该日纺出的纱的支数

),(~2

σμN X ，2

,σ

μ均未知，

作假设↔=2202.1:σH 2

21

2.1:≠σH 检验统计量)1(~

)1(22

022

--=*n S

n H χσχ

给定显著水平α，拒绝域为

}

)1()1(),,,{(2

2

222

1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或

这时16=n ，2.10=σ，1.2*

=s ，从而

94.452

=χ，又05.0=α，查表得

262.6)15()1(22975

.02

1==--

χχαn ，

488.27)15()1(22

025

.02

==-χχαn ，

可见)1(2

2->n αχχ，故应拒绝0H ，认为

这天细纱的均匀度有显著变化。

例3.3.2

),(~2

σμN X ，

2

,σμ均未知，

当45>n ，作如下假设检验

↔=2020:σσH 2021:σσ≠H

检验统计量取为2

02

2

)1(σχ*-=

S

n ，证明：给

定显著水平α，则拒绝域为

}

)1(2)1({})1(2)1({2

22

2ααχχu n n u n n W ---≤-+-≥= .

证明：作假设↔=2020:σσH 2

021:σσ≠H ，

0H 成立时检验统计量

)1(~)1(220

22

--=

*n S

n H χσ

χ

而45>n ，由2

χ分布的性质知，

)

1,0()

1(2)

1(~

2

N n n U H 近似

---=

χ

给定显著水平α，拒绝域为

}

)

1(2)

1({

}{2

22

ααχu n n u U W ≥---=≥=

}

)1(2)1({})1(2)1({2

22

2ααχχu n n u n n ---≤-+-≥= 证毕.

3.2 检验两个正态母体的方差相等——F 检验

设母体),(~2

11σμN X ，母体),(~2

22σμN Y ，且X

与Y 相互独立，

2

221σσ，未知，试对2

1σ与

22

σ有无显著差异作假设检验.

①

在母体上作假设

↔=22

2

10:σσH 2

2211:σσ≠H ②

检

验

统计量

)

1,1(~ / 212*2*22

212*2*0

--==n n F S

S S S

F H

Y

X H Y

X σσ ③给定显著水平α，如图存在

)1,1(212

1---

n n F α和)1,1(212

--n n F α，使 2

)}1,1({)}1,1({212

212

1α

αα

=

-->=--<-

n n F F P n n F

F P

故取拒绝域

()1,1(),,,;,,,{(1

2

212

1212121>--<=-

n F F n n F

F y y y x x x W n n αα

或

④决策：当抽样结果是W y y y x x x n n ∈),,,;,,,(2

1

2121 时，拒绝0

H ，认

为21σ与22

σ有显著差异；否则接受0H ，认

为2

1σ与22σ无显著差异.

注①: 在本章检验两个正态母体的

均值相等，及在上一章中求两个正态母体的均值之差的置信区间时，均须假定