基于终端滑模控制的混沌系统的同步(精)
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步近年来，随着金融业的发展，金融系统的混沌性已成为一个研究热点。
随着日益复杂的金融环境，传统的控制策略不能有效地解决问题，从而导致混沌的出现。
时滞系统作为一种重要的连续系统，其实现混沌同步已成为一个重要的科学问题。
本文研究了滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步问题。
首先，将金融系统建模为时滞分数阶系统，利用线性分数阶微分方程的分析方法，计算出系统的稳定性以及系统的常量收敛性极限。
其次，引入滑模控制，设计出滑模控制器，改善金融系统的混沌行为。
然后，利用常规的Lyapunov函数以及复杂的绝对值函数，深入研究，证明了时滞分数阶金融系统的混沌同步问题。
最后，通过实验，说明了滑模控制对时滞分数阶金融系统混沌同步的有效性。
首先，讨论和分析时滞分数阶金融系统的稳定性。
金融系统是一种复杂且具有时滞性的系统，因此，控制金融系统的稳定性一直是重中之重。
时滞分数阶系统是一种复杂的时滞系统，使用线性分数阶微分方程的方法，可以描述时滞分数阶系统的稳定性和收敛性极限，从而实现金融系统的稳定性优化。
其次，探究采用滑模控制如何控制时滞分数阶金融系统的混沌行为。
滑模控制是一种重要的控制方法，它可以有效地控制金融系统的混沌行为，使金融系统恒定稳定，从而达到预期的控制效果。
将滑模控制与时滞分数阶金融系统结合起来，可以使系统更加容易控制，从而达到混沌同步的效果。
接下来，深入探讨时滞分数阶金融系统的混沌同步问题。
在设计控制器的过程中，可以使用常规的Lyapunov函数以及复杂的绝对值函数，通过分析Lyapunov函数可以判断系统的混沌同步是否可控，研究结果表明，滑模控制可以有效控制时滞分数阶金融系统的混沌性，从而实现混沌同步。
最后，通过实验，证明滑模控制对时滞分数阶金融系统混沌同步的有效性。
实验中，我们采用了两种不同的滑模控制器，即线性模型滑模控制器和非线性模型滑模控制器，分别对时滞分数阶金融系统进行控制，结果表明，滑模控制器能够有效控制时滞分数阶金融系统的混沌行为，彻底解决混沌同步问题。
永磁同步电机混沌运动的无抖振终端滑模控制
永磁同步电机混沌运动的无抖振终端滑模控制李云峰【期刊名称】《陕西电力》【年(卷),期】2017(045)012【摘要】永磁同步电机在参数处于特定区域时会存在混沌现象,混沌的存在将使电机性能变差.为解决这个问题,结合滑模控制原理,提出了永磁同步电机混沌运动的无抖振终端滑模控制方法.该方法通过对转速外环和dq轴电流内环控制器的设计,可以确保电机的输出转速和电流在有限的时间内到达任意给定值.控制器的内部有低通滤波环节,能有效削弱传统滑模控制产生的抖振问题.仿真结果表明,该方法控制速度快,精度高,鲁棒性好.%Chaotic phenomena exists in permanent magnet synchronous motor(PMSM)when its parameters are within a certain range of value,degrading the performance of the motor drive system. Combined with sliding mode control theory,the paper proposes a chattering-free terminal sliding mode control method to solve the problem in PMSM. The method can ensure that the motor output speed and current reaches any given value in finite time by designing the outer-loop speed controller and inner-loop d-q axis current controller. There is low-pass filter inside the controller that can effectively weaken the chattering problem caused by traditional sliding mode control. The simulation results show that the control method is of high speed and precision as well as good robustness.【总页数】5页(P85-89)【作者】李云峰【作者单位】国网江苏省电力公司检修分公司,江苏南京 211100【正文语种】中文【中图分类】TM351【相关文献】1.低抖振非奇异终端滑模控制 [J], 张达科;胡跃明;胡战虎2.永磁同步电机混沌运动的无抖振终端滑模控制 [J], 李云峰;3.内置式永磁同步电机无抖振非线性滑模控制 [J], 邓维克;林立;朱虎;刘正奇4.Buck变换器的无抖振终端滑模控制 [J], 高巍;王洪航5.用于刚性机械手的无抖振快速终端滑模控制 [J], 冯勇;鲍晟;余星火因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于滑模控制分数阶统一混沌系统的函数投影同步
基于滑模控制分数阶统一混沌系统的函数投影同步耿彦峰;王立志【摘要】研究分数阶统一混沌系统的混沌特性.基于滑模控制理论设计了一种自适应函数投影同步的控制方案.选取合适的控制器以及自适应控制律,证明分数阶误差系统为渐近稳定的,驱动-响应系统最终实现自适应修正函数投影同步,且可以对驱动系统的不确定参数进行估计.最后利用Adams-Bashforth-Moultom算法进行数值仿真,仿真结果表明该方法是有效可行的.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(039)003【总页数】5页(P23-26,42)【关键词】分数阶;统一混沌系统;滑模控制;数值仿真【作者】耿彦峰;王立志【作者单位】忻州师范学院数学系,山西忻州034000;忻州师范学院数学系,山西忻州034000【正文语种】中文【中图分类】O1931 引言和预备知识随着对混沌系统同步控制的深入研究，相关学者提出了多种混沌同步的概念[1-4].文献[4]提出了混沌系统的修正函数投影同步的概念，该同步控制的驱动系统通过函数比例因子和响应系统实现同步，是一种更为广义的同步，其在工程领域中有着广阔的应用前景[4-5].实现混沌控制同步的主要方法有线性反馈控制法、自适应控制法和滑模控制法等[6-9].其中滑模控制方法适用系统范围广，能够得到快速响应，且具有很强的鲁棒性和抗干扰能力.对于分数阶混沌系统的修正函数投影同步，文献[5]基于分数阶微积分理论研究了一类不确定分数阶混沌系统的同步控制问题，文献[10]结合分数阶微分不等式研究了基于忆阻器分数阶时滞混沌神经网络的修正投影同步，文献[11]通过构造适当的响应系统针对一类分数阶超混沌系统设计了一种自适应广义投影同步的控制方案.本文研究分数阶统一混沌系统的自适应修正函数投影同步，基于滑模控制理论设计了一种自适应函数投影同步的控制方案.通过构造响应系统的补偿器，进而由响应系统得到误差系统；然后构造一个分数阶积分滑模面，给出合适的自适应控制器，并选取合适的自适应滑模控制律，最终实现自适应修正函数投影同步控制；最后通过数值算例及其仿真验证了所提控制方案的有效性和可行性.对于分数阶微积分的概念[12]，Caputo 定义的初始条件有明确的物理意义，因此广泛应用于许多实际问题的建模，本文采用Caputo 定义.函数f（t）的q 阶Caputo 导数为以下用代表定义1[4] 对于分数阶混沌系统和若存在函数对角矩阵M（t）=diag（m1（t），m2（t），…，mn（t）），使得则称这2 个系统获得函数投影同步.其中：mi（t）为连续可微有界函数，且mi（t）≠0，i=1，2，…，n.引理1[13] 对于自治系统Rn，若矩阵A 的任意特征值满足则该系统是渐近稳定的.引理2[14] 设x（t）为可微向量函数，则有其中：0 ＜q ＜1，P 为正定矩阵.引理3[15] 设为分数阶混沌系统f（x，t）的平衡点，若存在分数阶Lyapunov 函数V（t，x（t））与K 类函数γi（i=1、2、3），使得（1）γ1（‖x‖）≤V（t，x（t））≤γ2（‖x‖）；（2）则当0 ＜q ＜1 时，该分数阶系统是渐近稳定的.统一混沌系统相应的分数阶系统[16]为当α∈[0，1]，系统（2）均呈混沌态.本文只讨论0 ＜q ＜1的情形.2 主要结果系统（2）的矩阵形式为式（3）可表示为如下形式的混沌系统其中：A、B∈Rn×n 为已知常数矩阵，设‖A‖=N；f（x）为非线性向量函数；α 为单参数，α∈[0，1].以系统（4）作为驱动系统，构造响应系统其中：为α 的参数估计；U 为待设计的控制器.系统（4）和系统（5）的同步误差为为了得到分数阶误差系统，将参考信号的分数阶微分设计在补偿器中.因此对于响应系统（5），控制器U 设计为其中：v 为待设计的控制器；补偿器u 为则有将式（8）整理后可得误差系统设向量函数f（·）满足Lipschitz 条件，即‖f（y）-f（Mx）‖≤l‖y-Mx‖，其中l 为正常数.设计积分滑模面其中a ＞0.对式（10）求分数q 阶导得当系统进行滑模运动时，s=0，则即有由引理1 知系统（12）是渐近稳定的设计控制器及自适应律其中：Q=diag（q1，q2，…，qn）为正定阵，设q′＝min{q1，q2，…，qn}；为控制增益；λ、μ 均为正常数.定理对于驱动系统（4）和响应系统（5），设计积分滑模面（10），采用控制器（13）及自适应律（14），则系统（4）和系统（5）可实现修正函数投影同步.证明构造分数阶Lyapunov 函数设k 为正常数，且k≥N+l+a.对V 取分数q 阶导数，并由引理2 可得由引理3 知系统（11）是渐近稳定的，即s→0，故在滑模面s=0 上有e→0，所以系统（4）和（5）最终实现修正函数投影同步，且有证毕.3 数值仿真为了验证上述同步方案的正确性和有效性，采用Adams-Bashforth-Moultom 算法进行数值仿真.例1 对于分数阶统一混沌系统（3），取α=0.8，q = 0.98，此时系统为分数阶Lü 混沌系统.取M =则响应系统可写为通过补偿器u，由响应系统可得误差系统为积分滑模面、控制器与自适应律分别按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 为单位矩阵，步长h=0.01，系统（3）和（15）的初值取为x（0）=[3.5，7.5，-6]T，y（0）=[4，-3.5，3.2]T，（0）＝3.4.仿真结果见图1 和图2.由图1 可知驱动-响应系统最终实现同步，图2 表明参数趋于定值0.8.