2018年高考数学专题12常用逻辑用语理
2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3

1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3 非(not)1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)2.会判断命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”的真假.(难点)3.掌握命题的否定与否命题的区别.(易混点)[基础·初探]教材整理1 “且”“或”“非”的含义阅读教材P14第1段~第6段,P15“思考”~第3段,P16“思考”~第2段,完成下列问题.1.用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”.2.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”.3.对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作﹁p,读作“非p”或“p的否定”.1.命题:“菱形的对角线互相垂直平分”,使用的逻辑联结词的情况是( )A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”【解析】菱形的对角线互相垂直且互相平分.∴使用逻辑联结词“且”.【答案】 B2.若p:正数的平方大于0,q:负数的平方大于0,则p∨q:________.(用文字语言表述)【答案】正数或负数的平方大于0教材整理2 含有逻辑联结词的命题的真假判断阅读教材P14第7,8段,P15最后两行,P17第3,4段,完成下列问题.1.已知命题p:5≤5,q:5>6,则下列说法正确的是( )A.p∧q为真,p∨q为真,﹁p为真B.p∧q为假,p∨q为假,﹁p为假C.p∧q为假,p∨q为真,﹁p为假D.p∧q为真,p∨q为真,﹁p为假【解析】易知p为真命题,q为假命题,由真值表可得:p∧q为假,p∨q为真,﹁p 为假.【答案】 C2.若命题p:常数列是等差数列,则﹁p:________.【解析】只否定命题的结论:常数列不是等差数列.【答案】常数列不是等差数列[小组合作型]①若a2+b2=0,则a=0________b=0;②若ab=0,则a=0________b=0;③平行四边形的一组对边平行________相等.【解析】①若a2+b2=0,则a=0且b=0,故填且.②若ab=0,则a=0或b=0,故填或.③平行四边形的一组对边平行且相等,故填且.【答案】①且②或③且(2)将下列命题写成“p∧q”“p∨q”和“﹁p”的形式:①p:6是自然数,q:6是偶数;②p:∅⊆{0},q:∅={0};③p :甲是运动员,q :甲是教练员. 【解】 ①p ∧q :6是自然数且6是偶数.p ∨q :6是自然数或6是偶数.﹁p :6不是自然数. ②p ∧q :∅⊆{0}且∅={0}.p ∨q :∅⊆{0}或∅={0}.﹁p :∅{0}.③p ∧q :甲是运动员且甲是教练员.p ∨q :甲是运动员或甲是教练员.﹁p :甲不是运动员.1.判断一个命题的构成形式时,不能仅从命题的字面上找逻辑联结词,而应当从命题的结构特征进行分析判断.2.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤3.常见词语的否定形式:[再练一题]1.(1)判断下列命题的形式(从“p∨q”“p∧q”和“﹁p”中选填一种):①π不是整数:________;②6≤8:________;③2是偶数且2是素数:________.(2)分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题:①p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0的两根的绝对值相等;②p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.【解析】(1)①﹁p②p∨q③p∧q(2)①“p∨q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等;“p∧q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等;“﹁p”:方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.②“p∨q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;“p∧q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角;“﹁p”:三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.(1)命题:“不等式|x+2|≤0没有实数解”;(2)命题:“-1是偶数或奇数”;(3)命题:“2属于集合Q,也属于集合R”.【导学号:97792007】【精彩点拨】本题主要考查判断复合命题的真假,关键是搞清每个简单命题的构成形式.【自主解答】(1)此命题是“﹁p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.∵x=-2是该不等式的一个解,∴命题p为真命题,即﹁p为假命题,故原命题为假命题.(2)此命题是“p或q”的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.∵命题p为假命题,命题q为真命题,∴“p∨q”为真命题,故原命题为真命题.(3)此命题为“p∧q”的形式,其中p:2∈Q,q:2∈R.∵命题p为假命题,命题q为真命题.∴命题“p ∧q ”为假命题,故原命题为假命题.判断含逻辑联结词的命题的真假时,首先确定该命题的构成,再确定其中简单命题的真假,最后由真值表进行判断.[再练一题]2.分别写出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题,并判断其真假.(1)p :等腰梯形的对角线相等,q :等腰梯形的对角线互相平分; (2)p :函数y =x 2-2x +2没有零点,q :不等式x 2-2x +1>0恒成立. 【解】 (1)p ∧q :等腰梯形的对角线相等且互相平分,假命题.p ∨q :等腰梯形的对角线相等或互相平分,真命题.﹁p :等腰梯形的对角线不相等,假命题.(2)p ∧q :函数y =x 2-2x +2没有零点且不等式x 2-2x +1>0恒成立,假命题.p ∨q :函数y =x 2-2x +2没有零点或不等式x 2-2x +1>0恒成立,真命题.﹁p :函数y =x 2-2x +2有零点,假命题.[探究共研型]【提示】 已知命题p ∧q 、p ∨q 、﹁p 的真假,可以通过真值表判断命题p 、q 的真假,然后将命题间的关系转化为集合间的关系,利用解不等式求参数的范围,要注意分各种情况进行讨论.已知命题p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,命题q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R ,若“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题,求实数a 的取值范围.【精彩点拨】 分别解出p ,q 中a 的范围→由条件得出p ,q 的真假→求出a 的取值范围【自主解答】 命题p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4a 2-4≥0,x 1+x 2>-2,x 1+x 2+⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1≥0,-2a >-2,2-2a >0,解得a ≤-1.命题q :关于x 的不等式ax2-ax +1>0的解集为R ,等价于a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0,由于⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a 2-4a <0,解得0<a <4,∴0≤a <4.因为“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题,即p 真且q 假, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1,a <0或a ≥4,解得a ≤-1.故实数a 的取值范围是(-∞,-1].应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤1.分别求出命题p ,q 为真时对应的参数集合A ,B .2.由“p 且q ”“p 或q ”的真假讨论p ,q 的真假.3.由p ,q 的真假转化为相应的集合的运算.4.求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.[再练一题]3.已知命题p :方程2x 2+ax -a 2=0在[-1,1]上有解;命题q :只有一个实数x 0满足不等式x 20+2ax 0+2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题,求a 的取值范围.【解】 由 2x 2+ax -a 2=0,得(2x -a )(x +a )=0, ∴x =a2或x =-a ,∴当命题p 为真命题时,⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|-a |≤1,∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20+2ax 0+2a ≤0”, 即抛物线y =x 2+2ax +2a 与x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a 2-8a =0,∴a =0或a =2, ∴当命题q 为真命题时,a =0或a =2, ∴命题“p 或q ”为真命题时,|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题, ∴a >2或a <-2.即a 的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).1.已知命题p:3≥3,q:3>4,则下列判断正确的是( )A.p∨q为真,p∧q为真,﹁p为假B.p∨q为真,p∧q为假,﹁p为真C.p∨q为假,p∧q为假,﹁p为假D.p∨q为真,p∧q为假,﹁p为假【解析】p为真,q为假,故选D.【答案】 D2.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.﹁p∧﹁qC.﹁p∧qD.p∧﹁q【解析】因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p 为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、﹁p为假命题,﹁q为真命题,﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题,p∧﹁q为真命题,故选D.【答案】 D3.命题“若x>0,则x2>0”的否定是________.【答案】若x>0,则x2≤04.命题p:x=π是y=|sin x|的一条对称轴;q:2π是y=|sin x|的最小正周期.下列命题:①p∨q;②p∧q;③﹁p;④﹁q.其中真命题的序号是________.【解析】∵π是y=|sin x|的最小正周期,∴q为假.又∵p为真,∴p∨q为真,p∧q为假,﹁p为假,﹁q为真.【答案】①④5.判断下列命题的真假:(1)函数y=cos x是周期函数并且是单调函数;(2)x=2或x=-2是方程x2-4=0的解.【解】(1)由p:“函数y=cos x是周期函数”,q:“函数y=cos x是单调函数”,用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.(2)由p:“x=2是方程x2-4=0的解”,q:“x=-2是方程x2-4=0的解”,用“或”联结后构成命题p∨q.因为p,q都是真命题,所以p∨q是真命题.。
2018届高考数学文二轮复习课件:2.1.1 集合、常用逻辑用语 精品

[专题回访]
1.设集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A∩B=( )
A.-3,-32
B.-3,32
C.1,32
D.32,3
解析:通过解不等式化简集合 A,B,再利用交集定义求解.
∵ x2-4x+3<0,∴ 1<x<3,∴ பைடு நூலகம்={x|1<x<3}.
∵ 2x-3>0,∴ x>32,∴ B=xx>32.
答案:B
5.(热点三)设 a,b 是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:结合平面向量的几何意义进行判断. 若|a|=|b|成立,则以 a,b 为邻边的平行四边形为菱形.a+b,a -b 表示的是该菱形的对角线,而菱形的两条对角线长度不一定相等, 所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|= |a-b|成立,则以 a,b 为邻边的平行四边形为矩形,而矩形的邻边长 度不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故“|a| =|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件. 答案:D
解析:本题考查常用逻辑用语的知识,主要是充要关系的判断, 考查考生的逻辑思维能力和对基础知识的掌握情况.
高中数学常用逻辑用语

逆否命题: 若 q 则 p
结论1:要写出一个命题的另外三个命
题关键是分清命题的题设和结论(即
把原命题写成“若p则q”的形式)
注意:三种命题中最难写 的是否命题。 高中数学常用逻辑用语
三、四种命题之间的 关系
原命题
பைடு நூலகம்若p则q
互逆 逆命题
若q则p
互
互
否
否
否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆 若﹁q则﹁p
高中数学常用逻辑用语
x∈N”是“x∈M∩N”的
B
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D既不充分也不必要
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
A
高中数学常用逻辑用语
练习5、
1.已知p是q的必要而不充分条件, 那么┐p是┐q的___充__分_不__必__要_条__件__.
