量子力学习题

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、简述波函数的统计解释；

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

3、力学量G

ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；

5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释

各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态

能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的

平均动量和平均动能。

四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)

0(3)0(2

)0(1。在不含时微扰H 'ˆ作用下，总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=*

*21

10

0E E E H βαβ

α。求受微扰后的能量至一级。

五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的x

S ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。

A —1—1

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、何为束缚态？

2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)

r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(t r

ψ,采用Dirac 符号时，若将

ψ(,)

r t 改写为ψ(,)

r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？

4、简述定态微扰理论。

5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？

二（20分）设粒子在三维势场()a

x a z y x U <>⎩⎨

⎧∞

=x 0

,,中运动，求粒子定态能量

和波函数。

三（20分）一维运动的粒子在态()0

00

<>⎩⎨

⎧=-x x Axe x x

当当λψ中运动，其中

0>λ。求()()?ˆˆ2

2

=∆•∆p x

四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（20分）对自旋为21

=s 的粒子，求在 S y 表象中 S x 、 S y 、 S z 的矩阵表示。

B —1—1

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？

2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？

3、测不准关系是否与表象有关？

4、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征

函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H

'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？

5、在自旋态χ12

()s z 中， S x 和 S y

的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 二（20分）求在三维势场()b

y a x z y x U <<⎩⎨

⎧∞=且当其它区域0

,,中运动的粒子的定态

能量和波函数。

三（20分）求氢原子基态的最可几半径。

四（20分）已知哈密顿算符H ˆ在某表象下⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-+=20

2050

0bi i a c

H ω 且知其基态E 0=－3 ω，求实数a ，b ，c 。

五（20分）求在 S z

表象下， ( )S n x z =+ 2

1

232

σσ

的本征值及本征函数。当体系处于χ12

()s z 态时，求S n =

2

的几率为多少？

C —1—1

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— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态

Schrodinger

方程的解？ 2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 4、何谓选择定则。

5、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？

二（20分）求在一维势阱()其它

b x a U x U <<⎩⎨⎧∞

=0

中运动的粒子的定态能级和波函

数。

三（20分）当体系处在状态 ()ϕπ

ϕπ

ϕψcos 23sin 21+

=

时，

（这里ϕ为角坐标）。求角动量z 分量L z 的可能值及其平均值。

四（20分）转动惯量为I ，电偶极矩为

D 的空间转子，处在均匀电场 ε中，如

电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。

五（20分）已知 J J iJ x y

+=+，

J 为角动量算符，jm 为 , J J z 2共同本征态，试证明： ()(),J jm j j m m j m +

=+-++111

D —1—1