图1 例1 的e（t）-t 曲线Fig.1 Curve of e（t）-t for example 1图2 例1 的（t）-t 曲线Fig.2 Curve of （t）-t curve for example 1例2 对于系统（3），取a=1，q=0.9，此时系统为分数阶Chen 混沌系统，取响应系统按式（15）取得，则可得误差系统为积分滑模面、控制器与自适应律分别按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 为单位矩阵，步长为h =0.01，驱动系统、响应系统的初值分别取为x（0）=[-3.5，-6，6]T，y（0）= [7.8，-3.5，13]T，（0）＝3.2.仿真结果见图3 和图4. 图3 例2 的e（t）-t 曲线Fig.3 Curve of e（t）-t for example 2图4 例2 的（t）-t 曲线Fig.4 Curve of （t）-t curve for example 2由图3 可知驱动-响应系统最终实现同步，图4 表明参数趋于定值1.【相关文献】[1]HUANG T W，LI C D，LIU X Z.Synchronization of chaotic systems with delay using intermittent linear state feedback[J].Chaos:An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，2008，18（3）：1-8.[2]WU Q J，ZHOU J，XIANG L，et al.Impulsive control and synchronization of chaotic Hindmarsh-Rose models for neuronal activity[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，41（5）：2706-2715.[3]YU J，HUA C，JIANG H J，et al.Projective synchronization for fractional neural networks[J].Neural Networks，2014，49（2）：87-95.[4]DU H Y，ZENG Q S，WANG C H.Modified function projective synchronization of chaotic systems[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，42（4）：2399-2404.[5]孟晓玲，程春蕊.一类分数阶混沌系统的修正函数投影同步[J].湖北大学学报（自然科学版），2018，40（3）：232-236.MENG X L，CHENG C R.Modified function projective synchronization of a class of fractional-order chaotic system[J].Journal of Hubei University （Natural Science），2018，40（3）：232-236（in Chinese）.[6]ZHANG K，WANG H，FANG H.Feedback control and hybrid projective synchronization of a fractional-order Newton-Leiplink system[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（1）：317-328.[7]吴学礼，到刘杰，张建华，等.基于不确定性变时滞分数阶超混沌系统的滑模自适应鲁棒的同步控制[J].物理学报，2014，63（16）：7-13.WU X L，LIU J，ZHANG J H，et al.Synchronizing a class of uncertain and variable time-delay fractional-order hyper-chaotic systems by adaptive sliding robust mode control[J].Acta Physica Sinica，2014，63（16）：7-13（in Chinese）.[8]李特，袁建宝，吴莹.一类不确定分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制方法[J].动力学与控制学报，2017，15（2）：2235-2239.LI T，YUAN J B，WU Y.A method of adaptive slidingmode control for synchronization of one class of uncertain fractional-order chaotic systems[J].Journal of Dynamics and Control，2017，15（2）：2235-2239（in Chinese）. [9]RADWAN A G，MOADDY K，SALAMA K N，et al.Control and switching synchronization of fractional order chaotic systems using active controltechnique[J].Journal of Advanced Research，2014，5（1）：125-132.[10]张玮玮，陈定元，吴然超，等.一类基于忆阻器分数阶时滞神经网络的修正投影同步[J].应用数学和力学，2018，39（2）：239-248.ZHANG W W，CHENG D Y，WU R C，et al.Modified projective synchronization of memristor-based fractional-order delayed neuralnetworks[J].Applied Mathematics and Mechanics，2018，39（2）：239-248（in Chinese）.[11]耿彦峰，王立志.一类分数阶超混沌系统的修正函数投影同步[J].宁夏大学学报（自然科学版），2017，42（1）：39-45.GENG Y F，WANG L Z.Modified Function projective synchronization of a class of fractional-order hyper chaotic systems[J].Journal of Ningxia University（Natural Science Edition），2017，42（1）：39-45（in Chinese）.[12]周碧波，张润玲，雷勇.Riemann-Liouville 和Cputo 分数阶微积分[J].天津师范大学学报（自然科学版），2016，36（5）：20-22.ZHOU B B，ZHANG R L，LEI Y.Fractional order differential and integral of Riemann-Liouville and Cputo[J].Journal of Tianjin Normal University（Natural Science Edition），2016，36（5）：20-22（in Chinese）.[13]MATIGNON D.Stability results for fractional differential equations with application control processing[J].IMACS，I EEE-SMC，1996，17（6）：963-968.[14]DUARTE M M A，AGUILA C N，GALLEGOS J A，et ing general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional ordersystems[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2014，22（1/2/3）：650-659.[15]LI Y，CHEN Y Q，Podlubny I.Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems：Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler stability[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，59（5）：1810-1821.[16]孙玉琴，于永光.一类不同分数阶统一混沌系统间的修正广义函数射影同步[J].内蒙古大学学报（自然科学版），2018，49（3）： 246-252.SUN Y Q，YU Y G.A modified generalized functional projective synchronization in the different fractional-order unified chaotic systems[J].Journal of Inner Mongolia University（Natural Science Edition），2018，49（3）：246-252（in Chinese）.。
基于主动滑模控制的混沌系统函数投影同步
基于主动滑模控制的混沌系统函数投影同步刘金桂;黄立宏;盂益民【摘要】研究了一类混沌系统的函数投影同步问题.基于Lyapunov稳定性理论和主动滑模控制方法,设计了主动滑模控制器,实现混沌系统的函数投影同步.数值仿真验证了该控制器的有效性和正确性.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】3页(P6-8)【关键词】主动滑模控制;混沌系统;函数投影同步【作者】刘金桂;黄立宏;盂益民【作者单位】湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082;淮阴工学院数理学院,江苏淮安 223001;湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082;湖南女子学院,湖南长沙 410000;湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】O231.2自Pecora和Carroll[1]提出混沌同步原理以来,混沌同步问题引起了人们的广泛关注,并获得了大量的研究成果.在同步问题的研究中,提出了许多同步的方式,如完全同步[1]、相同步[2]、滞后同步[3]、广义同步[4]、投影同步[5]和函数投影同步[6]等.由于函数投影同步的思想是驱动系统和响应系统按一定的比例函数进行同步,并且比例函数的选择具有一定的灵活性,因此将函数投影同步运用到保密通信中可更好地加强保密通信中信息的安全,从而引起了越来越多的学者的广泛兴趣[7-9].目前,许多学者关于混沌同步问题提出了行之有效的控制方法,如PC同步法、反馈控制法、自适应控制法、主动控制法和滑模控制法等.由于滑模控制对系统干扰和摄动具有完全的鲁棒性而引起了学者们的关注.