(2)从这个假设出发,经过推理 论证,得出矛盾;
(3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的高中数结学常用论逻辑正用语 确。
归谬 结论
1.写出命题“当c>0时,若a>b, 则ac>bc“的逆命题,否命题 与逆否命题,并分别判断他们的真假
2.写出命题“若x≠a且x≠b, 则x2-(a+b)x+ab≠0”的否命题
充分非必要条件
2) 若A B且B A,则甲是乙的
必要非充分条件
3)若A B且B A,则甲是乙的
既不充分也不必要条件 4)若A=B ,则甲是高中乙数学的常用逻充辑用分语 且必要条件。
注意点
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相 推出,切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2018年高考数学考试大纲解读专题02集合与常用逻辑用语理

专题02 集合与常用逻辑用语(一)集合1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(V e n n)图表达集合的关系及运算.(十四)常用逻辑用语1.命题及其关系(1)理解命题的概念.(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.3.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义.(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.涉及本专题的题目一般考查集合间的基本关系及运算,四种命题及其关系,结合概念考查充分条件、必要条件及全称命题、特称命题的否定及真假的判断等.2.从考查形式来看,涉及本专题知识的考题通常以选择题、填空题的形式出现,考查集合之间的关系以及概念、定理、公式的逻辑推理等.3.从考查难度来看,考查集合的内容相对比较单一,试题难度相对容易,以通过解不等式,考查集合的运算为主,而常用逻辑用语则重点考查概念的理解及推理能力.4.从考查热点来看,不等式的解法和概念、定理、公式之间的相互推理是本专题主要考查的内容,其要求不高,重在理解.考向一 元素、集合之间的关系样题1 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为A .3B .6C .8D .10【答案】D考向二 集合的基本运算样题2(2017新课标Ⅰ理科)已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则A .{|0}AB x x =< B .A B =RC .{|1}A B x x =>D .A B =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <,则0x <,即{|0}B x x =<,所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<,{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<,故选A.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理. 样题3 (2017新课标Ⅱ理科)设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若{}1A B =,则B =A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,5【答案】C样题4 (2017新课标Ⅲ理科)已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│,B ={}(,)x y y x =│,则A B 中元素的个数为A .3B .2C .1D .0【答案】B【解析】集合中的元素为点集,由题意,可知集合A 表示以()0,0为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合,又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭,⎛ ⎝⎭,则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考向三 充要条件的判断样题5 (2017年高考天津卷)设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A样题6 已知p :x ≥k ,q :(x +1)(2-x )<0,如果p 是q 的充分不必要条件,则k 的取值范围是A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,-1]【答案】B【解析】由q :(x +1)(2-x )<0,得x <-1或x >2,又p 是q 的充分不必要条件,所以k >2,即实数k 的取值范围是(2,+∞),故选B.考向四 命题真假的判断样题7 (2017年高考北京卷)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为___________.【答案】−1,−2,−3(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-,矛盾,所以−1,−2,−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证,答案不唯一.样题8 已知命题021x p x ∀≥≥:,;命题q :若x y >,则22x y >.则下列命题为真命题的是 A . p q ∧B .()p q ∧⌝C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ⌝∨【答案】B 【解析】显然命题021x p x ∀≥≥:,是真命题;命题q :若x y >,则22x y >是假命题,所以q ⌝是真命题,故()p q ∧⌝为真命题.考向五 特称命题与全称命题样题9 (2016浙江理科)命题“*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x ≥”的否定形式是A .*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x <B .*x n ∀∈∀∈,R N ,使得2n x <C .*x n ∃∈∃∈,R N ,使得2n x <D .*x n ∃∈∀∈,R N ,使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃,∃的否定是∀,2n x ≥的否定是2n x <.故选D .样题10 若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤,”是真命题,则实数m 的最小值为__________________.【答案】1。
2018版高考数学(理)一轮复习文档:第一章集合与常用逻辑用语1.2含解析

1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;(2)如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件;(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;(4)如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件;(5)如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A B,则p是q的充分不必要条件;(5)若A B,则p是q的必要不充分条件;(6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2+2x-3〈0”是命题.( ×)(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.(√)(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(√)(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(√)(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.(√)1.下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|"的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1"的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0"的否命题D.命题“若x2〉0,则x>1”的逆否命题答案A解析对于A,其逆命题是若x〉|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x〉y。
高中数学:常用逻辑用语

常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义:用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句,叫做命题。
其中,判断为真的即为真命题,为假的即为假命题。
2.命题的判断以及命题真假的判断(1)命题的判断:①判断该语句是否是陈述句;②能否判断真假。
(2)命题真假的判断:首先,分清条件与结论,其次,再判断命题真假。
3.一般地,用p 和q 分别表示原命题的条件和结论,用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定,即如下:(四种命题的关系)4.充分条件和必要条件 (1)充分条件:如果A 成立,那么B 成立,则条件A 是B 成立的充分条件。
(2)必要条件:如果A 成立,那么B 成立,这时B 是A 的必然结果,则条件B 是A 成立的必要条件。
(3)充要条件:如果A 既是B 成立的充分条件,又是B 成立的必要条件,则A 是B 成立的充要条件,与此同时,B 也一定是A 成立的重要条件,所以此时,A 、B 互为充要条件。
【注意】充分条件与必要条件是完全等价的,是同一逻辑关系“A =>B ”的不同表达方法。
5.逻辑联结词(1)不含逻辑联结词的命题是简单命题,由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题,它们有以下几种形式:p 或q (p ∨q );p 且q (p ∧q );非p (¬p )。
(2)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。
6.量词与命题量词名称 常见量词表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命 题 表述形式 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p(2)全称命题与特称命题 命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等,在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示。
2018年高考数学试题分类汇编1——集合与常用逻辑用语

一、集合与常用逻辑用语一、选择题一.(重庆理2)“x <-1”是“x 2-1>0”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要【答案】A2.(天津理2)设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案】A3.(浙江理7)若,a b 为实数,则“01m ab <<”是11a b b a <或>的 A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A4.(四川理5)函数,()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 A .充分而不必要的条件 B .必要而不充分的条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要的条件 【答案】B【解析】连续必定有定义,有定义不一定连续。
5.(陕西理一)设,a b 是向量,命题“若a b =-,则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是A .若a b ≠-,则∣a ∣≠∣b ∣B .若a b =-,则∣a ∣≠∣b ∣C .若∣a ∣≠∣b ∣,则a b ≠-D .若∣a ∣=∣b ∣,则a = -b【答案】D6.(陕西理7)设集合M={y|y=2cos x —2sin x|,x ∈R},N={x||x —1i为虚数单位,x ∈R},则M ∩N 为 A .(0,一) B .(0,一]C .[0,一)D .[0,一]【答案】C7.(山东理一)设集合 M ={x|260x x +-<},N ={x|一≤x ≤3},则M ∩N =A .[一,2)B .[一,2]C .( 2,3]D .[2,3] 【答案】A8.(山东理5)对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要 【答案】B9.(全国新课标理一0)已知a ,b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是(A ) 14,p p (B ) 13,p p (C ) 23,p p (D ) 24,p p【答案】A一0.(辽宁理2)已知M ,N 为集合I 的非空真子集,且M ,N 不相等,若 N ð=M I ∅,则=N M (A )M (B )N(C )I(D )∅【答案】A一一.(江西理8)已知1a ,2a ,3a 是三个相互平行的平面.平面1a ,2a 之间的距离为1d ,平面2a ,3a 之间的距离为2d .直线l 与1a ,2a ,3a 分别相交于1p ,2p ,3p ,那么“12PP=23P P ”是“12d d =”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C一2.(湖南理2)设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件 【答案】A一3.(湖北理9)若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =,则称a 与b互补,记(,),a b a b ϕ=-,那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的A .必要而不充分的条件B .充分而不必要的条件C .充要条件D .即不充分也不必要的条件【答案】C一4.(湖北理2)已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =A .1[,)2+∞B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .()0,+∞D .1(,0][,)2-∞+∞【答案】A一5.(广东理2)已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数,且}221x y +=,(){,B x y =,x y 为实数,且}y x=,则A B ⋂的元素个数为 A .0 B .一 C .2 D .3【答案】C一6.(福建理一)i 是虚数单位,若集合S=}{1.0.1-,则A .i S ∈B .2i S ∈C . 3i S ∈ D .2S i ∈【答案】B 一7.(福建理2)若a ∈R ,则a=2是(a-一)(a-2)=0的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 C .既不充分又不必要条件 【答案】A 一8.(北京理一)已知集合P={x ︱x 2≤一},M={a }.若P ∪M=P ,则a 的取值范围是 A .(-∞, -一] B .[一, +∞) C .[-一,一] D .(-∞,-一] ∪[一,+∞) 【答案】C 一9.(安徽理7)命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是 (A )所有不能被2整除的数都是偶数 (B )所有能被2整除的整数都不是偶数 (C )存在一个不能被2整除的数都是偶数 (D )存在一个能被2整除的数都不是偶数 【答案】D20.(广东理8)设S 是整数集Z 的非空子集,如果,,a b S ∀∈有ab S ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的.若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集,,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是A .,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B .,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C .,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D .,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 二、填空题2一.(陕西理一2)设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = 【答案】3或422.(安徽理8)设集合{}1,2,3,4,5,6,A =}8,7,6,5,4{=B 则满足S A ⊆且S B φ≠的集合S 为 (A )57 (B )56(C )49(D )8【答案】B23.(上海理2)若全集U R =,集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤,则U C A = 。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(02 常用逻辑用语)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(02常用逻辑用语)一.选择题:1.(2018北京文)设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件1.【答案】B【解析】当4a =,1b =,1c =,14d =时,a ,b ,c ,d 不成等比数列,所以不是充分条件;当a ,b ,c ,d 成等比数列时,则ad bc =,所以是必要条件.综上所述,“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的必要不充分条件.故选B .2.(2018北京理)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( )(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件 2.【答案】C 【解析】2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+,因为a ,b 均为单位向量,所以2222699+6=0a a b b a a b b a b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔⊥, 即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件.故选C .3.(2018浙江)已知平面α,直线m ,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3..答案:A解答:若“//m n ”,平面外一条直线与平面内一条直线平行,可得线面平行,所以“//m α”;当“//m α”时,m 不一定与n 平行,所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.4. (2018上海)已知a R ∈,则“1a ﹥”是“1a1﹤”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件(C )充要条件 (D )既非充分又非必要条件5.(2018天津文)设x ∈R ,则“38x >”是“||2x >” 的( )(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件5.【答案】A【解析】求解不等式38x >可得2x >,求解绝对值不等式2x >可得2x >或2x <-, 据此可知:“38x >”是“2x >” 的充分而不必要条件.故选A .6.(2018天津理)设x∈R,则“11||22x-<”是“31x<”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.【答案】A【解析】绝对值不等式1111101 22222x x x-<⇔-<-<⇔<<,由311x x<⇔<,据此可知1122x-<是31x<的充分而不必要条件.故选A.二.填空题:。
数学常用逻辑用语(高中数学课件)

用常 语用
逻 辑
知识网络
命题及其关 系
简单的逻辑联结 词
四种命题
充分条件与必要条件
或
并集
且
交集 运算
非或 补集
全称量词与存在 量词
量词
全称表达的,可以判断真假 的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断为假 的语句称为假命题.
注、等价法(转化为逆否命题)
2:若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条
件,则A为C的( )条A件
A.充要
B必要不充分
C充分不必要 D不充分不必要
练习4、
1.已知P:|2x-3|>1;q:1/(x2+x-6)>0,
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
逆否命题:若 q 则 p
结论1:要写出一个命题的另外三个命 题关键是分清命题的题设和结论(即 把原命题写成“若P则Q”的形式)
注意:三种命题中最难写 的是否命题。
结论2:(1)“或”的否定为“且”, (2)“且”的否定为“或”, (3)“都”的否定为“不
都”。
三、四种命题之间的 关系
原命题
若p则q
充分非必要条件
2) 若A B且B A,则甲是乙的
必要非充分条件
3)若A B且B A,则甲是乙的
既不充分也不必要条件
4)若A=B ,则甲是乙的充分且必要条件。
注意点
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相 推出,切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系; ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系
高考数学专题 集合、常用逻辑用语(可编辑PPT)

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2.(2018北京,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a ⊥b”的 ( ) B.必要而不充分条件
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A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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答案
C
由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2,
D.既不充分也不必要条件
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答案1 2Fra bibliotekA1 2
本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.
1 2 1 1 2 2 1 2
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x < 由 得- <x- < ,解得0<x<1.
由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一 定成立.所以“ ”是“x3<1”的充分而不必要条件. x <
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3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
)
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D.既不充分也不必要条件
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答案
A
因为p:x+y≠-2,q:x≠-1或y≠-1,
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所以������ p:x+y=-2,������ q:x=-1且y=-1, 即p是q的充分不必要条件.
考点二
为充要条件.
