圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条

件

r = ①

化简可得：222

()()x a y b r -+-= ②

引导学生自己证明2

2

2

()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222

()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

（1）2200()()x a y b -+->2

r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2

r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2

r ，点在圆内

例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程222

()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.

师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点

(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分

线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或

CB 。

（教师板书解题过程）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的

标准方程.

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

课堂练习：课本127p 第1、3、4题 4.提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

圆的一般方程

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

课题引入

问题：求过三点A(0，0)，B (1，

1)，C (4，2)的圆的方程.

利用圆的标准方程解决此问题显

然有些麻烦，得用直线的知识解决又有

其简单的局限性，那么这个问题有没有

其它的解决方法呢？带着这个问题我

们来共同研究圆的方程的另一种形式

——圆的一般方程.

让学生带着问题进行思考

设疑激趣

导入课题.

概念形成与深化

请同学们写出圆的标准方程：(x–

a)2 + (y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.

把圆的标准方程展开，并整理：

x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.

取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–

r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①

这个方程是圆的方程.

反过来给出一个形如x2+ y2+ Dx

+ Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一

定是圆吗？

把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得

22

22

4

()()

224

D E D E F

x y

+-

+++=②(配

方过程由学生去完成)这个方程是不是

表示圆？

（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程

②表示以(,)

22

D E

--为圆心，

22

1

4

2

D E F

+-为半径的圆；

（2）当D2 + E2– 4F = 0时，方程

只有实数解,

22

D E

x y

=-=-，即只表示

一个点(,)

22

D E

--；

（3）当D2 + E2– 4F＜0时，方程

没有实数解，因而它不表示任何图形.

综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F =

0表示的曲线不一定是圆.

只有当D2 + E2– 4F＞0时，它表示

的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx

整个探索过程由学生完

成，教师只做引导，得出圆的

一般方程后再启发学生归纳.

圆的一般方程的特点：

（1）①x2和y2的系数相

同，不等于0.

②没有xy这样的二次项.

（2）圆的一般方程中有三

个特定的系数D、E、F，因此

只要求出这三个系数，圆的方

程就确定了.

（3）与圆的标准方程相比

较，它是一种特殊的二元二次

方程，代数特征明显，圆的标

准方程则指出了圆心坐标与半

径大小，几何特征较明显.

通过

学生对圆

的一般方

程的探究，

使学生亲

身体会圆

的一般方

程的特点，

及二元二

次方程表

示圆所满

足的条件.