本文基于Lyapunov稳定性理论和主动滑模控制方法,设计了实现混沌系统的函数投影同步控制器,并进行了稳定性分析.数值仿真验证了该控制器的有效性和正确性. 考虑如下形式的驱动-响应混沌系统其中x(t),y(t)∈R n表示系统的状态变量,A∈R n×n是系统矩阵,ΔA表示系统不确定性参数矩阵,满足‖ΔA‖≤M,M>0.非线性向量函数f: R n→R n连续可微,且满足Lipschitz条件:定义误差e=y-α(t)x,则系统(1)和系统(2)的误差系统为其中α(t)是连续有界的可微函数,称α(t)为比例函数.假设对于若对任意初始值x0,y0,有e=y-α(t)x→0 (t→），则称系统(1)和系统(2)达到函数投影同步(FPS).本文的目的就是设计控制器u(t),使误差系统(3)渐近稳定,即系统(1)和系统(2)达到函数投影同步.若r>M,则有(t)<0,由Lyapunov稳定性理论,可以得到系统(3)的零解渐近稳定,即系统(1)和系统(2)达到函数投影同步.证毕.为了验证本文设计的控制器的有效性和正确性,本节采用了经典的四阶Runge-Kutta法进行仿真.选择Lo renz系统作为驱动系统和响应系统.Lorenz系统的动力学方程为其中a,b,c是系统参数,当a=10,b=28,c=-8/3时,系统是混沌的.不确定性参数Δa=0.1sin t,驱动系统和响应系统的初始值分别取为[-1,1,2]T和[9,8,10]T,比例函数α(t)=sin t+3.选取仿真步长为0.001,r=2,q=0.1.为了验证控制器的作用,本文在t=10秒时对系统施加了控制.仿真结果如图1,2所示.可见,随着时间t的增加,误差信号渐近地趋近于零,仿真结果表明系统按照给定的比例函数趋于同步.本文讨论了一类参数不确定混沌系统的函数投影同步问题.基于主动滑模控制策略和Lyapunov稳定性理论,设计了主动滑模控制器,并且分析了系统的稳定性.最后给出了数值仿真结果,验证了该控制器的有效性和正确性.【相关文献】[1] L M PECORA,T L CARROLL.Synchronization in chaotic systems [J].Physical Review Letters,1990,64(8):821-824.[2] M GROSENBLUM,A SPIKOVSKY,J KURTHS.Phase synchronization of chaotic oscillators[J].Physical Review Letters,1996,76 (11):1804-1807.[3] M G ROSENBLUM,A S PIKOVSKY,J KURTHS.From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators[J].Physical Review Letters,1997,78(22):4193-4196.[4] N F RULKOV,M M SUSHCHIK,L S TSINGRING.Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic cystems[J]. Physi-cal Review E,1995,51(2):980-994.[5] R MAIN IERI,J REHACEK.Projective synchronization in three-dimensional chaotic systems[J].Physical Review Letters,1999,82 (15):3042-3045.[6] Y CHEN,X LI.Function projective synchronization between two identical chaotic systems[J].International Journal of Modern Physics C,2007,18(5):883-888.[7] Y CHEN,H L AN,ZB LI.The function cascade synchronization approach with uncertain parameters or not for hyperchaotic Systems [J].Applied Mathematicsand Computation,2008,197(1):96-110.[8] H Y DU,Q S ZENG,C H WANG,et al.Fun-ction projective Synchronization in coupled chaotic systems[J].Nonlinear Analysis:Real World Application,2010,11(2):705-712.[9] 王健安,刘贺平.不同超混沌系统的自适应修正函数投影[J].物理学报,2010,59(4):2265-2271.[10]EW BA I,K E LONNGREN.Synchronization of two Lorenz systems using activecontrol[J].Chaos,Solitons&Fractals,1997,8(1):51-58.[11]H N AGIZA,M T YASSEN.Synchronization of Rossler and Chen chaotic dynamical systems using active control[J].Physics Letters A, 2001,278(4):191-197.[12]M FEKI.Slidingmode control and synchronization of chaotic systems with parametric uncertainties[J].Chaos,Solitons&Fractals,2009, 41(3):1390-1400.[13]J Y HUNG,W B GAO,J C HUNG.Variable structure control:A survey[J].IEEE Trans on IndElectron,1993,40(1):2-22.[14]V IUTKIN.Variable structure systemswith sliding modes[J].IEEE Trans Autom Control,1977,22(2):212-222.[15]V IUTKIN.Sliding Modes in Control and optimization[M].Berlin, New Yo rk:Springer.。
基于滑模PID神经网络控制的混沌同步
基于滑模PID神经网络控制的混沌同步杨文光;高艳辉;隋丽丽【摘要】对于多输入多输出(multiple inputs multiple outputs,简称MIMO)混沌系统的同步问题,设计了基于误差比例-积分微分(proportional integral derivative,简称PID)改进下的滑模径向基函数神经网络(radial basis function,简称RBF)控制方法,实现了主从统一混沌系统的同步.设计自适应RBF滑模控制器,将其用于初值不同的不确定主从统一混沌系统的同步控制中,证明了控制的Lyapunov稳定性.最后结合MATLAB仿真实验验证了所提方法的可行性与有效性.%For the synchronization of multiple inputs multiple outputs (MIMO) chaotic systems,a sliding mode radial basis function neural network (RBF) control method based on error proportional integral derivative (PID) control was proposed,and the synchronization of master-slave unified chaotic system with the same and different structure was received.An adaptive RBF sliding mode controller was designed,which was used for the synchronization control of uncertain master-slave unified chaotic systems with different initial values,and the Lyapunov stability of the control wasproved.Finally,the feasibility and effcctiveness of the proposed method was verified by MATLAB simulation.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(041)002【总页数】5页(P72-76)【关键词】统一混沌系统;同步;PID;滑模控制;RBF【作者】杨文光;高艳辉;隋丽丽【作者单位】华北科技学院基础部,北京101601;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191;华北科技学院基础部,北京101601;华北科技学院基础部,北京101601【正文语种】中文【中图分类】O415在混沌系统的研究初期，由于混沌系统具有极端的复杂性、初值的极端敏感性、运行的无规则性等特点，混沌同步被认为是十分困难的.直到1990年Pecora等[1]提出混沌同步方法，并在电路中首次观察到了混沌同步现象，才为混沌系统的开发利用带来了发展机遇.同年，参数微扰控制方法由Ott等[2]首次提出，驱动混沌系统控制同步从此成为混沌研究领域的热点问题.随着计算机技术与信息通信技术的交叉融合，混沌同步在混沌保密通信中发挥了越来越重要的作用[3-6].在混沌控制与混沌系统分析领域，吕金虎等[7]在2002年提出了统一混沌系统.由于统一混沌系统会受参数摄动而呈现出不同的混沌状态，于是成为不同混沌系统联系的纽带.统一混沌系统有机地连接了Lorenz吸引子和Chen吸引子，并使得Lü系统成为它的特例[8-9].在理论分析中，经典的控制方法通常采用直接或者间接抵消掉响应系统的非线性项来达到系统同步的目的，由于一些非线性项难于测量而不便应用于实际.RBF(radial basis function)神经网络作为一种具有良好逼近性能的神经网络得到了非常广泛的应用[10-11].滑模变结构控制因其有目的地迫使被控系统按照预定的滑模面运动，而表现出极强的快速响应、无需在线辨识与实现简单的特点，受到广泛关注[12-14].笔者为了实现多输入多输出混沌系统的同步，努力减弱受控系统的非线性动力学行为，利用PID(proportional integral derivative)控制思想设计滑模函数，结合RBF神经网络与滑模控制技术生成多个并行控制器，实现了在线优化RBF神经网络权值与同步跟踪性能.在同步跟踪中只需要知道不确定主从统一混沌系统的状态信息，而无需知道其他任何非线性不确定信息，就使得响应系统的动力学行为不受其影响.