充分、必要条件的判断
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;高考导航 若p⇔q,则p,q互
2018届高三(新课标)数学(理)第一章 集合与常用逻辑用语

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节 集 合突破点(一) 集合的基本概念基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1.集合的有关概念(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a 属于集合A ,记作a ∈A ;若b 不属于集合A ,记作b ∉A . (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. 2.常用数集及记法 数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法NN *或N +ZQR考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数)或已知元素个数求参数[例1]( ) A .1 B .3 C .5D .9(2)若集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A.92 B.98 C .0D .0或98[解析] (1)∵A ={0,1,2},∴B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }={0,-1,-2,1,2}.故集合B 中有5个元素.本节主要包括3个知识点: 1.集合的基本概念; 2.集合间的基本关系; 3.集合的基本运算.(2)当a =0时,显然成立;当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a =0,即a =98.故a =0或98.[答案] (1)C (2)D [方法技巧]求元素(个数)的方法高考中,常利用集合元素的互异性确定集合中的元素,一般给定一个新定义集合,如“已知集合A ,B ,求集合C ={z |z =x *y ,x ∈A ,y ∈B }(或集合C 的元素个数),其中‘*’表示题目设定的某一种运算”.具体的解决方法:根据题目规定的运算“*”,一一列举x ,y 的可能取值(应用列举法和分类讨论思想),从而得出z 的所有可能取值,然后根据集合元素的互异性进行检验,相同元素重复出现只算作一个元素,判断出该集合的所有元素,即得该集合元素的个数.元素与集合的关系[例2] (1)设集合A ={2,3,4},B ={2,4,6},若x ∈A ,且x ∉B ,则x =( ) A .2 B .3 C .4 D .6(2)(2017·成都诊断)已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________. [解析] (1)因为x ∈A ,且x ∉B ,故x =3. (2)因为3∈A ,所以m +2=3或2m 2+m =3. 当m +2=3,即m =1时,2m 2+m =3, 此时集合A 中有重复元素3, 所以m =1不符合题意,舍去; 当2m 2+m =3时,解得m =-32或m =1(舍去),当m =-32时,m +2=12≠3符合题意.所以m =-32.[答案] (1)B (2)-32[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合,求集合中所含的参数值.具体解法: (1)确定性的运用:利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值. (2)互异性的运用:根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]设集合P ={x |x 2-2x ≤0},m =30.5,则下列关系正确的是( ) A .m P B .m ∈P C .m ∉PD .m ⊆P解析:选C 易知P ={x |0≤x ≤2},而m =30.5=3>2,∴m ∉P ,故选C.2.[考点一]已知集合A ={1,2,4},则集合B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A }中元素的个数为( ) A .3 B .6 C .8D .9解析:选D 集合B 中的元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.3.[考点二](2017·杭州模拟)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =( )A .1B .-1C .2D .-2解析:选C 因为{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,a ≠0,所以a +b =0,则ba =-1,所以a =-1,b =1.所以b -a =2.4.[考点一]已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为________.解析:因为P 中恰有3个元素,所以P ={3,4,5},故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案:(5,6]5.[考点一]若集合A ={x ∈R|ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________. 解析:当a =0时,方程无解;当a ≠0时,则Δ=a 2-4a =0,解得a =4.故符合题意的a 的值为4.答案:4突破点(二) 集合间的基本关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流”表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅考点贯通抓高考命题的“形”与“神”集合子集个数的判定含有n个元素的集合,其子集的个数为2n;真子集的个数为2n-1(除集合本身);非空真子集的个数为2n-2(除空集和集合本身,此时n≥1).[例1]已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1 B.2C.3 D.4[解析]由x2-3x+2=0得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.[答案] D[易错提醒](1)注意空集的特殊性:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.(2)任何集合的本身是该集合的子集,在列举时千万不要忘记.集合间的关系考法(一)[例2]已知集合A={x|y=1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则()A.A B B.B AC .A ⊆BD .B =A[解析] 由题意知A ={x |y =1-x 2,x ∈R}, 所以A ={x |-1≤x ≤1},所以B ={x |x =m 2,m ∈A }={x |0≤x ≤1}, 所以B A .故选B. [答案] B [方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法:根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系.(2)结构法:从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断.(3)数轴法:在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系.[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时,其端点能否取到,一定要注意用回代检验的方法来确定.如果两个集合的端点相同,则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系.考法(二) 根据集合间的关系求参数[例3] 已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________.[解析] ∵B ⊆A ,∴①若B =∅, 则2m -1<m +1,此时m <2. ②若B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1≥m +1,m +1≥-2,2m -1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得,符合题意的实数m 的取值范围为(-∞,3]. [答案] (-∞,3] [易错提醒]将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时,应注意子集与真子集的区别,此类问题多与不等式(组)的解集相关.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易产生增解或漏解.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]集合A={x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A.3 B.4C.7 D.8解析:选C因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23-1=7.2.[考点二·考法(一)](2017·长沙模拟)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则()A.P⊆Q B.Q⊆PC.∁R P⊆Q D.Q⊆∁R P解析:选C因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},所以∁R P={y|y>1},又Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以∁R P⊆Q,故选C.3.[考点二·考法(二)]已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=() A.1 B.0 C.-2 D.-3解析:选C∵A⊆B,∴a+3=1,解得a=-2.故选C.4.[考点二·考法(二)]已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.解析:集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].答案:(-∞,-2]突破点(三)集合的基本运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的A∪B A∪B={x|x∈A,或x∈B} 并集集合的A∩B A∩B={x|x∈A,且x∈B} 交集集合的补集若全集为U ,则集合A 的补集为∁U A∁U A ={x |x ∈U ,且x ∉A }2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A ∩A =A ,A ∩∅=∅,A ∪A =A ,A ∪∅=A . (2)A ∩∁U A =∅,A ∪∁U A =U ,∁U (∁U A )=A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )=∅.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求交集或并集[例1] (1)(2016·全国甲卷)已知集合A ={1,2,3},B ={x |(x +1)(x -2)<0,x ∈Z},则A ∪B =( )A .{1}B .{1,2}C .{0,1,2,3}D .{-1,0,1,2,3}(2)(2016·全国乙卷)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =( ) A.⎝⎛⎭⎫-3,-32 B.⎝⎛⎭⎫-3,32 C.⎝⎛⎭⎫1,32 D.⎝⎛⎭⎫32,3[解析] (1)因为B ={x |(x +1)(x -2)<0,x ∈Z}={x |-1<x <2,x ∈Z}={0,1},A ={1,2,3},所以A ∪B ={0,1,2,3}.(2)∵x 2-4x +3<0,∴1<x <3,∴A ={x |1<x <3}.∵2x -3>0,∴x >32,∴B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32.∴A ∩B ={x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32=⎝⎛⎭⎫32,3. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]求集合的交集或并集时,应先化简集合,再利用交集、并集的定义求解.交、并、补的混合运算[例2] (1)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ={2,3,5,6},集合B ={1,3,4,6,7},则集合A ∩∁U B =( )A .{2,5}B .{3,6}C .{2,5,6}D .{2,3,5,6,8}(2)已知全集U =R ,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A .{x |x ≥0} B .{x |x ≤1} C .{x |0≤x ≤1}D .{x |0<x <1}[解析] (1)因为∁U B ={2,5,8},所以A ∩∁U B ={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}. (2)∵A ∪B ={x |x ≤0}∪{x |x ≥1}={x |x ≤0或x ≥1}, ∴∁U (A ∪B )={x |0<x <1}. [答案] (1)A (2)D[方法技巧]集合混合运算的解题思路进行集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算;当集合用不等式形式表示时,可借助数轴求解,对于端点值的取舍,应单独检验.集合的新定义问题[例3] (2017·合肥模拟)对于集合M ,N ,定义M -N ={x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N =(M -N )∪(N -M ).设A ={y |y =x 2-3x ,x ∈R},B ={y |y =-2x ,x ∈R},则A ⊕B 等于( )A.⎝⎛⎦⎤-94,0 B.⎣⎡⎭⎫-94,0 C.⎝⎛⎭⎫-∞,-94∪[0,+∞) D.⎝⎛⎦⎤-∞,-94∪(0,+∞) [解析] 因为A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥-94,B ={y |y <0}, 所以A -B ={y |y ≥0},B -A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <-94, A ⊕B =(A -B )∪(B -A )=⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥0或y <-94. 故选C. [答案] C [方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义.耐心阅读,分析含义,准确提取信息是解决这类问题的前提,剥去新定义、新法则、新运算的外表,利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合,是解决这类问题的突破口.(2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素,并合理利用.1.[考点一](2016·北京高考)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1} B.{0,1,2}C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}解析:选C集合A={x|-2<x<2},集合B={-1,0,1,2,3},所以A∩B={-1,0,1}.2.[考点一](2017·长春模拟)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1) B.(0,1)C.(-1,+∞) D.(0,+∞)解析:选C∵A=(0,+∞),B=(-1,1),∴A∪B=(-1,+∞).故选C.3.[考点二](2017·贵阳模拟)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁B)=()RA.(1,4) B.(3,4)C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)解析:选B由题意知B={x|-1≤x≤3},所以∁R B={x|x<-1或x>3},所以A∩(∁R B)={x|3<x<4},故选B.4.[考点三]定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1·x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为()A.5 B.6 C.7 D.9解析:选C∵A*B={x|x=x1·x2,其中x1∈A,x2∈B},且A={1,2},B={1,2},∴A*B ={1,2,4},故A*B中的所有元素之和为1+2+4=7.5.[考点二]设全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为________.解析:因为A={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},∁U B={x|x≥-1},阴影部分为A∩(∁U B),所以A∩(∁U B)={x|-1≤x<0}.答案:{x|-1≤x<0}[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国丙卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)解析:选D由题意知S={x|x≤2或x≥3},则S∩T={x|0<x≤2或x≥3}.故选D.2.(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B =()A.{-1,0} B.{0,1}C.{-1,0,1} D.{0,1,2}解析:选A由题意知B={x|-2<x<1},所以A∩B={-1,0}.故选A.3.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3 B.6 C.8 D.10解析:选D列举得集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共含有10个元素.4.(2016·全国甲卷)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3} D.{1, 2}解析:选D∵x2<9,∴-3<x<3,∴B={x|-3<x<3}.又A={1,2,3},∴A∩B={1,2,3}∩{x|-3<x<3}={1,2},故选D.5.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=() A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}解析:选A因为x=n2,所以当n=1,2,3,4时,x=1,4,9,16,所以集合B={1,4,9,16},所以A∩B={1,4}.[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12+4”,求准求快不深挖 一、选择题1.若集合A ={(1,2),(3,4)},则集合A 的真子集的个数是( ) A .16 B .8 C .4D .3解析:选D 集合A 中有两个元素,则集合A 的真子集的个数是22-1=3.选D. 2.若集合A ={-1,0,1},B ={y |y =x 2,x ∈A },则A ∩B =( ) A .{0} B .{1} C .{0,1}D .{0,-1}解析:选C 因为B ={y |y =x 2,x ∈A }={0,1},所以A ∩B ={0,1}.3.已知集合A ={y |y =|x |-1,x ∈R},B ={x |x ≥2},则下列结论正确的是( ) A .-3∈A B .3∉B C .A ∩B =BD .A ∪B =B解析:选C 由题A ={y |y ≥-1},因此A ∩B ={x |x ≥2}=B . 4.设集合M ={x |x 2=x },N ={x |lg x ≤0},则M ∪N =( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1)D .(-∞,1]解析:选A M ={x |x 2=x }={0,1},N ={x |lg x ≤0}={x |0<x ≤1},M ∪N =[0,1]. 5.已知集合A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ,且32-x ∈Z ,则集合A 中的元素个数为( )A .2B .3C .4D .5解析:选C ∵32-x∈Z ,∴2-x 的取值有-3,-1,1,3,又∵x ∈Z ,∴x 值分别为5,3,1,-1,故集合A 中的元素个数为4.6.已知全集为整数集Z.若集合A ={x |y =1-x ,x ∈Z},B ={x |x 2+2x >0,x ∈Z},则A ∩(∁Z B )=( )A .{-2}B .{-1}C .[-2,0]D .{-2,-1,0}解析:选D 由题可知,集合A ={x |x ≤1,x ∈Z},B ={x |x >0或x <-2,x ∈Z},故A ∩(∁Z B )={-2,-1,0},故选D.7.(2017·成都模拟)已知全集U =R ,集合A ={x |0≤x ≤2},B ={x |x 2-1<0},则图中的阴影部分表示的集合为( )A .(-∞,1]∩(2,+∞)B .(-1,0)∪[1,2]C .[1,2)D .(1,2]解析:选B 因为A ={x |0≤x ≤2},B ={x |-1<x <1},所以A ∪B ={x |-1<x ≤2},A ∩B ={x |0≤x <1}.故图中阴影部分表示的集合为∁(A ∪B )(A ∩B )=(-1,0)∪[1,2].8.设全集U =R ,已知集合A ={x ||x |≤1},B ={x |log 2x ≤1},则(∁U A )∩B =( ) A .(0,1] B .[-1,1]C .(1,2]D .(-∞,-1]∪[1,2]解析:选C 由|x |≤1,得-1≤x ≤1,由log 2x ≤1,得0<x ≤2,所以∁U A ={x |x >1或x <-1},则(∁U A )∩B =(1,2].9.设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫5,b a ,a -b ,B ={b ,a +b ,-1},若A ∩B ={2,-1},则A ∪B =( )A .{2,3}B .{-1,2,5}C .{2,3,5}D .{-1,2,3,5}解析:选D 由A ∩B ={2,-1},可得⎩⎪⎨⎪⎧b a =2,a -b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧b a =-1,a -b =2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a =2,a -b =-1时,⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2,此时B ={2,3,-1},则A ∪B ={-1,2,3,5};当⎩⎪⎨⎪⎧ba =-1,a -b =2时,⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1,此时不符合题意,舍去.故A ∪B ={-1,2,3,5}.10.设集合A ={x |y =lg(-x 2+x +2)},B ={x |x -a >0},若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-1)B .(-∞,-1]C .(-∞,-2)D .(-∞,-2]解析:选B 集合A ={x |y =lg(-x 2+x +2)}={x |-1<x <2},B ={x |x >a },因为A ⊆B ,所以a ≤-1.11.已知全集U ={x ∈Z|0<x <8},集合M ={2,3,5},N ={x |x 2-8x +12=0},则集合{1,4,7}为( )A .M ∩(∁U N )B .∁U (M ∩N )C .∁U (M ∪N )D .(∁U M )∩N解析:选C 由已知得U ={1,2,3,4,5,6,7},N ={2,6},M ∩(∁U N )={2,3,5}∩{1,3,4,5,7}={3,5},M ∩N ={2},∁U (M ∩N )={1,3,4,5,6,7},M ∪N ={2,3,5,6},∁U (M ∪N )={1,4,7},(∁U M )∩N ={1,4,6,7}∩{2,6}={6},故选C.12.(2017·沈阳模拟)已知集合A ={x ∈N|x 2-2x -3≤0},B ={1,3},定义集合A ,B 之间的运算“*”:A *B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },则A *B 中的所有元素之和为( )A .15B .16C .20D .21解析:选D 由x 2-2x -3≤0,得(x +1)(x -3)≤0,又x ∈N ,故集合A ={0,1,2,3}.∵A *B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },∴A *B 中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,∴A *B ={1,2,3,4,5,6},∴A *B 中的所有元素之和为21.二、填空题13.