最后结合MATLAB仿真实验验证了所提方法的可行性与有效性.统一混沌系统既是一种经典的混沌系统，同时也是联系多个不同混沌系统的桥梁，实现主从统一混沌系统的同步，对于实现其他混沌系统的同步具有很好的借鉴意义.如果统一混沌系统中含有不确定项与非线性项，那么其混沌特性将更符合客观实际和应用需求.下面将从主从混沌系统描述与说明、滑模PID神经网络同步控制器的设计两个方面加以阐述.1.1 系统描述与说明选择统一混沌系统[7]的驱动系统(主系统)为选择统一混沌系统[7]的响应系统(从系统)为将公式(1)、(2)分别简记为其中：α,β为系统参数时系统呈现混沌状态.x,y为系统状态向量，且特别地，主从混沌系统:当α=β=0时，均为Lorenz系统；α=β=1时，均为Chen系统；α=β=0.8时，为Lü系统[7-9]；α,β∈[0,0.8)时，为广义的Lorenz系统；α,β∈(0.8,1]时，为广义的Chen系统.在考虑参数摄动与外部干扰的情况下，统一混沌系统就成为了不确定统一混沌系统.为了实现两个不确定统一混沌系统的同步，需要在统一混沌从系统中加入控制输入得到其中：A,B均为3阶的线性定常的方阵；△Ax,△By为线性干扰项；为非线性向量项；为非线性扰动项；为外部干扰项.控制输入向量假设与均是有界的.公式(3)表示不确定主统一混沌系统，公式(4)表示不确定从统一混沌系统.1.2 滑模PID神经网络控制器设计与稳定性分析为了实现主从统一混沌系统的同步，设计出3个单输入单输出的RBF神经网络，使用PID控制思想改进的滑模控制中的滑模函数，实现神经网络的在线学习能力与滑模变结构控制技术结合共同优化设计使得‖‖=0，其中为了减弱受控系统的非线性动力学行为，下面利用RBF神经网络与PID控制思想结合设计出动态滑模面其中：k1i,k2i,k3i>0，且k1i,k2i,k3i的选择取决于满足Hurwitz稳定的多项式：即的全部特征值都分布在复平面的左半平面内，i=1,2,3. 动态滑模面的设计集成了误差、误差变化率与误差的积分，体现了PID控制思想，同时充分兼顾了同步系统的过去、现在与未来的差异性.RBF神经网络是一种具有良好逼近性能且仅包含输入层、隐含层与输出层的简单神经网络，其中输入层包括1个神经元，隐含层包括m个神经元，输出层包括1个神经元. 论文将作为第i个RBF神经网络的输入，其输出为第i个状态变量的控制量则可表示为其中：pi是比例因子，pi>0,i=1,2,3.对于第i个状态变量xi与yi，选择误差函数表达式为当误差时，有则所以选择公式(7)作为RBF神经网络的误差函数，用于动态调整网络的隐含层到输出层权值wij，i=1,2,3，j=1,2,…,m.定理1 对于不确定的统一混沌系统(3)与(4)，若中的控制分量采用公式(6)的形式，RBF神经网络的误差函数选择为公式(7)的形式，则权值wij的在线调整律为且控制系统是渐进稳定的.证明由于RBF神经网络属于前向神经网络，所以学习算法采用误差反向传播算法，有其中：ηi为学习率；h为采样步长；i=1,2,3；j=1,2,…,m.对于第i个RBF滑模PID控制器取Lyapunov函数为有因为RBF神经网络采用的是误差反向传播学习算法，故误差函数的导数所以，有.由此可知控制系统是渐进稳定的.下面利用MATLAB编程进行仿真，利用上面建立的滑模PID神经网络控制，实现主从统一混沌系统的同步.仿真实验中，统一混沌系统同步时主从系统的参数取值分别为k12=1,k22=0.1,k32=0.1,k13=1,k23=0.1,k33=2,η1=η2=η3=100,同步时，主系统的初值为从系统的初值为神经网络的结构为1-7-1形式.统一混沌系统的同步结果见图1，各个状态输出与同步误差见图2～4，图5给出了同步的控制输入.论文利用PID控制思想设计了滑模函数，生成了多输入多输出(MIMO)混沌系统的多个RBF神经网络，每个RBF神经网络均为单输入单输出结构，以滑模函数作为输入，提高了滑模控制的控制精度，减弱了控制抖振.通过Lyapunov稳定性理论分析证明了所设计的滑模PID神经网络控制的渐进稳定性.最后，结合MATLAB 仿真，实现了初始值不同的两个不确定统一混沌系统同结构与异结构同步.仿真结果表明，论文所建立的控制器对于存在外部干扰与参数扰动的不确定的MIMO混沌系统的控制是有效的，控制器的设计仅仅依靠主从混沌系统的状态输出，便于实际应用.【相关文献】[1] PECORA L M, CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Phys Rev Lett，1990, 64 (8): 821-824.[2] OTT E, GREBOGI C, YORKE J A. Controlling chaos[J]. Phys Rev Lett, 1990, 64 (11): 1196-1199.[3] 王兴元. 混沌系统的同步及在保密通信中的应用[M]. 北京：科学出版社, 2012.[4] 李震波，唐驾时. 参数扰动下的混沌同步控制及其保密通信方案[J]. 控制理论与应用, 2014, 31(5): 592-600.[5] 李雄杰，周东华. 一种基于强跟踪滤波的混沌保密通信方法[J]. 物理学报, 2015, 64 (14): 140501.[6] 于娜，丁群，陈红. 异结构系统混沌同步及其在保密通信中的应用[J]. 通信学报, 2007, 28 (10):73-78.[7] LUE J H, CHEN G, CHENG D, et al. Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12 (12): 2917-2926.[8] LUE J, CHEN G. A new chaotic attractor coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12 (3): 659-661.[9] LUE J, ZHOU T, CHEN G, et al. Generating chaos with a switching piecewise-linear controller[J]. Chaos, 2002, 12 (2): 344-349.[10] 郭会军, 刘丁, 赵光宙. 受扰统一混沌系统基于RBF网络的主动滑模控制[J]. 物理学报, 2011, 60 (1): 010510.[11] 任亚, 李萍. 基于RBF神经网络的中国CPI预测研究[J]. 西安财经学院学报, 2011, 24 (1): 62-65.[12] 潘光，魏静. 一种分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制器设计[J]. 物理学报, 2015, 64 (4): 040505.[13] 李华青, 廖晓峰, 黄宏宇. 基于神经网络和滑模控制的不确定混沌系统的同步[J]. 物理学报, 2011, 60 (2): 020512.[14] 高为炳. 变结构控制的理论及设计方法[M]. 北京：科学出版社, 1998.。
分数阶混沌系统的终端滑模同步控制
分数阶混沌系统的终端滑模同步控制邵克勇;韩峰;郭浩轩;王婷婷【摘要】The study on terminal sliding mode synchronization control over different fractional order chaotic systems with uncertainties and perturbations was implemented, including having Lyapunov stability theory, sliding mode control theory and finite time definition based to design a terminal sliding mode finite time con-troller to realize synchronization of two fractional order chaotic systems; meanwhile, a new nonsingular frac-tional order terminal sliding surface was designed in the process of building the controller and it can converge to the zero point within a limited time.The simulation results verify the effectiveness and feasibility of this ter-minal sliding mode controller.%研究了带有不确定项和扰动的不同分数阶混沌系统的终端滑模同步控制问题.基于Lyapunov稳定性理论、滑模控制理论和有限时间定义,设计终端滑模有限时间控制器,实现了两个分数阶混沌系统的同步.同时,在控制器构建过程设计了一个新的非奇异分数阶终端滑模面,该滑模面可以在有限时间内收敛到零点.数值仿真验证了该终端滑模控制器的准确性和可行性.【期刊名称】《化工自动化及仪表》【年(卷),期】2018(045)004【总页数】4页(P298-301)【关键词】分数阶混沌系统;滑模控制;有限时间控制;Lyapunov原理【作者】邵克勇;韩峰;郭浩轩;王婷婷【作者单位】东北石油大学电气信息工程学院;东北石油大学电气信息工程学院;东北石油大学电气信息工程学院;东北石油大学电气信息工程学院【正文语种】中文【中图分类】TP13分数阶微积分已经有几百年的历史了，但是它在物理学和工程学领域中的应用是在最近几年才开始的[1]。
基于主动滑模控制实现一类含有非匹配不确定混沌系统的同步
网络 的 同 步 法 [ 7 ] 、 基于 T - S模糊模型的 同步
[8]
假设响应系统
y �= ( A +ΔA ( t) ) y + f ( y ) + u
T n
、 主动控制同步法
等 . 以上各种方法大 多
R
n
(2)
以参数和结构确定的混沌系统作为研究对象设 计 同步方法 , 当系统中存在参数不确定性和外部扰动 时 , 混沌系统的敏感性 将造成系统状 态极大的 差 异 . 滑模控制作为一种特殊的非线性控制策略 , 对 系统参数变化和噪声干扰具有良好的鲁棒性能 , 为 此 , 文献 [ 11 ]将主动控制和滑模控制策略相结合 , 研究了一类不确定参数满足匹配条件的混沌系 统 的同步问题 , 文献 [ 12 ]设计了一个主动滑模控 制 器 , 实现参数完全己知情况下 , 不同混沌系统之 间 的同步 . 在上述研究的基础上 , 本文研究了一类 非 匹配不确定混沌系统的同步问题 , 将主动控制与滑 模控制相结合 , 采用非奇异变换 , 将不确定系统 分 解成两个子系统 ,第一个子系统与控制变量无直接 关系 ,第二个子系统的 维数与控制输 入的维数 一 致 , 利用 LM I方法 ,给出了误差系统滑动模态稳定 的充分条件 ,并在此基础上 , 设计了滑模控制器 , 通 过对 R �ssler系统的仿真研究 , 验证了所给控制 器 的有效性 .
317
u ( t) = Bw ( t) - F ( x, y)
式 ( 5) 可重新写成
e �= (A +ΔA ( t) ) e + Bw ( t) ( 7)
2 xT y ≤ rxT x +
1
r
y y
T
( 18 )
滑模控制方法在混沌同步中的应用
本科毕业论文题目：滑模控制方法在混沌同步中的应用院系：专业：班级：学生姓名：指导老师：论文提交日期： 2013年 6月日论文答辩日期： 2013年 6月日摘要非线性科学是当今学术界普遍关注的前沿课题和学术热点，混沌运动是非线性动力学系统中的一种特有运动形式。
混沌信号具有类噪声、非周期、连续宽带频谱、遍历性等特性，特别适用于保密通信领域，但现在针对低维混沌信号的加密破译方法已经出现。
超混沌系统和混沌系统相比，有更为复杂的动力学行为，系统的随机性和不确定性都极大地增加了，在混沌应保密通信中一些针对低维混沌信号的破译方法如非线性预测、回归映象、相空间重构等方法都很难破译超混沌加密的信号。
因此设计合适的控制器来实现超混沌同步，并将其应用于保密通信具有重要的工程应用意义。
本文选取滑模变结构的控制器来实现超混沌同步控制。
主要内容包括：1.介绍混沌和超混沌系统的定义、基本特征和各种分析方法，同时对混沌、超混沌同步的基本方法、概念作简单阐述。
2.根据超混沌Lorenz系统的微分方程搭建数值仿真模型，对所搭建的模型进行仿真；为了便于硬件电路的实现，对典型的超混沌Lorenz系统进行坐标变换，对变换后的系统进行数值仿真。
3.根据变换后的系统的微分方程设计了硬件电路，在Multisim中对该电路进行仿真，并给出了超混沌电路的实验结果——各种状态下的相空间图；通过对实际电路参数的计算以及模型参数的理论分析，验证了实验结果与计算机仿真结果的一致性；该超混沌电路结构简单、参数容易调节，系统的动力学特性丰富，易于观察，利于了解混沌、超混沌系统的特性，为超混沌在工程中的应用提供了很好的信号源。
4.在了解了几种常见的超混沌同步的控制方法后，通过比较本文设计了滑模变结构控制器，并根据Lyapunov函数的稳定性理论证明了所设计的控制器的可行性。
该控制器的优点在于，不仅能实现超混沌同步，还能很好的消除抖动现象。
最后在Simulink中搭建控制器仿真图并进行仿真，验证了滑模控制方法在超混沌同步中的应用的可行性。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步就是利用滑模控制技术
来对金融系统中出现的混沌进行同步。
它主要使用了分数阶微积分方
法来精确描述时滞存在的金融系统。
借助滑模控制，可以用一个适当
的控制功能来改变金融系统中混沌特性的各个阶段，从而有效地实现
混沌同步。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，首先需要对金
融系统建立一个时滞分数阶微积分模型。
然后，构建一个合适的控制器，在不同的时期调整金融系统中的混沌特性。
分数阶微积分相比传
统的积分微分数学模型，具有更好的精确度，能够更好地反映时滞存
在的金融系统的变化趋势。
在滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，控制器的设
计非常重要，因此，控制器的设计通常结合了Lyapunov技术、鲁棒滑
模技术、Fuzzy技术等一系列技术方法，将复杂的金融系统变成一个简
单的可控制系统。
利用这种技术，可以用一系列精心设计的控制器来
调整金融系统中混沌特性，从而实现混沌同步。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术在金融系统中的应
用非常广泛，能够有效的解决复杂的金融系统问题，提高金融系统的
可靠性和可靠性。
这一技术可以为复杂的金融系统设计提供新的思路，为金融系统的高效运营提供支持。
基于终端滑模控制的幸福模型的混沌同步
定理 １ ： 在误 差 系统 （ ４ ） 的非 奇异 终端 滑膜 面 （ ５ ） 上， 系 统 轨 迹 能 在 有 限 时 间 内 达 到 平 衡 点 ， 其 中
．
３
１ 一
（ 告 ∑ （ ｆ ） ） 丁
ｔ ｓ≤ 。 ＝ — 一
，
“＝ｍｉ ｎ （ Ａ ￣ ， ， ） 。
Ｉ （ ｔ ） ＝ 一 嘿 （ ｔ ） 一 ｂ （ １ 一 （ ｆ ） ） （ ｔ ） 一 Ｙ ｚ （ ｔ ） ＋ 、
【 （ Ｊ ， ） ＋ ｄ ３ （ ｆ ） ＋ Ｕ ３ （ ｆ ） 。
定义 系统（ ２ ） 和系统 （ ３ ） 的误差为 ｅ （ ｔ ） ＝Ｙ （ ｔ ） 一 （ ｆ ） （ ｆ ＝１ ， ２ ， ３ ） ， 则 由系统 （ ３ ） 与系统 （ ２ ） 相 减得 到的误
２ Ｔ（ １ 一ｒ ） ｕ 证明 ： 构造 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 函数 Ｖ＝ １ ２ （ ） ＋ｅ ２ （ ｔ ） ＋
岛 ） ＝ （ ） ＋ （ ） ） ＋ｄ ｌ ） ＋ｇ ） ，
ａ ｅ ３
豸（ ｆ ） ） ， 设计滑模面
（ ｆ ） ＝ｅ ｌ （ ｔ ） ＋Ａ ， ｉ ） ｒ ｓ ｇ ｎ ｅ ｉ （ ｒ ） ｄ ｒ ，
是未知的正数 。
引理 １ ［ １ ｏ ］ ： 假设 存在 连续 的正定 函数 Ｖ （ ｔ ） 满足 微
分方程 的定性 理论研究了幸福模型 的稳定性 。孙 玉霞
等［ ， ］ 对 幸福模 型做 了动力学解析 。 在此基 础上 ， 我们 利 用 滑模 终端 控 制方法 研究 了幸福模 型 的混 沌 同步 问 题． 并借 助 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 稳定性理 论导 出了幸 福模型实 现 终端滑模混沌 同步的充 分条件 。
分数阶单摆系统的终端滑模控制混沌同步
假设 2 mi, ni 未知．
定义误差 ei = yi − xi (i = 1, 2)，则误差系统为
Dµe1 = e2 + ∆f1(y) + d1(t) + u1(t),
Dµe2 = −γe2 − gl−1(sin y1 − sin x1) + ∆f2(y) + d2(t) + u2(t).
aDµt u(t)
=
Dn[aD−t σ
] u(t)
=
1
∫t Dn (t − τ )σ−1u(τ )dτ.
Γ(σ) a
注 1 为方便起见，文中记 aDµt u(t) 为 Dµu(t)． 注 2 当 µ > 0 时，Dµu(t) 表示导数算子，µ < 0 时，Dµu(t) 表示积分算子．
注 3 本文以下涉及的 µ 均满足 0 < µ ≤ 1．
(2)
其中 x(t) = [x1, x2]T 为主系统的状态向量，y(t) = [y1, y2]T 为从系统的状态向量，∆fi(y) 和 di(t) (i = 1, 2) 分别表示不确定项和外部扰动，ui(t) (i = 1, 2) 是控制输入．
假 设 1 设 不 确 定 项 ∆fi(y) 和 外 部 扰 动 di(t) (i = 1, 2) 都 是 有 界 的 ， 即 存 在 常 数 mi, ni > 0，使得
(3)
引理 1[18] 分不等式
设 p > 0, 0 < η < 1 是两个正常数，如果存在正定连续函数 V (t) 满足微 V˙ (t) ≤ −pV η(t), ∀ t ≥ t0, V (t0) ≥ 0,
滑模控制实现受噪声干扰超混沌Lorenz-Stenflo系统的同步
滑 模 控 制 实 现 受 噪 声 干 扰 超 混 沌
Ｌ ｒｎ －ｔｎ ｌ ｏ ｅ ｚＳｅ ｆ ｏ系统 的 同 步
丰 建文 代 安 定 徐 晨 孙 少辉
（ 深圳 大学 数 学与计算 科 学学 院 ， 圳 ５ ８ ６ ） 深 １ ０ ０ 摘 要 ： 受噪声 干扰 的超 混沌 Ｌ ｒｎ— ｔｎｌ 对 ｏｅ ｚ ｅ ｆ Ｓ ｏ系统 的同步 问题进 行 了研 究． 设计 一 种新 型 比例 积 在
符号 函数 ， 消除 了同步过程 中的抖 动． 值 模 拟 结果 表 明 ： 滑模 控 制器 能 有 效 实现 混 沌 同 步 ， 数 该 且
对 不 匹 配 的 噪 声 干 扰 具 有 强 的鲁 棒 性 ．
关键 词 ： 同步 ； 超 混 沌 Ｌ ｒｎ— ｔｎｌ ｏｅ ｚ ｅ ｆ Ｓ ｏ系统 ； 滑模控 制 ； 噪声 干扰
Ｓｔ ｎ ｌ ｙｐ ｒ ｈａ ｔｃ ｓ ｓ ｅ ｗｉｈ ｎｏ ｓ ｐ ｒ ｕ ｂａ ｉｎ． ｔ ｓ ｐｒ ｖ ｄ ｈｅ ｒ ｔｃ ｌｙ ｔ ｔ ｔ ｙ ｃ ｒ ｉａ ｉ ｂ — ｅ ｆｏ ｈ ｅ ｃ ｏ ｉ ｙ ｔ ｍ ｔ ｉｅ ｅ ｔ ｒ ｔｏ Ｉ ｉ ｏ ｅ ｔ ｏ ｅ ｉａ ｌ ｈａ ｈｅ ｓ ｎ ｈ ｏｎ ｚ ｔｏｎ ｅ ｔ ｅ ｕｃ ｎ ｓ — ｅ ｔ ｂ ｄ ｙｓ ｅ ｓ ａ ｂｅ ｍ ｐ ｅ ｎ ｅ ｂ ｃ ｏｏ ｉ ａ ｗｅ ｎ ｓ ｈ ｏｉｅ— ｒ ｕｒ ｅ ｓ ｔ ｍ ｃ ｎ ｐ ｉ ｌ ｍｅ ｔ ｄ ｙ ｈ ｓｎｇ ｎｏ ｅ ｐｒ ｏｒｉ ａ・ｎｔ ｇ ａ ｓｉ ｉ ｇ ｖ ｌ ｏｐ ｔｏｎ ｌｉ ｅ ｒ ｌ ｌｄ ｎ — ｍｏ ｅ ｓ ｆ ｃ ｎ ｅ ｉ ｉ ｌｄｉ ｇ ｍｏ ｏｎ ｒ ｌ ｒ Ｎｕｍｅ ｉａ ｉ ｕｌｔｏ ｓ ｏｗ ｈ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｅ ｓ ｏｆ ｔ ｄ ｕｒａ ｅ ａ ｄ ｄ ｓｇｎ ｎｇ ａ ｓ ｉ ｎ ｄｅ ｃ ｔ ｏｌｅ ． ｒｃ ｌｓｍ ａ ｉ ｎｓ ｈ ｔ ｅ ｆｅ ｔｖ ｎ ｓ ｈｅ
二阶混沌系统基于指数终端滑模控制的投影滞后同步
二阶混沌系统基于指数终端滑模控制的投影滞后同步刘锦梅;邢广霞;高岩波【摘要】研究了带有外部干扰变量和不确定项的二阶混沌系统的投影滞后同步问题。
基于Lyapunov稳定性理论及指数型快速终端滑模策略的有限时间快速收敛性，提出一种新的滑模变结构控制，并设计相应的滑模曲面和控制律。
所设计的控制器使误差系统状态变量能以较快的收敛速度在有限时间内进入指数终端滑模曲面并最终到达平衡点。
数值仿真验证了该控制方法的有效性。