已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8},定义集合A ×B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B },集合A ×B 中属于集合{(x ,y )|log x y ∈N}的元素的个数是________.解析:由定义可知A ×B 中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y ∈N 的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),共4个.答案:414.设集合I ={x |-3<x <3,x ∈Z},A ={1,2},B ={-2,-1,2},则A ∩(∁I B )=________. 解析:∵集合I ={x |-3<x <3,x ∈Z}={-2,-1,0,1,2},A ={1,2},B ={-2,-1,2},∴∁I B ={0,1},则A ∩(∁I B )={1}.答案:{1}15.集合A ={x |x 2+x -6≤0},B ={y |y =x ,0≤x ≤4},则A ∩(∁R B )=________. 解析:A ={x |x 2+x -6≤0}={x |-3≤x ≤2},B ={y |y =x ,0≤x ≤4}={y |0≤y ≤2},∴∁R B ={y |y <0或y >2}.∴A ∩(∁R B )=[-3,0).答案:[-3,0)16.已知集合A ={y |y 2-(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0},B =⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y =12x 2-x +52,0≤x ≤3.若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是________.解析:A ={y |y <a 或y >a 2+1},B ={y |2≤y ≤4}.当A ∩B =∅时,⎩⎪⎨⎪⎧a 2+1≥4,a ≤2,∴3≤a ≤2或a ≤-3,∴a 的取值范围是(-∞,- 3 ]∪[3,2]. 答案:(-∞,- 3 ]∪[3,2] 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点: 1.命题及其关系; 2.充分条件与必要条件.突破点(一)命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及相互关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1]下列命题中为真命题的是()A.若1x=1y,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则x=yD.若x<y,则x2<y2[解析]取x=-1,排除B;取x=y=-1,排除C;取x=-2,y=-1,排除D.[答案] A[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时,首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么,把它写成“若p,则q”的形式,然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定.(2)一个命题要么真,要么假,二者必居其一.当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后,判断这个命题真假的方法:①若由“p”经过逻辑推理,得出“q”,则可判定“若p,则q”是真命题;②判定“若p,则q”是假命题,只需举一反例即可.四种命题的关系得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.[例2](1)命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是()A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a>b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-1(2)给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0[解析](1)根据否命题的定义可知,命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题应为“若a≤b,则a-1≤b-1”.(2)原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.[答案](1)C(2)C[方法技巧]1.写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”形式.(2)若命题有大前提,需保留大前提.2.判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断.(2)利用四种命题间的等价关系:当一个命题不易直接判断真假时,可转化为判断其等价命题的真假.1.[考点一]下列命题中为真命题的是( ) A .mx 2+2x -1=0是一元二次方程B .抛物线y =ax 2+2x -1与x 轴至少有一个交点C .互相包含的两个集合相等D .空集是任何集合的真子集解析:选C A 中,当m =0时,是一元一次方程,故是假命题;B 中,当Δ=4+4a <0,即a <-1时,抛物线与x 轴无交点,故是假命题;C 是真命题;D 中,空集不是本身的真子集,故是假命题.2.[考点二]命题“若x 2+y 2=0,x ,y ∈R ,则x =y =0”的逆否命题是( ) A .若x ≠y ≠0,x ,y ∈R ,则x 2+y 2=0 B .若x =y ≠0,x ,y ∈R ,则x 2+y 2≠0 C .若x ≠0且y ≠0,x ,y ∈R ,则x 2+y 2≠0 D .若x ≠0或y ≠0,x ,y ∈R ,则x 2+y 2≠0解析:选D 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x =y =0知x =0且y =0,其否定是x ≠0或y ≠0.故原命题的逆否命题是“若x ≠0或y ≠0,x ,y ∈R ,则x 2+y 2≠0”.3.[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3,则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A .与原命题同为假命题B .与原命题的否命题同为假命题C .与原命题的逆否命题同为假命题D .与原命题同为真命题解析:选D 原命题显然为真命题,原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列,则△ABC 有一个内角为π3”,它是真命题.故选D.4.[考点二]有下列四个命题:①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m ≤1,则x 2-2x +m =0有实数解”的逆否命题; ④“若A ∩B =B ,则A ⊆B ”的逆否命题.其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号).解析:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,显然是真命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等”,显然是真命题;③若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;④若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.故真命题为①②③.答案:①②③突破点(二)充分条件与必要条件基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.充分条件与必要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p 2.p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A=B 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”充分条件与必要条件的判断[例1]x,y满足x+y >2,则p是q的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2016·天津高考)设x >0,y ∈R ,则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x >1,y >1,∴x +y >2,即p ⇒q .而当x =0,y =3时,有x +y =3>2,但不满足x >1且y >1,即q ⇒/ p .故p 是q 的充分不必要条件.(2)当x =1,y =-2时,x >y ,但x >|y |不成立;若x >|y |,因为|y |≥y ,所以x >y .所以x >y 是x >|y |的必要而不充分条件.[答案] (1)A (2)C [方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断.(2)集合法:根据p ,q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件,即可转化为判断“x =1且y =1”是“xy =1”的何种条件.充分条件与必要条件的应用[例2] (1)命题“对任意x ∈[1,2),x ( )A .a ≥1B .a >1C .a ≥4D .a >4(2)已知P ={x |x 2-8x -20≤0},非空集合S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则m 的取值范围为________.[解析] (1)命题可化为∀x ∈[1,2),a ≥x 2恒成立. ∵x ∈[1,2),∴x 2∈[1,4).∴命题为真命题的充要条件为a ≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a >4,故选D. (2)由x 2-8x -20≤0得-2≤x ≤10, ∴P ={x |-2≤x ≤10},由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤1+m ,1-m ≥-2,1+m ≤10,解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是[0,3]. [答案] (1)D (2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.1.[考点一](2017·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x -1)<0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由log 2(x -1)<0得0<x -1<1,即1<x <2,故“x >1”是“log 2(x -1)<0”的必要不充分条件,选B.2.[考点二]已知“x >k ”是“3x +1<1”的充分不必要条件,则k 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .[1,+∞) C .(2,+∞) D .(-∞,-1]解析:选A 由3x +1<1,得3x +1-1=-x +2x +1<0,解得x <-1或x >2.因为“x >k ”是“3x +1<1”的充分不必要条件,所以k ≥2.3.[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p :cos α≠12,命题q :α≠π3”,则命题p 是命题q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 若cos α≠12,则α≠2k π±π3(k ∈Z),则α也必然不等于π3,故p ⇒q ;若α≠π3,但α=-π3时,依然有cos α=12,故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件.4.[考点二]已知p :x >1或x <-3,q :x >a ,若q 是p 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(-∞,1]C .[-3,+∞)D .(-∞,-3)解析:选A 设P ={x |x >1或x <-3},Q ={x |x >a },因为q 是p 的充分不必要条件,所以Q P ,因此a ≥1.5.[考点一]已知函数f (x )=13x-1+a (x ≠0),则“f (1)=1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析:若f (x )=13x-1+a 是奇函数, 则f (-x )=-f (x ), 即f (-x )+f (x )=0, ∴13-x-1+a +13x -1+a =2a +3x 1-3x +13x -1=0,即2a +3x -11-3x =0,∴2a -1=0,即a =12,f (1)=12+12=1.若f (1)=1,即f (1)=12+a =1,解得a =12,所以f (x )=13x-1+12,f (-x ) =13-x-1+12=-13x -1-12=-f (x ), 故f (x )是奇函数.∴“f (1)=1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件.答案:充要[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x) 在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析:选C设f(x)=x3,f′(0)=0,但是f(x)是单调增函数,在x=0处不存在极值,故若p,则q是一个假命题,由极值的定义可得若q,则p是一个真命题.故选C.2.(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z=2-1+i的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1. 其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4解析:选C∵复数z=2-1+i=-1-i,∴|z|=2,z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,z的共轭复数为-1+i,z的虚部为-1,综上可知p2,p4是真命题.[课时达标检测]基础送分课时——精练“12+4”,求准求快不深挖一、选择题1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0解析:选D根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.2.“(2x-1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B若(2x-1)x=0,则x=12或x=0,即不一定是x=0;若x=0,则一定能推出(2x-1)x=0.故“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.3.“a <0,b <0”的一个必要条件为( ) A .a +b <0 B .a -b >0 C.ab >1D.ab <-1解析:选A 若a <0,b <0,则一定有a +b <0,故选A.4.已知命题p :“若x ≥a 2+b 2,则x ≥2ab ”,则下列说法正确的是( ) A .命题p 的逆命题是“若x <a 2+b 2,则x <2ab ” B .命题p 的逆命题是“若x <2ab ,则x <a 2+b 2” C .命题p 的否命题是“若x <a 2+b 2,则x <2ab ” D .命题p 的否命题是“若x ≥a 2+b 2,则x <2ab ”解析:选C 命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ,则x ≥a 2+b 2”,故A ,B 都错误;命题p 的否命题是“若x <a 2+b 2,则x <2ab ”,故C 正确,D 错误.5.若f (x )是定义在R 上的函数,则“f (0)=0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A .必要不充分条件 B .充要条件 C .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件解析:选A f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)=0,但f (0)=0不能推出函数f (x )为奇函数,例如f (x )=x 2.故选A.6.原命题p :“设a ,b ,c ∈R ,若a >b ,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .4解析:选C 当c =0时,ac 2=bc 2,所以原命题是错误的;由于原命题与逆否命题的真假一致,所以逆否命题也是错误的;逆命题为“设a ,b ,c ∈R ,若ac 2>bc 2,则a >b ”,它是真命题;由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题.综上所述,真命题有2个.7.“a =2” 是“函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2,+∞)上为增函数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A “a =2”可以推出“函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2,+∞)上为增函数”,但反之不能推出.故“a =2”是“函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.8.(2017·杭州模拟)已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A因为p:x+y≠-2,q:x≠-1,或y≠-1,所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1,且y=-1,因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.9.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A当四边形ABCD为菱形时,必有对角线互相垂直,即AC⊥BD;当四边形ABCD中AC⊥BD时,四边形ABCD不一定是菱形,还需要AC与BD互相平分.综上知,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.10.(2017·烟台诊断)若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.[2,+∞) B.(-∞,2]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]解析:选A p:|x|≤2等价于-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以有[-2,2]⊆(-∞,a],即a≥2.11.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④解析:选D只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时,这两个平面才相互平行,所以①为假命题;②符合两个平面相互垂直的判定定理,所以②为真命题;垂直于同一直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以③为假命题;根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题.12.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为12”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 当k =1时,l :y =x +1,由题意不妨令A (-1,0),B (0,1),则S △AOB =12×1×1=12,所以充分性成立;当k =-1时,l :y =-x +1,也有S △AOB =12,所以必要性不成立. 二、填空题13.已知a ,b ,c ∈R ,命题“若a +b +c =3,则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是________. 解析:“a +b +c =3”的否定是“a +b +c ≠3”,“a 2+b 2+c 2≥3”的否定是“a 2+b 2+c 2<3”,故根据否命题的定义知,该命题的否命题为:若a +b +c ≠3,则a 2+b 2+c 2<3.答案:若a +b +c ≠3,则a 2+b 2+c 2<3 14.有下列几个命题:①“若a >b ,则1a >1b ”的否命题;②“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题; ③“若x 2<4,则-2<x <2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.解析:①原命题的否命题为“若a ≤b ,则1a ≤1b ”,假命题.②原命题的逆命题为:“若x ,y 互为相反数,则x +y =0”,真命题.③原命题为真命题,故逆否命题为真命题.答案:②③15.已知p (x ):x 2+2x -m >0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________.解析:因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0,解得m ≥3;又p (2)是真命题,所以4+4-m >0,解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8).答案:[3,8)16.已知α:x ≥a ,β:|x -1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a 的取值范围为________.解析:α:x ≥a ,可看作集合A ={x |x ≥a },∵β:|x -1|<1,∴0<x <2,∴β可看作集合B ={x |0<x <2}.又∵α是β的必要不充分条件,∴B A ,∴a ≤0.答案:(-∞,0]第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词本节主要包括2个知识点:1.简单的逻辑联结词;2.全称量词与存在量词.突破点(一)简单的逻辑联结词基础联通抓主干知识的“源”与“流”命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q两真才真,一假则假;p∨q一真则真,两假才假;綈p与p真假相反”.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”含逻辑联结词命题的真假判断[例1](2017·大连模拟)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题的序号是() A.①③B.①④C.②③D.②④[解析]依题意可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则綈p为假命题,綈q为真命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(綈q)为真命题,(綈p)∨q为假命题.[答案] C[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.(2)判断命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数[例2] <0},命题q :函数y =lg(ax 2-x +a )的定义域为R ,如果p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则实数a 的取值范围为________________.[解析] 由关于x 的不等式a x >1(a >0,且a ≠1)的解集是{x |x <0},知0<a <1.由函数y =lg(ax 2-x +a )的定义域为R ,知不等式ax 2-x +a >0的解集为R ,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,1-4a 2<0,解得a >12.因为p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,所以p 和q 一真一假,即“p 假q 真”或“p 真q 假”,故⎩⎪⎨⎪⎧ a >1,a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a ≤12,解得a >1或0<a ≤12,即a ∈⎝⎛⎦⎤0,12∪(1,+∞). [答案] ⎝⎛⎦⎤0,12∪(1,+∞)[方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参数的取值范围.。
高中数学知识点总结:常用逻辑用语

高中数学知识点总结:常用逻辑用语
高中学生在学习中或多或少有一些困惑,的编辑为大家总结了高中数学知识点总结:常用逻辑用语,各位考生可以参考。
常用逻辑用语:
1、四种命题:
⑴原命题:若p则q;⑵逆命题:若q则p;⑶否命题:若 p 则q;⑷逆否命题:若 q则 p
注:1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
判断命题真假时注意转化。
2、注意命题的否定与否命题的区别:命题否定形式是 ;否命题是 .命题或的否定是且且的否定是或 .