%The problem of the projective lag synchronization for second-order chaotic systems with external distur-bances and uncertainty was discussed. Based on the Lyapunov stability theory and the finite-time fast convergence of exponential fast terminal sliding mode control strategy, a novel sliding mode variable structure control was proposed and the corresponding sliding surface and control law were designed. The designed controller can make the sate vari-ables of the error system reach the exponential sliding surface with a fast convergence rate in finite time and eventually arrive at the equilibrium point. A numerical simulation was performed to verify the effectiveness of this control method.【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】6页(P20-25)【关键词】二阶混沌系统;指数终端滑模控制;投影滞后同步【作者】刘锦梅;邢广霞;高岩波【作者单位】南通大学理学院，江苏南通 226007;南通大学理学院，江苏南通226007;南通大学理学院，江苏南通 226007【正文语种】中文【中图分类】O231.51990年Pecora 和Carroll[1]用电子电路实验实现了混沌同步，并首次提出一种称为驱动-响应混沌同步方法，开创了人们对混沌同步的研究.Ott 等[2]提出的OGY 控制法开启了混沌控制的历史.混沌同步与控制因其具有广阔的应用前景而引起了许多领域学者的广泛关注，例如，混沌系统同步控制已应用于信息处理、通信安全、生物工程和化学加工等领域.混沌同步的典型结构由驱动系统和响应系统组成，驱动系统通过耦合信号驱动响应系统以实现耦合混沌系统的同步.近年来，研究人员对混沌同步进行了深入的研究，提出了各种有效实现混沌同步的方法[3]，如积分不等式法[4]、可靠控制法[5]、自适应控制法[6]、主动控制法[7]、主动滑模控制法[8－9]、改进主动滑模控制法[10]、终端滑模控制法[11]、非奇异终端滑模控制法[12]等.这些方法都可以使混沌系统达到渐近同步.然而，大部分学者的研究集中于完全同步，但在实际应用中，除了在理想条件下，完全同步是很难达到的.近年来，一些学者拓宽了混沌同步的概念，提出并实现了投影同步[6－8，13]及投影滞后同步[9]，即驱动系统与响应系统的状态同步到一个恒定的缩放因子.完全同步、反同步和投影同步均属于投影滞后同步的特殊情形，因此投影滞后同步因其重要性而很值得去研究.滑模控制可以保持对系统结构、参数及外界干扰等不确定性因素的鲁棒性，而且可以获得较为满意的动态性能，然而滑模控制的鲁棒性是以控制量的高频抖振换取的，这种高频抖振在系统中形成干扰而使得系统不稳定[14－15].终端滑模控制的控制律是连续的且无切换项，它可有效地消除抖振，而且可使系统状态在有限时间内收敛到平衡点，突破了普通滑模控制在线性滑模面的条件下渐近收敛的特点，系统的动态性能优于普通滑模控制[16].近年来，有些学者提出了一种指数型终端滑模，系统状态能以更快的速度在有限时间内进入滑模并最终到达平衡点[17－18].本文在此基础上研究具有未知不确定性和外部干扰的二阶混沌系统基于指数终端滑模的改进投影滞后同步问题，通过设计一种新的指数型终端滑模控制器来实现二阶混沌系统的改进投影滞后同步.1 问题描述考虑如下2个二阶混沌系统：其中：x（t） =[x1（t）， x2（t）]T∈R2 和 y（t） =[y1（t），y2（t）]T∈R2 分别为驱动系统和响应系统的状态变量；u（t）∈R为控制输入；f（x（t），t）∈R 和 g（y（t），t）∈R为已知非线性函数.dx（t）∈R 和 dy（t）∈R为外部干扰变量且满足Δg（y）∈R为响应系统的不确定项，且有其中Dx，Dy，G 均为已知的正数.注1 如果 f（·， t）≠g（·， t），则驱动系统（1）与响应系统（2）为2个不同的二阶混沌系统.定义1 投影滞后同步误差定义为其中τ＞0为系统的允许时滞，J为标量因子.注2 完全同步、反同步和投影同步均为投影滞后同步分别当J=1，J=－1 和τ=0时的特殊情形.由式（1）、（2）和（6）可得误差系统为本文所研究的问题可以表述为：设计基于指数型快速终端滑模控制的控制器u （t），使得误差系统（7）的状态在任意e（0）≠0 的条件下收剑于零，从而实现驱动系统（1）和响应系统（2）在任意不同的初始条件下的投影滞后同步，即其中‖·‖为Euclid 范数.2 指数型终端滑模控制器设计引理1[18] 系统状态变量σ（t）∈R 在如下滑模面：上是渐近稳定的，且对于任意给定的初始条件σ（0）=σ0，系统s（t）=0 的状态变量将在有限时间内到达平衡点，其中α＞0，β＞0 是常数，p 和q为正奇数，1＜p/q＜2，0＜k≤1.为了使误差系统（7）的状态 e1（t）和 e2（t）在有限时间内到达平衡点，本文中我们基于引理1 构造如下的指数型快速终端滑模曲面：s（t） =C1e1（t） +C2e2（t） +C3H（t）（8）其中：C1，C2，C3∈R为确定的参数且有C1＞0 和C2＞0，α＞0，β＞0为常数，p 和q为正奇数，1＜p/q ＜2，0＜k≤1，且于是有如下定理.定理1 对于误差系统（7），如果采用如下的控制率：其中L＞1，ε＞0，δ＞0，且则系统（7）的状态变量在滑模面（8）上是渐近稳定的，且对于任意给定的初始条件e（0）≠0，系统（7）的状态e（t）将在有限时间内到达平衡点.证明：考虑Lyapunov 函数则 V（t）对时间 t 的导数为将式（10）带入上式有根据Razumikhim 定理[9]这样由式（3）可知由式（4）、（5）、（12）及（11）可得其中， s（t）≠0.根据Lyapunov 稳定性定理，在 s（t）≠0 的情况下，s（t）总能在有限时间内到达平衡点，也就是说在控制输入（10）的作用下，系统（7）的状态变量e（t）将在有限时间内到达终端滑模面s（t）=0.由于C2＞0，则在滑模面（8）上有又由式（7）有注意在方程（14）中C1＞0 和C2＞0，根据常微分方程理论及引理1，e1（t）将在有限时间内收敛于平衡点，又由式（9）可知， H（t）将随着 e1（t）的变化在有限时间内收敛于平衡点，再根据式（13）知e2（t）也将在有限时间内到达平衡点.因此误差系统（7）的状态 e1（t）和 e2（t）将在有限时间内到达滑模面（8）后收敛到平衡点，定理得证.当τ=0时，投影滞后同步误差（6）变为投影同步误差e（t） =y（t） -Jx（t）此时，系统（7）变为投影同步误差系统由定理1 有推论1 对于误差系统（15），如果采用如下的控制率其中ε＞0，δ＞0，且则系统（15）的状态变量在滑模面（8）上是渐近稳定的，且对于任意给定的初始条件e（0）≠0，系统（15）的状态e（t）将在有限时间内到达平衡点.3 数值仿真选取Φ6－Duffing oscillator 系统（驱动系统）和Duffing－Holmes 系统（响应系统）来验证本文所提出的指数型终端滑模控制方法的有效性，它们的状态方程分别为：Φ6－Duffing oscillator 系统（驱动系统）其中 dx（t）=0.03 sin πt，Δg（y） =－0.05y1（t），dy（t）=0.04 cos t. 在没有外部干扰变量及不确定项的情况下，驱动系统（16）和响应系统（17）在初始条件 x（0） =[x1（0） x2（0）]T=[0.5 2.3]T 和 y（0） =[y1（0） y2（0）]T=[－0.5 0.1]T 下的相平面轨迹分别如图1 和2所示.图1 驱动系统（16）的相平面轨迹图图2 响应系统（17）的相平面轨迹图选取投影滞后同步误差（6）中的参数J=2，τ=3；指数型终端滑模曲面（8）中的参数C1=1.2，C2=2， C3=3，α =0.8，β =0.7， p=5， q=3， k=0.9；控制器（10）中的参数 Dx=3， Dy=0.4， G=0.5，ε=0.08，δ=0.1，L=2.利用MATLAB 的Simulink仿真结果分别如图3～6所示，其中图3为指数终端滑模曲面s（t），图4为控制输入u（t），图5为驱动-响应系统的状态 x1（t）， y1（t）与 x2（t）， y2（t）的响应曲线，图6为驱动-响应系统的投影滞后同步误差e1（t）和 e2（t）的响应曲线.可以看出，状态轨迹在有限时间内收敛于零，即我们实现了驱动系统（16）与响应系统（17）的投影滞后同步.图3 指数终端滑模曲面s（t）图4 控制输入 u（t）图5 驱动-响应系统的状态响应曲线图图6 投影滞后同步误差响应曲线图4 结论本文通过构造指数型终端控制器研究了带有外部干扰变量和不确定项的二阶混沌系统的投影滞后同步问题.基于指数型快速终端滑模控制策略设计了相应的滑模曲面和控制律，仿真结果显示，所设计的指数型终端滑模控制具有很强的鲁棒性，而且可使误差系统状态变量在有限时间内到达平衡点，能很好地实现驱动-响应系统的投影滞后同步.参考文献:[1]Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems［J］.Physical Review Letters， 1990， 64（8）：821-824.[2]Ott E， Grebogi C， Yorke J A.Controlling chaos［J］.Physical Review Letters， 1990， 64（11）：1196-1199.[3]Nijmeijer H.A dynamical control view on synchronization［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena， 2001， 154（3/4）：219-228.[4]Xiang Ji， Li Yanjun， Wei Wei.An improved condition for master-slave synchronization of Lur′e systems with time delay［J］.Physics Letters A，2007， 362（2/3）：154-158.[5]Kuo Hang-Hong， Hou Yi-You， Yan Jun-Juh， et al.Reliable synchronization of nonlinear chaotic systems［J］.Mathematics and Computers in Simulation， 2009， 79（5）：1627-1635.