3、逻辑联结词:
⑴且(and) :命题形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or):命题形式 p q; 真真真真假
⑶非(not):命题形式 p . 真假假真假
假真假真真
假假假假真
或命题的真假特点是一真即真,要假全假
且命题的真假特点是一假即假,要真全真
非命题的真假特点是一真一假
4、充要条件
由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。
5、全称命题与特称命题:
短语所有在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号表示。
含有全体量词的命题,叫做全称命题。
短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。
全称命题p: ; 全称命题p的否定 p:。
特称命题p: ; 特称命题p的否定 p:
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高考专题复习—集合与常用逻辑用语 第一讲+第二讲(解析版)

高考专题复习—集合与常用逻辑用语(解析版)➱第一讲集合◎基础巩固1.集合的基本概念(1)集合元素的性质:确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系①属于,记为∈;②不属于,记为∉.(3)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N +Z Q R(4)集合的表示方法:①列举法;②描述法;③韦恩图.2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ,则x ∈B )A ⊆B(或B⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B 或B A集合相等集合A ,B 中的元素相同或集合A ,B 互为子集A =B3.集合的基本运算基本运算并集交集补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ,则集合A 的补集为∁U A图形表示数学语言{x |x ∈A ,或x ∈B }{x |x ∈A,且x ∈B }{x |x ∈U ,且x ∉A }运算性质A ∪∅=A ;A ∪A =A;A ∪B =B ∪A .A ∩∅=∅;A ∩A =A;A ∩B =B ∩A .A ∪(∁U A )=U ;A ∩(∁U A )=∅;∁U (∁U A )=A.1.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.2.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)∅={0}.()(2)空集是任何集合的子集,两元素集合是三元素集合的子集.()(3)a在集合A中,可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N+⊆Z.()(5)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B={x|x∈R}.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1.若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下列结论正确的是()A.{a}⊆A B.a⊆AC.{a}∈A D.a∉A解析:D[由题意知A={0,1,2,3},由a=22,知a∉A.]2.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:B[由题意可得:A∩B={2,4},故选B.]3.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2,5},则(∁U A)∪B=()A.{3,4,5}B.{2,3,5}C.{5}D.{3}解析:B[因为U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},所以∁U A={3,5},又B={2,5},所以(∁U A)∪B={2,3,5}.] 4.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.解析:∵1∉{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1.答案:(-∞,1]5.(教材改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁U B)=___________________.答案:{2,4}◎考点探究考点一集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1.已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为()A .9B .8C .5D .4解析:A[∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z ,∴x =-1,0,1,当x =-1时,y =-1,0,1;当x =0时,y =-1,0,1;当x =1时,y =-1,0,1;所以共有9个,选A.]2.若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =()A.92B.98C .0D .0或98解析:D[若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a =0时,x =23,符合题意;当a ≠0时,由Δ=(-3)2-8a =0,得a =98,所以a 的取值为0或98.]3.已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________.解析:因为3∈A ,所以m +2=3或2m 2+m =3.当m +2=3,即m =1时,2m 2+m =3,此时集合A 中有重复元素3,所以m =1不符合题意,舍去.当2m 2+m =3时,解得m =-32或m =1(舍去),此时当m =-32时,m +2=12≠3符合题意.所以m =-32.答案:-324.已知集合M ={1,m },N ={n ,log 2n },若M =N ,则(m -n )2019=________.解析:由M =N =1,2n =m =m ,2n =1,=0,=12,=2.∴(m -n )2019=-1或0.答案:-1或01.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.考点二集合间的基本关系(师生共研)[典例](1)已知集合A ={x |ax =1},B ={x |x 2-1=0},若A ⊆B ,则a 的取值构成的集合是()A .{-1}B .{1}C .{-1,1}D .{-1,0,1}(2)已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是________.[解析](1)由题意,得B ={-1,1},因为A ⊆B ,所以当A =∅时,a =0;当A ={-1}时,a =-1;当A ={1}时,a =1.又A 中至多有一个元素,所以a 的取值构成的集合是{-1,0,1}.故选D.(2)当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2.当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.+1≥-2m -1≤7+1<2m -1,解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为m ≤4.[答案](1)D (2){m |m ≤4}[互动探究]本例(1)中若A ={x |ax >1(a ≠0)},B ={x |x 2-1>0},其它条件不变,则a 的取值范围是________.解析:由题意,得B ={x |x >1,或x <-1},对于集合A ,①当a >0时,A |x >1a因为A ⊆B ,所以1a ≥1.又a >0,所以0<a ≤1.②当a <0时,A |x <1a因为A ⊆B ,所以1a ≤-1,又a <0,所以-1≤a <0,综上所述,0<a ≤1,或-1≤a <0.答案:[-1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且常要对参数进行讨论,注意区间端点的取舍.提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.[跟踪训练](1)若集合A ={x |ax 2+ax +1=0}的子集只有两个,则实数a =________.解析:∵集合A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素,即方程ax 2+ax +1=0只有一个根.当a =0时方程无解.当a ≠0时,Δ=a 2-4a =0,∴a =4.故a =4.答案:4(2)已知集合A ={x |log 2x ≤2},B =(-∞,a ),若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是(c ,+∞),其中c =________.解析:由log 2x ≤2,得0<x ≤4,即A ={x |0<x ≤4},而B =(-∞,a ).由于A ⊆B ,如图所示,则a >4,即c =4.答案:4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1.(文科)已知集合A ={0,2},B ={-2,-1,0,1,2},则A ∩B =()A .{0,2}B .{1,2}C .{0}D .{-2,-1,0,1,2}解析:A[根据集合交集中元素的特征,可以求得A ∩B ={0,2},故选A.]2.(文科)已知集合A ={x |x <2},B ={x |3-2x >0},则()A .A ∩B |x B .A ∩B =∅C .A ∪B |xD .A ∪B =R解析:A[由3-2x >0得x <32,所以A ∩B ={x |x <2}|x |x ,故选A.][命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3.(文科)设集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={x |2<x <5},则A ∩(∁R B )等于()A .{2,3,4,5}B .{1,2,5,6}C .{3,4}D .{1,6}解析:B[因为∁R B ={x |x ≤2,或x ≥5},A ={1,2,3,4,5,6};所以A ∩(∁R B )={1,2,5,6}.][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4.设集合A ={1,2,4},B ={x |x 2-4x +m =0}.若A ∩B ={1},则B =()A .{1,-3}B .{1,0}C .{1,3}D .{1,5}解析:C[由题意知x =1是方程x 2-4x +m =0的解,代入解得m =3,所以x 2-4x +3=0,解得x =1或x =3,从而B ={1,3}.]5.已知集合A ={x |x ≤a },B ={x |1≤x ≤2},且A ∪∁R B =R ,则实数a 的取值范围是________.解析:∁R B ={x |x <1,或x >2},要使A ∪(∁R B )=R ,则a ≥2.答案:[2,+∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决.(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图.提醒:Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.考点四集合的新定义问题(师生共研)数学抽象——集合新定义中的核心素养以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象.[典例]设A是自然数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k2∉A,且k∉A,那么k是A的一个“酷元”,给定S={x∈N|y=lg(36-x2)},设M⊆S,集合M中有两个元素,且这两个元素都是M的“酷元”,那么这样的集合M有()A.3个B.4个C.5个D.6个[解析]C[由36-x2>0可解得-6<x<6,又x∈N,故x可取0,1,2,3,4,5,故S={0,1,2,3,4,5}.由题意可知:集合M不能含有0,1,且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}.]解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.[跟踪训练]定义一种新的集合运算△:A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于()A.{x|3<x≤4}B.{x|3≤x≤4}C.{x|3<x<4}D.{x|2≤x≤4}解析:B[A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4},由题意知,B△A={x|x∈B,且x∉A}={x|3≤x≤4}.]◎课时作业[基础训练组]1.已知集合A ={1,3,5,7},B ={2,3,4,5},则A ∩B =()A .{3}B .{5}C .{3,5}D .{1,2,3,4,5,7}解析:C[A ={1,3,5,7},B ={2,3,4,5},∴A ∩B ={3,5},故选C.]2.集合P ={x |0≤x <3},M ={x ||x |≤3},则P ∩M =()A .{1,2}B .{0,1,2}C .{x |0≤x <3}D .{x |0≤x ≤3}解析:C[集合P ={x |0≤x <3},M ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},则P ∩M ={x |0≤x <3}.]3.如图,I 为全集,M 、P 、S 是I 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A .(M ∩P )∩SB .(M ∩P )∪SC .(M ∩P )∩∁I SD .(M ∩P )∪∁I S解析:C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集,不属于集合S ,属于集合S 的补集的子集,即是∁I S 的子集,则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4.满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 的个数为()A .1B .2C .3D .4解析:C[满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A 可得:A ={2018},{2018,2019},{2018,2020}.因此满足的集合A 的个数为3.]5.已知集合P ={x |x 2≤1},M ={a }.若P ∪M =P ,则a 的取值范围是()A .(-∞,-1]B .[1,+∞)C .[-1,1]D .(-∞,-1]∪[1,+∞)解析:C[因为P ∪M =P ,所以M ⊆P ,即a ∈P ,得a 2≤1,解得-1≤a ≤1,所以a 的取值范围是[-1,1].]6.已知集合A ={y |y =x 2-1},B ={x |y =lg(x -2x 2)},则∁R (A ∩B )=()A.0B .(-∞,0)∪12,+∞D .(-∞,0]∪12,+∞解析:D[A ={y |y =x 2-1}=[0,+∞),B ={x |y =lg(x -2x 2)}A ∩B所以∁R (A ∩B )=(-∞,0]∪12,+7.已知A =[1,+∞),B ∈R |12a ≤x ≤2a -A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是()A .[1,+∞) B.12,1 C.23,+∞D .(1,+∞)解析:A[因为A ∩B ≠∅a -1≥1,a -1≥12a ,解得a ≥1,故选A.]8.函数y =x -2与y =ln(1-x )的定义域分别为M ,N ,则M ∪N =()A .(1,2]B .[1,2]C .(-∞,1]∪[2,+∞)D .(-∞,1)∪[2,+∞)解析:D[使x -2有意义的实数x 应满足x -2≥0,∴x ≥2,∴M =[2,+∞),y =ln(1-x )中x 应满足1-x>0,∴x <1,∴N =(-∞,1),所以M ∪N =(-∞,1)∪[2,+∞),故选D.]9.已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈R ,x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y ∈R ,y =4x 2-1},则A ∩B 的元素个数是________.