[6]Park J H.Adaptive control for modified projective synchronization of a four-dimensional chaotic system with uncertain parameters［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics， 2008， 213（1）：288-293. [7]Tang Yang，Fang Jian′an.General methods for modified projective synchronization of hyperchaotic systems with known or unknown parameters［J］.Physics Letters A， 2008， 372（11）：1816-1826.[8]Cai Na， Jing Yuanwei， Zhang Siying.Modified projective synchronizationof chaotic systems with disturbances via active slidingmode control［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2010， 15（6）：1613-1620.[9]Gao Yanbo， Sun Binghua， Lu Guoping.Modified function projectivelag synchronization of chaotic systems with disturbance estimations ［J］.Applied Mathematical Modelling，2013， 37（7）：4993-5000. [10]Yahyazadeh M，Noei A R，Ghaderi R.Synchronization of chaotic systems with known and unknown parameters using a modified active sliding mode control［J］.ISA Transactions，2011， 50（2）：262-267. [11]陈志伟，高岩波，陆国平.Duffing 混沌系统基于Terminal 滑模控制的投影同步［J］.南通大学学报：自然科学版，2013， 12（1）：24-29.[12]Wang Hua， Han Zhengzhi， Xie Qiyue， et al.Finite-time chaos control via nonsingular terminal sliding mode control［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009， 14（6）：2728-2733.[13]Li Guohui.Modified projective synchronization of chaotic system ［J］.Chaos， Solitons&Fractals， 2007， 32（5）：1786-1790.[14]刘金琨.滑模变结构控制MATLAB 仿真［M］.北京：清华大学出版社，2005：65-80.[15]吴立刚，王常虹，曾庆双.Terminal 滑模自适应控制实现一类不确定混沌系统的同步［J］.控制与决策，2006，21（2）：229-232.[16]夏极，胡大斌.终端滑模控制方法研究进展［J］.化工自动化及仪表， 2011，38（9）：1043-1047.[17]康宇，奚宏生，季海波，等.不确定多变量线性系统的快速收敛滑模变结构控制［J］.中国科学技术大学学报，2003， 33（6）：718-725.[18]刘云峰，陈斌文，缪栋，等.具有强鲁棒性的滑模变结构控制［J］.信息与控制，2008， 37（2）：140-145.。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步近年来，混沌同步技术在金融系统中的广泛应用得到了广泛关注。
特别是时滞分数阶系统，利用滑动模态控制可以降低时间延迟对系统同步性能的影响。
本文以滑动模态控制的时滞分数阶金融系统混沌同步为研究对象，探讨了系统混沌同步的机理及控制策略。
首先，我们探讨了混沌同步的概念和原理。
混沌同步是指两个混沌系统的状态相互接近，这就意味着两个系统的动力学行为是相似的。
通过将混沌系统通过输出信号连接在一起，可以使两个系统产生调制信号，从而形成混沌同步。
其次，我们讨论了滑模控制的时滞分数阶金融系统的结构和特性。
时滞分数阶系统的特殊特性是时滞的存在。
为了降低时间延迟对系统同步性能的影响，我们提出了一种滑模控制器，目的在于改善系统的性能。
接着，我们对滑模控制器及时滞分数阶金融系统混沌同步过程进行了详细分析。
首先，我们设计了一种基于复杂系统理论的滑动模态控制器，并进行了系统辨识，以确定滑动模态控制器的参数，以实现改善系统性能的目的。
然后，我们采用Lyapunov理论对滑动模态控制器的时滞分数阶金融系统混沌同步问题进行了分析，并推导出滑动模态控制的同步解。
最终，我们在MATLAB中进行了仿真实验，并得出了滑动模态控制可以有效降低时间延迟对系统同步性能的影响结论。
本文研究了一种滑动模态控制的时滞分数阶金融系统混沌同步问题。
我们设计了一种基于复杂系统理论的滑动模态控制器，并进行了Lyapunov理论分析，推导出滑动模态控制的同步解。
仿真实验表明，滑动模态控制可以有效改善时滞分数阶金融系统的混沌同步特性。
本文的研究对混沌同步技术在金融系统中的应用具有重要的意义，能够提供一种新的时滞分数阶金融系统混沌同步技术改善系统性能的有效方法。
今后，我们将继续深入研究滑动模态控制的时滞分数阶金融系统混沌同步问题，以探索更加有效的控制策略，改善系统性能。
基于终端滑模控制的情绪模型混沌同步
基于终端滑模控制的情绪模型混沌同步张伟;周长芹【摘要】研究了一类情绪模型的滑模控制混沌同步问题,根据Lypunov稳定性理论给出了实现同步的控制方案,仿真算例表明了方案的有效性.【期刊名称】《周口师范学院学报》【年(卷),期】2017(034)002【总页数】4页(P24-27)【关键词】混沌同步;情绪模型;滑模控制【作者】张伟;周长芹【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院,河南郑州450015;郑州航空工业管理学院理学院,河南郑州450015【正文语种】中文【中图分类】O482.4最近30年，混沌同步引起了越来越多的关注［1－6］，例如：文献［7］设计了一类多涡卷系统的有限时间滑模混沌同步问题，文献［8］研究了分数阶干扰观测器的滑模控制问题，得到了系统滑模渐稳的充分条件.文献［9］基于Terminal滑模控制研究了Duffling混沌系统的投影同步问题，文献［10］研究了冠状动脉高阶滑模自适应混沌同步设计滑问题.文献［11］建立了情绪的非线性动态模型，并分析了在没有外界刺激的情况下，解所能表现的人的情绪变化过程.文献［12］研究了受周期外界环境影响的Van der pol情绪模型.笔者研究一类三阶情绪模型的滑模控制混沌同步问题，根据Lypunov稳定性理论给出了实现同步的控制方案.文献［11］研究了二阶情绪系统的稳定性问题，系统描述为：其中x（t）表示一种情绪的变化过程，γ，k为系统参数，当表示快乐情绪的变化时，变量x（t）表示快乐的幅度随时间推移的变化，上式等价于如下系统：以上述系统为驱动系统，设计响应系统为定义系统误差ei（t）＝yi（t）－xi（t），i＝1，2，3.将（2），（1）两式相减得：当α＝0.5，r＝5.6，k＝1时，系统出现混沌吸引子.假设1 不确定项Δfi（y）＜mi，外部扰动di（t）＜ni；mi，ni＞0（i＝1，2，3）假设2 mi，ni＞0（i＝1，2，3），未知.引理1 假设存在连续的正定函数V（t）满足微分不等式式中p＞0，0＜η＜1为两个正常数，则对任意给定的t0，V（t）满足如下不等式：V1－η（t）#V1－η（t0）－p（1－η）（t－t0），t0#t#T.并且V（t）#0，tT，其中引理2 设有实数a1，a2，…，an，0＜q＜2，则有下述不等式成立对于误差系统（3），设计非奇异终端滑模面：其中λi＞0，0＜λi＜1.引理3［13］（Barbalat引理）若函数f（t）在［0，＋!）上一致连续，并且广义积分∫＋!0f（t）dt存在，则有定理1 误差系统（3）在非奇异终端滑模面（4）上，系统的轨迹在有限区间ts内达到平衡点，其中：ts#证选取Lyapunov函数：系统达到滑模面后所以其中μ＝min｛λi｝，i＝1，2，3，μ＞0，由引理2得：由引理1，设计控制律：其中m＾i，n＾i为mi，ni的估计值，ki＞0为增益.自适应律：定理2 对误差系统（3）在控制器及自适应律（6）的作用下，误差状态轨迹能达到滑模面.证选取Lyapunov函数选择Lyapunov函数再根据假设条件1，2，很容易得到：由，其中k＝max｛k1，k2，k3｝不难得到所以si（t）是可积的且有界，由于，在闭区间［0，ts］上si（t）满足一致连续性，根据引理3（Barbalat引理）可知，si（t）→0，又由sgn（ei（τ））dτei（t）→0，证毕.利用龙格－库塔法分别对不加和加上控制器两种情况进行仿真（cy1）3），当α＝0.86，a＝3，b＝0.1，c＝1时出现混沌吸引子，Δf1（y）＝cos（2πy2），Δf2（y）＝0.5cos（2πy3），Δf3（y）＝0.3cos（2πy2），外部扰动d1（t）＝0.2cos（t），d2（t）＝0.6sin（t），d3（t）＝cos（3t），滑模面参数取λ1＝3，λ2＝4，λ3＝7，μ＝3，r＝0.6，k1＝9，k2＝8，k3＝5，（m＾1，m＾2，m＾3）＝（0.3，0.5，1），（n＾1，）＝（0.8，0.6，0.3），从图1看出加入控制器系统快速同步，从图2看出系统的误差系统取得快速同步.根据Lypunov稳定性理论研究了一类情绪模型的滑模同步问题，给出了主从系统实现同步的滑模控制方案，设计了滑模面和控制器，仿真算例表明了方案的有效性.【相关文献】［1］贺尚宏，谢进，程杰锋，等.非线性单摆动力系统多参数混沌边缘的研究［J］.机械传动，2015，39（8）：1－4.［2］Bagley RL，Torvik P J.On the appearance of the fractional derivative in the behavior of real materials［J］.J Appl Mech，1984，51（4）：294－298.［3］Bagley RL，Torvik P J.Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures［J］.AIAA J，1985，23（6）：918－925.［4］Bagley RL.Power law and fractional calculus model of viscoelasticity［J］.AIAA J，1989，27（10）：1412－1417.