解析:集合A 是以原点为圆心,半径等于1的圆周上的点的集合,集合B 是抛物线y =4x 2-1上的点的集合,观察图像可知,抛物线与圆有3个交点,因此A ∩B 中含有3个元素.答案:310.已知集合A ={x |4≤2x ≤16},B =[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a -b 的取值范围是________.解析:集合A ={x |4≤2x ≤16}={x |22≤2x ≤24}={x |2≤x ≤4}=[2,4],因为A ⊆B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a -b ≤2-4=-2,即实数a -b 的取值范围是(-∞,-2].答案:(-∞,-2]11.对于集合M 、N ,定义M -N ={x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N =(M -N )∪(N -M ).设A ={y |y =3x ,x ∈R },B ={y |y =-(x -1)2+2,x ∈R },则A ⊕B =________.解析:由题意得A ={y |y =3x ,x ∈R }={y |y >0},B ={y |y =-(x -1)2+2,x ∈R }={y |y ≤2},故A -B ={y |y >2},B -A ={y |y ≤0},所以A ⊕B ={y |y ≤0,或y >2}.答案:(-∞,0]∪(2,+∞)12.若A ={x |ax 2-ax +1≤0,x ∈R }=∅,则a 的取值范围是________.解析:∵A ={x |ax 2-ax +1≤0,x ∈R }=∅,∴a =0>0=(-a )2-4a <0,解得0≤a <4.∴a 的取值范围是[0,4).[能力提升组]13.集合U =R ,A ={x |x 2-x -2<0},B ={x |y =ln(1-x )},则图中阴影部分所表示的集合是()A .{x |x ≥1}B .{x |1≤x <2}C .{x |0<x ≤1}D .{x |x ≤1}解析:B [易知A =(-1,2),B =(-∞,1),∴∁U B =[1,+∞),A ∩(∁U B )=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )={x |1≤x <2}.]14.设P ,Q 为两个非空实数集合,定义集合P *Q ={z |z =a ÷b ,a ∈P ,b ∈Q },若P ={-1,0,1},Q ={-2,2},则集合P *Q 中元素的个数是()A .2B .3C .4D .5解析:B[当a =0时,无论b 取何值,z =a ÷b =0;当a =-1,b =-2时,z =(-1)÷(-2)=12;当a =-1,b =2时,z =(-1)÷2=-12;当a =1,b =-2时,z =1÷(-2)=-12;当a =1,b =2时,z =1÷2=12.故P *Q ,12,-3个元素.]15.若集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0,x∈R}有且仅有两个子集,则实数a的值为________.解析:由题意知,方程(a-1)x2+3x-2=0,x∈R,有一个根,∴当a=1时满足题意,当a≠1时,Δ=0,即9+8(a-1)=0,解得a=-18.答案:1或-1816.某班共有学生40名,在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项,有些人会其中的两项,没有人三项均会.若该班18人不会打乒乓球,24人不会打篮球,16人不会打排球,则该班会其中两项运动的学生人数是________.解析:设同时会打乒乓球和篮球的学生有x人,同时会打乒乓球和排球的学生有y人,同时会打排球和篮球的学生有z人,∵该班18人不会打乒乓球,24人不会打篮球,16人不会打排球,∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人,会打乒乓球或排球的学生有16人,会打篮球或打排球有22人,∴x+y+z=24+16+22-40=22.∴该班会其中两项运动的学生人数是22.答案:22➱第二讲命题、充分条件与必要条件◎基础巩固1.命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及其关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.4.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性,互逆的或互否的两个命题真假性没有关系.2.若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()(2)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.()(3)若p是q成立的充要条件,则可记为p⇔q.()(4)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.()答案:(1)√(2)√(3)√(4)×[小题查验]1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:A[因为x2-2x+1=0有两个相等的实数根为x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.] 2.给出命题:“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:D[原命题显然正确,其逆命题为:若x=y=0,则x2+y2=0,显然也是真命题,由四种命题之间的关系知,其否命题、逆否命题也都是真命题.故选D.]3.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:B[直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直的充要条件为a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=14.(教材改编)已知命题:若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根.则其逆否命题为_________.答案:若方程x2+x-m=0无实根,则m≤05.下列命题:①若ac2>bc2,则a>b;②若sinα=sinβ,则α=β;③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是________.解析:对于①,∵ac2>bc2,∴c2>0,∴a>b正确;对于②,sin30°=sin150°⇒/30°=150°,所以②错误;对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③正确;④显然正确.答案:①③④◎考点探究考点一命题的四种形式及其关系(自主练透)[题组集训]1.命题p:若a>b,则a-1>b-1,则命题p的否命题为()A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a≥b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-1解析:C[根据否命题的定义:若原命题为:若p,则q,否命题为:若非p,则非q.∵原命题为:若a>b,则a-1>b-1,∴否命题为:若a≤b,则a-1≤b-1,故选C.]2.命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x=4,则x2+3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题解析:C[根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2+3x-4=0,所以x=4或-1,故选C.]3.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.解析:对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=log a x在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.提醒:当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动.2.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.考点二充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1]充分、必要条件的判定1.设p∶0<x<1,q∶2x≥1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:A[q∶2x≥1,解得x≥0.又p∶0<x<1,则p是q的充分不必要条件.]2.函数f(x)在x=x0处导数存在,若p∶f′(x0)=0,q∶x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析:C[函数在x=x0处有导数且导数为0,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点;反之,若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0,所以p是q的必要不充分条件.]3.已知向量a=(-2,m),b m∈R,则“a⊥(a+2b)”是“m=2”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析:B[∵a=(-2,m),b m∈R,∴a+2b=(4,2m)若a⊥(2a+2b),则-8+2m2=0,解得m=±2,故“a⊥(a+2b)”是“m=2”的必要不充分条件.]命题的充分、必要条件的判断方法(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法:利用A⇒B与非B⇒非A,B⇒A与非A⇒非B,A⇔B与非B⇔非A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.[命题角度2]利用充要条件求参数的取值(范围)逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决,充分体现“逻辑推理”的核心素养.4.已知p:-2≤x≤10,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p是q成立的充分不必要条件,则实数a的取值范围是______.[破题关键点]若p是q成立的充分不必要条件,则{x|-2≤x≤10} {x|x>a+1,或x<a},即转化为相对应的集合间的基本关系来求实数a的取值范围.解析:由(x-a)(x-a-1)>0,得x>a+1或x<a,由题意,得{x|-2≤x≤10} {x|x>a+1,或x<a},所以a+1<-2或a>10,即a<-3或a>10.答案:(-∞,-3)∪(10,+∞)[互动探究]本例中,若p:-2<x<10,q:(x-a)(x-a-1)≥0,其他条件不变,则a的取值范围是______.解析:由(x-a)(x-a-1)≥0,得x≥a+1或x≤a,由题意得{x|-2<x<10} {x|x≥a+1,或x≤a}.所以a+1≤-2,或a≥10,即a≤-3,或a≥10.答案:(-∞,-3]∪[10,+∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.◎课时作业[基础训练组]1.命题“若a 2+b 2=0,a ,b ∈R ,则a =b =0”的逆否命题是()A .若a ≠b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2=0B .若a =b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0C .若a ≠0且b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0D .若a ≠0或b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0解析:D[写逆否命题只要交换命题的条件与结论,并分别否定条件与结论即可.]2.设a ∈R ,则“a >3”是“函数y =log a (x -1)在定义域上为增函数”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A[因为函数y =log a (x -1)在定义域(1,+∞)上为增函数,所以a >1,因此“a >3”是“函数y =log a (x -1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件.]3.“m =1”是“圆C 1:x 2+y 2+3x +4y +m =0与圆C 2“x 2+y 2=4的相交弦长为23”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A[由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x +4y +m +4=0,故(0,0)到3x +4y +m +4=0的距离d=|m +4|5=4-3=1,即|m +4|=5,解得m =1或m =-9.故m =1是m =1或m =-9的充分不必要条件,故选A.4.已知条件p :|x -4|≤6,条件q :x ≤1+m ,若p 是q 的充分不必要条件,则m 的取值范围是()A .(-∞,-1]B .(-∞,9]C .[1,9]D .[9,+∞)解析:D[由|x -4|≤6,解得-2≤x ≤10,即p :-2≤x ≤10;又q :x ≤1+m ,若p 是q 的充分不必要条件,则1+m ≥10,解得m ≥9.故选D.]5.若x >m 是x 2-3x +2<0的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是()A .[1,+∞)B .(-∞,2]C .(-∞,1]D .[2,+∞)解析:C[由x 2-3x +2<0得1<x <2,若x >m 是x 2-3x +2<0的必要不充分条件,则m ≤1,即实数m 的取值范围是(-∞,1].]6.a 2+b 2=1是a sin θ+b cos θ≤1恒成立的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A[因为a sin θ+b cos θ=a 2+b 2sin (θ+φ)≤a 2+b 2,所以由a 2+b 2=1可推得a sin θ+b cos θ≤1恒成立.反之,取a =2,b =0,θ=30°,满足a sin θ+b cos θ≤1,但不满足a 2+b 2=1,即由a sin θ+b cos θ≤1推不出a 2+b 2=1,故a 2+b 2=1是a sin θ+b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件.故选A.]7.“m >1”是“函数f (x )=3x +m -33在区间[1,+∞)无零点”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A[因为函数f (x )=3x +m -33在区间[1,+∞)上单调递增且无零点,所以f (1)=31+m -33>0,即m +1>32,解得m >12,故“m >1”是“函数f (x )=3x +m -33在区间[1,+∞)无零点的充分不必要条件,故选A.]8.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n .给出命题s :若|q |=2,则S 6=7S 2,则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中,错误命题的个数是()A .3B .2C .1D .0解析:B[若|q |=2,则q 2=2,S 6=a 1(1-q 6)1-q =a 1(1-q 2)(1+q 2+q 4)1-q =7·a 1(1-q 2)1-q=7S 2,所以原命题为真,从而逆否命题为真;而当S 6=7S 2时,显然q ≠1,这时a 1(1-q 6)1-q =7·a 1(1-q 2)1-q ,解得q =-1或|q |=2,因此,逆命题为假,否命题为假,故错误命题的个数为2.]9.《左传·僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件解析:由题意知“无皮”⇒“无毛”,所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件.答案:①10.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件.解析:由正弦定理,得a sin A =bsin B,故a ≤b ⇔sin A ≤sin B.答案:充要11.若“x >a ”是“x 2-5x +6≥0”成立的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是_________.解析:由x 2-5x +6≥0得x ≥3或x ≤2,若“x >a ”是“x 2-5x +6≥0”成立的充分不必要条件,则a ≥3,即实数a 的取值范围是[3,+∞).答案:[3,+∞)12.已知条件p :2x 2-3x +1≤0,条件q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.解析:由2x 2-3x +1≤0,得12≤x ≤1,∴命题p |12≤x ≤由x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,得a ≤x ≤a +1,∴命题q 为{x |a ≤x ≤a +1}.非p 对应的集合A |x >1或x q 对应的集合B ={x |x >a +1或x <a }.∵非p 是非q 的必要不充分条件,∴a +1≥1且a ≤12,∴0≤a ≤12,即实数a 的取值范围是0,12.答案:0,12[能力提升组]13祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A ,B 为两个同高的几何体,p :A ,B 的体积不相等,q :A ,B 在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A[设命题a :“若p ,则q ”,可知命题a 是祖暅原理的逆否命题,则a 是真命题.故p 是q 的充分条件.设命题b :“若q ,则p ”,若A 比B 在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b 是假命题,即p 不是q 的必要条件.综上所述,p 是q 的充分不必要条件.故选A.]14.已知条件p :4x -1≤-1,条件q :x 2+x <a 2-a ,且非q 的一个充分不必要条件是非p ,则a 的取值范围是()A.-2,-12B.12,2C .[-1,2],12∪[2,+∞)解析:C [由4x -1≤-1,移项得4x -1+1≤0,通分得x +3x -1≤0,解得-3≤x <1;由x 2+x <a 2-a ,得x 2+x -a 2+a <0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ,可知非p 是非q 的充分不必要条件,即p 是q 的必要不充分条件,即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集.设f (x )=x 2+x -a 2+a -3)=-a 2+a +6≥0,1)=-a 2+a +2≥0,2<a <31≤a ≤2∴-1≤a ≤2,故选C.]15.给出下列命题:①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n +1}为等比数列”的充分不必要条件;②“a =2”是“函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③“m =3”是“直线(m +3)x +my -2=0与直线mx -6y +5=0互相垂直”的充要条件;④设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,则“A =30°”是“B =60°”的必要不充分条件.其中真命题的序号是________.解析:对于①,当数列{a n }为等比数列时,易知数列{a n a n +1}是等比数列,但当数列{a n a n +1}为等比数列时,数列{a n }未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;对于②,当a ≤2时,函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;对于③,当m =3时,相应的两条直线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有m =3,也可能m =0.因此③不正确;对于④,由题意得b a =sin B sin A =3,若B =60°,则sin A =12,注意到b >a ,故A =30°,反之,当A =30°时,有sin B =32,由于b >a ,所以B =60°或B =120°,因此④正确.综上所述,真命题的序号是①④.答案:①④16.设命题p :2x -1x -1<0,命题q ∶x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.解析:2x -1x -1<0⇒(2x -1)(x -1)<0⇒12<x <1,x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0⇒a ≤x ≤a +1.[a ,a +1].≤12,+1≥1,解得0≤a ≤12.答案:0,12。
2018届高考数学小题精练专题解析

2018届高考数学小题精练专题解析目录专题01集合理含解析专题02常用逻辑用语理含解析专题03复数理含解析专题04框图理含解析专题05线性规划理含解析专题06平面向量理含解析专题07等差数列理含解析专题08等比数列理含解析专题09解三角形理含解析专题10三角函数理含解析专题11函数理含解析专题12导数理含解析专题13定积分理含解析专题14直线与圆理含解析专题15圆锥曲线理含解析专题16排列与组合理含解析专题17二项式定理理含解析专题18统计与统计案例理含解析专题19概率理含解析专题20随机变量及其分布理含解析专题21三视图理含解析专题22综合训练1理含解析 专题23综合训练2理含解析 专题24综合训练3理含解析专题01 集合1.已知集合(){}{}|20,2,1,0,1,2A x x x B =-≤=--,则AB =( )A .{}2,1--B .{}1,2C .{}1,0,1,2-D .{}0,1,2 【答案】D 【解析】试题分析:由题意得,(){}{}|20|02A x x x x x =-≤=≤≤,所以A B ={}0,1,2,故选D .考点:集合的运算.2.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<,集合A 中至少有3个元素,则( ) A .16k ≥ B .16k > C .8k ≥ D .8k > 【答案】B 【解析】试题分析:由集合A 中至少有3个元素,则2log 4k >,解得16k >,故选B. 考点:集合的概念.3.已知集合{}{}31,032≤<=≥-=x x N x x x M ,则=N M C R )(( )A .)1,0[B .]3,0(C .)3,1(D .]3,1[ 【答案】C 【解析】考点:集合的运算.4.已知集合{}2|20A x x x =+-<,12|log 1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,则A B =( )A .1(0,)2B .(0,1)C .1(2,)2-D .1(,1)2【答案】A 【解析】试题分析:由题意得{|21}A x x =-<<,1|02B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,所以A B =1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,故选A .考点:集合的运算.5.设集合}1,1{-=M ,}21|{<=xx N ,则下列结论正确的是( ) A .M N ⊆ B .N M ⊆ C .∅=M ND .R N M = 【答案】B 【解析】试题分析:由题意得,集合1{|2}{|0N x x x x =<=<或1}2x >,所以N M ⊆,故选B. 考点:集合的运算.6.已知集合{}2|60,A x x x x R =+-≤∈,{}|4,B x x Z =≤∈,则A B =( )A .()0,2B .[]0,2C .{}0,2D .{}0,1,2 【答案】D 【解析】考点:集合交集,一元二次不等式. 7.已知 {}|,|1tan 022A x x B x x ππ⎧⎫=-<<=+>⎨⎬⎩⎭,则A B =( ) A .|04x x π⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B .|44x x ππ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C .|42x x ππ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D .|42x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】试题分析:由tan 1x >-,所以,42B k k ππππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,故|42A B x x ππ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.考点:集合交集.8.已知全集U R =,集合{}22A y y x x R ==+∈,,集合(){}lg 1B x y x ==-,则阴影部分所示集合为( )A .[]12,B .()12,C .(12],D .[12),【答案】B 【解析】考点:集合的运算.专题02 常用逻辑用语1.ABC ∆中,“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点:三角函数的恒等变换;充要条件的判定. 2.下列命题中,正确命题的个数为( )①0322<--x x 是命题;②2=x 是0442=+-x x 成立的充分非必要条件;③命题“三角形的三个内角和为 180”的否命题是“三角形的内角和不是 180”;④命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“0,2<∈∀x R x ”.A .0B .1C .2D .3 【答案】A 【解析】试题分析:由题意得①不是命题;②2=x 是0442=+-x x 的充要条件;③命题“三角形的三个内角和为 180”的否定是“三角形的内角和不是180”,所以不正确;④命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“2,0x R x ∃∈<”,所以不正确,故选A .考点:命题的真假判定.3.已知命题():0,,32xxp x ∀∈+∞>;命题():,0,32q x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是 ( )A .p q ∧B .()p q ∧⌝C .()p q ⌝∧D .()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】试题分析:根据指数函数的性质,可知命题():0,,32x x p x ∀∈+∞>知真命题,对于命题q :320x x x >⇒>,所以命题():,0,32q x x x ∃∈-∞>为假命题,所以命题()p q ∧⌝为真命题,故选B .考点:复合命题的真假判定. 4.下列四个命题正确的是( )①设集合{}|03M x x =<≤,{}|02N x x =<≤,则“a M ∈”是“a N ∈”的充分不必要条件;②命题“若a M ∈,则b M ∉”的逆否命题是“若b M ∈,则a M ∉”; ③若p q ∧是假命题,则p ,q 都是假命题;④命题p :“0x R ∃∈,20010x x -->”的否定为p ⌝:“x R ∀∈,210x x --≤”.A .①②③④B .①③④C .②④D .②③④【答案】C 【解析】考点:命题的真假判定.5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A .)()(q p ⌝∧⌝B .)(q p ⌝∧C .)()(q p ⌝∨⌝D .q p ∨ 【答案】C 【解析】试题分析:由题意得命题“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示只有一位学员没有落在指定范围或两位学员都没有落在指定范围,所以可表示为)()(q p ⌝∨⌝,故选C. 考点:复合命题的判定与表示. 6.下列命题中,为真命题的是( ) A.0x R ∃∈,使得00xe ≤ B.1sin 2(x k ,k Z)sin x xπ+≥≠∈ C.2,2x x R x ∀∈>D.若命题p :0x R ∃∈,使得20010x x -+<,则p ⌝:0x R ∀∈,都有210x x -+≥【答案】D 【解析】考点:命题的真假判定及应用. 7.下列选项中,说法正确的是( )A .“0,0200≤-∈∃x x R x ”的否定是“0,2>-∈∃x x R x ”. B .若向量,满足0<∙ ,则与的夹角为钝角. C .若22bm am ≤,则b a ≤.D .命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真” 的必要条件. 【答案】D 【解析】试题分析:“0,0200≤-∈∃x x R x ”的否定是“2,0x R x x ∀∈->”;若向量,满足0<∙ ,则与的夹角为钝角或π;若22bm am ≤,则b a ≤当0m =时为假命题;故选D.考点:命题的真假判断.8.设,a b R ∈,则“22log log a b >”是“21a b->”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:22log log 1a b a b >⇔>>,210a ba b a b ->⇔->⇔>,故为充分不必要条件.考点:充要条件,指数和对数不等式. 9.“11x>”是“11x e -<”的( ) A .充分且不必要条件 B .必要且不充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】考点:充要条件,不等式.10.对任意的实数x ,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则11x y -<-<“”是[][]x y =“”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析:取05, 1.2,11x y x y =⋅=-<-<,但不满足[][]x y =“”,故11x y -<-<“”不能推出[][]x y =“”.反之,若[][]x y =“”,则有11x y -<-<“”,故为必要不充分条件.考点:充要条件.11.已知命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<,若p ⌝是真命题,则实数a 的取值范围是( )A .[]0,4B .()0,4 C.()(),04,-∞+∞D .(][),04,-∞+∞【答案】A 【解析】试题分析:p ⌝是真命题, 2:,0p x R x ax a ⌝∀∈++≥,所以240a a ∆=-≤,解得[]0,4a ∈.考点:全称命题与特称命题.12.“0a ≤”是“函数()()1f x ax x =-在区间()0,+∞内单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】考点:函数的单调性、充要条件.13.若“1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得2210x x λ-+<成立”是假命题,则实数λ的取值范围为( )A .(,-∞B .⎡⎤⎣⎦C .⎡⎤-⎣⎦D .3λ=【答案】A 【解析】试题分析:因为1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得2210x x λ-+<成立”是假命题,所以 “1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦使得2210x x λ-+<成立”是真命题,12x x λ∴≤+对于1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,12x x+≥2x =时取等号,2λ∴≤,故选A. 考点:1、特称命题与全称命题;2、不等式恒成立问题.14.设命题2:0 1p x x ∃<≥,,则p ⌝为( ) A .20 1x x ∀≥<, B .20 1x x ∀<<, C .20 1x x ∃≥<,D .20 1x x ∃<<,【答案】B【解析】试题分析:因为特称命题的否定是全称命题,且先将存在量词改成全称量词,然后否定结论,所以命题2:0 1p x x ∃<≥,的否定是p ⌝为20 1x x ∀<<,,故选B.考点:1、特称命题的与全称命题;2、存在量词与全称量词.15.下列结论错误..的个数是( ) ①命题“若p ,则q ”与命题“若q ⌝,则p ⌝”互为逆否命题;②命题[]:0,1,1x p x e ∀∈≥,命题2:,10q x R x x ∃∈++<,则p q ∨为真;③“若22am bm <,则a b <”的逆命题为真命题;④若p q ∨为假命题,则p 、q 均为假命题.A .0B .1 C. 2 D .3【答案】B【解析】考点:命题.16.,,A B C 三个学生参加了一次考试,,A B 的得分均为70分,C 的得分为65分.