［5］Delavari H，Ghaderi R，Ranjbar A，et al.Fuzzy fractional order sliding mode controller for nonlinear systems［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010，15（4）：963－978.［6］Lin TC，Lee T Y，Balas V E.Adaptive fuzzy sliding mode control for synchronization of uncertain fractional order chaotic systems［J］.Chaos，Solations and Fractals，2011，44（10）：791－801.［7］李洁，黄艳宾，石丁丁，等.多涡卷系统的有限时间滑模控制［J］.科技通报，2015，31（1）：183－185.［8］王欢，王思聪.带有干扰观测器的分数阶滑模控制［J］.电光与控制，2015，22（5）：89－92.［9］陈志伟，高岩波，陆国平.Duffling混沌系统基于Terminal滑模控制的投影同步［J］.南通大学学报（自然科学版），2013，12（1）：24－29.［10］赵占山，张静，丁刚，等.冠状动脉系统高阶滑模自适应混沌同步问题［J］.物理学报，2015，64（21）：5081－5088.［11］李力，周昌乐.基于范德波尔方程的情绪模型［J］.厦门大学学报（自然科学版），2011，50（4）：703－706.［12］邢伟，茅青海.受周期外界环境影响的Van der pol情绪模型［J］.数学建模及其应用，2016，5（1）：43－48.［13］梅生伟，申铁龙，刘志康.现代鲁棒控制理论与应用［M］.北京：清华大学出版社，2003.。
基于滑模控制实现具有扇区非线性和死区输入的主从混沌系统同步
基于滑模控制实现具有扇区非线性和死区输入的主从混沌系统
同步
王兴元;刘明
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2007(24)3
【摘要】分析了一类控制输入具有扇区非线性和死区的不确定主从混沌系统的同步控制问题,设计了一个滑模变结构控制器,并从理论上证明了该控制器能够快速、有效地实现此类主从混沌系统的同步化,并且不受输入非线性、死区以及外部噪声等因素的影响,具有很强的鲁棒性.最后通过对主从Chen系统的自同步和Lü系统与Chen系统的异结构同步的仿真研究,验证了该控制器的有效性。
【总页数】5页(P368-372)
【关键词】混沌同步;滑模控制器;扇区非线性;死区
【作者】王兴元;刘明
【作者单位】大连理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.5
【相关文献】
1.具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影同步 [J], 王健安;刘贺平
2.用滑模控制方法实现具有扇区非线性输入的主从混沌系统同步 [J], 王兴元;刘明
3.具有扇区非线性输入的混沌系统函数投影同步 [J], 方洁;邓玮;姜长生;文杰
4.具有未知扇区非线性输入的混沌系统修正投影同步 [J], 方洁;江泳;姜长生
5.具有扇区非线性和死区的多输入Lorenz系统的滑模控制 [J], 王兴元;刘明因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
不同混沌系统的基于滑动模控制的混沌同步
不同混沌系统的基于滑动模控制的混沌同步
刘常凯
【期刊名称】《泰山学院学报》
【年(卷),期】2009(031)003
【摘要】本文就一种基于滑动模控制器的设计去同步两个不同的混沌系统(Lorenz-Liu),并且假设系统的参数是已知的,而闲环的误差动力系统则依赖于响应系统的线性部分和控制器的控制参数选择,因此他们的同步速度可以通过这些参数来调整.同时我们可以用Ly印unov稳定性理论来分析他们的稳定性.最后给出了一些数值模拟.
【总页数】5页(P12-16)
【作者】刘常凯
【作者单位】泰山学院数学与系统科学学院,山东,泰安,271021
【正文语种】中文
【中图分类】O29
【相关文献】
1.混沌激光调制实现二次谐波系统混沌反控制与混沌同步 [J], 王萌;冯秀琴;姚治海;王晓茜
2.利用反馈控制实现不同混沌(超混沌)系统之间的同步 [J], 薛志远;杨春德
3.基于不同混沌时延系统同步的混沌遥测系统参数估计 [J], 魏恒东
4.基于不同混沌时延系统同步的混沌遥测系统参数估计 [J], 魏恒东
5.基于追踪控制的分数阶超混沌系统的混沌同步 [J], 夏鸿鸣
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东 北 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) Journal of Nort heastern University ( Nat ural Science)
Vol128 ,No. 12 Dec. 2 0 0 7
基于终端滑模控制的混沌系统的同步
Abstract : A terminal sliding mode cont roller of a class of second2order chaotic systems is st udied on t he basis of drive2response synchronization. The finite time synchronization of chaotic systems is realized by designing a continuous terminal sliding mode cont roller wit h an improved sliding surface int roduced to get rid of t he singularity phenomenon resulting f rom improper choice of parameter. Simulation result s showed t hat t he modified terminal sliding cont roller will not only reduce t he chattering effectively but also improve t he t rack ability and steady accuracy of t he system , t hus enabling t he finite2time synchronization of chaotic systems to come t rue. Key words : synchronization of chaotic systems ; terminal sliding mode cont rol ; finite2time stability ; sliding surface ; chattering 1990 年 L. M. Pecora 等发现混沌信号可以实
不连续终端滑模控制[ 4 - 5 ] 经常用来实现混 沌系统的同步・ 与传统的滑模不同 ,终端滑模具有 非线性滑模面 ,当到达滑模面时 ,系统的跟踪误差 能在有限时间内收敛到零 [ 6 - 7 ] ・ 相对于传统线性 滑模控制器具有更高的稳态跟踪精度・ 但是现有 的终端滑模控制器设计方法存在一个普遍的缺 点 ,即在终端滑模控制器中存在奇异区域 [ 8 ] ・ 在 文献 [ 8 ] 中提出了不连续非奇异控制器解决这个 问题・ 另外 ,由于采用与传统滑模控制相似的设计 原理 ,在终端滑模控制系统中仍然存在抖振 [ 9 ] ・ 现有的消除抖振的方法是用饱和函数代替开关函 数 ,但是这样做会影响终端滑模控制的稳态跟踪 精度・
颜闽秀 , 井元伟
( 东北大学 信息科学与工程学院 : 应用驱动 - 响应同步方法 ,研究了一类二阶混沌系统的终端滑模控制 ・ 通过设计连续的终端滑 模控制器实现混沌系统的有限时间同步 ・ 在控制器的设计过程中采用了一种改进的终端滑模面 ,有效克服了 在常规终端滑模控制中由于参数选择不当而出现的奇异问题 ・ 仿真结果表明 ,改进的终端滑模控制器可有效 降低变结构控制中所产生的抖振 ,并提高了系统的稳态精度 ,实现了混沌系统的有限时间同步 ・ 关 键 词 : 混沌同步 ; 终端滑模控制 ; 有限时间稳定 ; 滑模面 ; 抖振 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A 文章编号 : 100523026 ( 2007) 1221677204
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东北大学学报 ( 自然科学版) 第 28 卷 最终到达滑模面上 ,选择快速滑模到达律为 ρ s ( t ) = - k 1 s - k 2 sig ( s ) ・
本文采用一种改进的终端滑模面 , 通过设计 新的连续终端滑模控制器实现混沌系统的同步・ 从仿真结果看 ,系统具有更好的跟踪特性・
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收稿日期 : 2006212218 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (60274099) ・ 作者简介 : 颜闽秀 (1972 - ) ,女 ,福建仙游人 ,东北大学博士研究生 ,沈阳化工学院讲师 ; 井元伟 (1956 - ) , 男 , 辽宁西丰人 , 东北大 学教授 ,博士生导师・
现同步 ,掀起了混沌同步问题研究的热潮
混 ・ 沌系统由于其对初值的极端敏感性而且具有较强 的随机性 ,在众多的领域中显示出潜在的应用价 值・ 如果用混沌信号作为载波来传输信号 ,那么调 制出来的信号也就具有类随机特性・ 这种特性使 得调制混沌信号即使被敌方截获 ,也很难被破译 , 这无疑为保密通信开辟了一个崭新的天地・ 因此 , 国内外对各种经典混沌系统的同步问题开展了各 种各样的研究工作・ 通常 ,可以把混沌系统的同步 问题归结为传统意义的跟踪问题・ 因此如何用较 短的时间来实现混沌系统的同步具有重要的实际 意义・
Synchronization of Chaotic Systems Using Terminal Sliding Mode Control
YA N M i n2x i u , J IN G Y uan2w ei
( School of Information Science & Engineering , Nort heastern University , Shenyang 110004 , China. Correspondent : YAN Min2xiu , E2mail :cocoymx @ sohu. com)