已知命A B C都没有及格.在下列四个命题中,为p的逆否命题的题:p若及格分低于70分,则,,是()A B C都及格A.若及格分不低于70分,则,,A B C都及格,则及格分不低于70分B.若,,A B C至少有一人及格,则及格分不低于70分C.若,,A B C至少有一人及格,则及格分高于70分D.若,,【答案】C【解析】试题分析:根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p:若及格分低于70分,则A B C至少有1人及格,则及格分不低于70 ,,A B C都没有及格,p的逆否命题的是:若,,分.故选:C.考点:原命题与它的逆否命题之间的关系.专题03 复数1.复数 212i i+-的共轭复数的虚部是( ) A .35- B .35C .1D .1- 【答案】D【解析】 试题分析:由题意得2(2)(12)512(12)(12)5i i i i i i i i +++===--+,所以其共轭复数为1-,故选D. 考点:复数的概念及运算.2.已知11zi i i =+-,则复数z 在复平面上所对应的点位于( ) A .实轴上 B .虚轴上 C .第一象限 D .第二象限【答案】B【解析】考点:复数的运算与表示.3. 在复平面内,复数z 满足|31|)1(i i z +=+,则z 的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【解析】试题分析:由题意得22(1)11(1)(1)i z i i i i -====-++-,所以1z i =+,故选A. 考点:复数的运算及复数的表示.4. 已知复数z 满足(34i)z 12i -=+,则z 的共轭复数是( ) A.1255i -- B.1255i -+ C.1255i +D.1255i - 【答案】A【解析】 试题分析:由题意得,复数12(12)(34)51012(34i)z 34i (34i)(34)2555i i i i i i +++-+-====-+--+,所以z 的共轭复数是1255z i =--,故选A. 考点:复数的运算.5. 如果复数()21ai a R i-∈+为纯虚数,则a =( ) A .-2 B .0 C .1D .2【答案】D【解析】考点:复数运算.6. 已知方程()()R a ai x i x ∈=++++0442有实根b ,且bi a z +=,则复数z 等于( )A .i 22-B .i 22+C .i 22+-D .i 22--【答案】A【解析】试题分析:由b是方程()()R a ai x i x ∈=++++0442的根可得()()2440b a i b b ++++=,所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩,解得22a b =⎧⎨=-⎩,所以22z i =-,故选A.考点:1、一元二次方程的根;2、复数相等的充要条件.7. i 是虚数单位,若()2,1i a bi a b R i+=+∈+,则()lg a b +的值是( ) A .2- B .1- C .0 D .12 【答案】C【解析】试题分析:()()()()()213,1,lg 0112i i i a b a b i i +--=+=+=+-. 考点:复数运算,对数运算.8. 复数ii i 211-+的实部与虚部的和为( ) A .21- B .1 C .21 D .23 【答案】D【解析】 试题分析:因为()()()111111*********i i i i i i i i i i i i i i i -+++-=-=-==+++-+-,所以实部与虚部的和为13122+=,故选D. 考点:1、复数的基本概念;2、复数的运算.9. 复数()634i i i-+-的实部与虚部之差为( ) A .-1 B .1 C .75-D .75 【答案】B【解析】考点:1、复数的运算;2、复数的基本概念.10. 已知,x y R ∈,i 为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则1(1)3x y i i ++-的虚部为( )A .325i -B .325-C .325i D .325 【答案】D【解析】试题分析:()21,3x i y i --=-+()()()422111131313x y i i i i i i +∴==+-+-⎡⎤+-⎣⎦()()143434343432525i i i i i -==-=-+--+-,故选D. 考点:复数的运算.专题04 框图1. 阅读如图所示的程序框图,則该算法的功能是( )A .计算数列{}12n -前5项的和B .计算数列{}12n -前6项的和 C. 计算数列{}21n - 前5项的和 D .计算数列{}21n -前6项的和【答案】B【解析】考点:程序框图.2. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )A .-2B .12C .-1D .2【答案】B【解析】考点:程序框图.3. 如图,给出的是11113599++++…的值的一个程序框图,判断框内应填入的条件是( )A .99i <B .99i ≤C .99i >D .99i ≥【答案】B【解析】试题分析:由题意得,执行上式的循环结构,第一次循环:1,3S i ==;第二次循环:11,53S i =+=;第三次循环:111,735S i =++=;,第50次循环:1111,1013599S i =++++=,此时终止循环,输出结果,所以判断框中,添加99i ≤,故选B .考点:程序框图.4. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n 值为( )参考数据:732.13≈,258.015sin ≈ ,1305.05.7sin ≈ .A .12B .24 C. 48D .96【答案】B【解析】考点:程序框图的应用.5. 如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A.2000M P =B.42000M P =C. 2000N P = D.42000N P = 【答案】B【解析】考点:程序框图的应用.6. 阅读如下程序框图,如果输出5=i ,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A .22-*=i SB .12-*=i S C.i S *=2 D .42+*=i S【答案】C【解析】试题分析:当3i =时,5i =时,均执行空白矩形框中的语句,综合分析,若输出的i 是5,则应填入C.考点:程序框图.7. 执行如图所示的程序框图,则输出的i 值为( )A .3B .4C .5D .6【答案】B【解析】考点:程序框图.8. 如果执行如图所示的程序框图,输入正整数()2N N ≥和实数1a ,2a ,…,N a ,输出A ,B ,则( )A .A +B 为1a ,2a ,…,N a 的和B .2A B +为1a ,2a ,…,N a 的算术平均数 C .A 和B 分是1a ,2a ,…,N a 中最大的数和最小的数D .A 和B 分是1a ,2a ,…,N a 中最小的数和最大的数【答案】C【解析】 试题分析:由程序框图可知,该程序的作用是将最大的数赋值给A ,最小的数赋值给B ,故C 选项正确.考点:算法与程序框图.9. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为1,则输出S 的值为( )A .64B .73C .512D .585【答案】B【解析】考点:程序框图.10. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是( )A .3B .0C .3D .3336【答案】B【解析】 试题分析:有程序框图知输出的结果为22016sin sin ...sin 333s πππ=+++,因为函数sin 3y x π=的周期是6,20163366=⨯,所以26336sin sin ...sin 33600333s πππ⎛⎫=⨯+++=⨯= ⎪⎝⎭,故选B.考点:1、程序框图及循环结构;2、特殊角的三角函数及三角函数的周期性.11. 执行如图所示的程序框图,若输出s 的值为16,则输入n (n N ∈)的最小值为()A .11B .10C .9D .8【答案】D【解析】考点:1、程序框图;2、循环结构.12. 右边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图,若输入,m n 分别为225、135,则输出的m =( )A .5B .9C .45D .90【答案】C【解析】试题分析:根据程序框图可知“辗转相除法”是求,m n 的最大公约数,因为225,235的最大公约数为45,故选C.考点:程序框图.13. 运行如下程序框图,如果输入的[]1,3t ∈-,则输出s 属于( )A .[]3,4-B .[]5,2-C .[]4,3-D .[]2,5-【答案】A【解析】考点:算法与程序框图.14. 按下图所示的程序框图运算:若输出2k =,则输入x 的取值范围是( )A. (]20,25 B .(]30,57 C.(]30,32 D .(]28,57【答案】D【解析】试题分析:运行程序,输入t ,0k =,21,1x t k =+=,判断否,43,2x t k =+=,判断是,输出k ,故43115,28t t +>>,故选D.考点:算法与程序框图.15. 某程序框图如右图所示,若输入输出的n 分别为3和1,则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为( )A .7?i ≥B .7?i > C. 6?i ≥D .6?i <【答案】A【解析】考点:循环结构.16. 若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为(mod )N n m ≡,例如102(mod 4)≡.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A . 4B .8 C. 16 D .32【答案】C【解析】考点:程序框图.专题05 线性规划1. 已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩,则22x y z x ++=的取值范围为( ) A .(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ B .100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】考点:简单的线性规划求最值.2. 若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+,则a b +的最小值为( )A .2B .4 C.6 D .8 【答案】B【解析】试题分析:由题意得()lg lg lg a b a b +=+,即111ab a b a b =+⇒+=,因为0,0a b >>,所以11()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=,故选B. 考点:基本不等式求最值.3. 已知a b >,二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,又0x R ∃∈,使20020ax x b ++= 成立,则22a b a b+-的最小值为( )A .2B . D .1【答案】B【解析】考点:基本不等式的应用.4. 若实数(),0,1a b ∈,且满足()114a b ->,则,a b 的大小关系是__________. 【答案】a b <【解析】试题分析:因为(),0,1a b ∈,且满足()114a b ->,所以12>,又(1)2a b -+≥(1)122a b -+>,所以b a >. 考点:比较大小;基本不等式的应用.5. 设5.03.15.03.1,5.0,5.0===z y x ,则z y x ,,的大小关系为( )A .z y x <<B .y z x <<C .z x y <<D .x z y <<【答案】C【解析】试题分析:根据指数函数0.5x y =为单调递减函数,所以0.5 1.30.50.5>,即x y >,又由幂函数0.5y x =为单调递增函数,所以0.50.51.30.5>,所以z x >,所以z x y <<,故选C . 考点:比较大小.6. 已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动,则y x z -=的取值范围是( )A .]1,2[--B .]1,2[-C .]2,1[D .]2,1[-【答案】D【解析】考点:简单的线性规问题.7. 若,x y 满足约束条件0122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数2z x y =+的最小值是____________. 【答案】12-【解析】试题分析:画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,联立01x y x y +=⎧⎨-=-⎩,解得11(,)22A -,化目标函数2z x y =+为2y x z =-+,由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时,直线在y轴上的截距最小,z 有最小值为1112()222⨯-+=-.考点:简单的线性规划问题.8. 已知正实数x y 、满足xy x y =+,若2xy m ≥-恒成立,则实数m 的最大值是__________. 【答案】6 【解析】考点:基本不等式的应用;9. 设x ,y 满足约束条件1,4,0,0,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则3z x y =-的取值范围为 .【答案】[]2,4- 【解析】试题分析:由题意得,画出约束条件所表示的可行域,如图所示,当目标函数3z x y =-过点53(,)22A 时,取得最小值,此时最小值为min 533222z =-⨯=-;当目标函数3z x y =-过点(4,0)B 时,取得最大值,此时最小值为max 4z =,所以3z x y =-的取值范围为[]2,4-.考点:简单的线性规划的应用.10. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ,y x z +=2的最大值为m ,若正数b a ,满足m b a =+,则ba 41+的最小值为 . 【答案】23【解析】考点:简单的线性规划的应用.11. 设实数x ,y 满足20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则y x z x y =-的取值范围是( )A.83[,]32-B.81[,]32--C.13[,]22-D.13[,]22【答案】A 【解析】考点:简单的线性规划的应用.12. 设y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ,若y ax z +=的最大值为42+a ,最小值为1+a ,则实数a 的取值范围为 .【答案】[]2,1a ∈- 【解析】试题分析:不等式组表示的平面区域如下图所示,目标函数z ax y =+等价于y ax z =-+,这里z 表示直线在y 轴上的截距,则12a -≤-≤,则[]2,1a ∈-.考点:简单的线性规划.13. 已知实数x ,y 满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是( )A.( B.C.[ D.[ 【答案】D 【解析】考点:线性规划.14. 设152a =,166()7b =,3ln c π=,则( )A .c a b <<B .c b a <<C .a b c <<D .b a c <<【答案】B 【解析】试题分析:依题意有ln10c <=,021a >=,06017b ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭,故c b a <<.考点:比较大小.15. 若正数x ,y 满足350x y xy +-=,则34x y +的最小值是 . 【答案】5 【解析】 试题分析:由350x y xy +-=得13155y x+=,所以()131********3455555555x y x y y x y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭. 考点:基本不等式.16. 已知x ,y 满足约束条件1020x y x y y -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥,求()()2211z x y =++-的最小值是 .【答案】12【解析】考点:线性规划.17. 若直线 :l y ax = 将不等式组20600,0x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩,表示的平面区域的面积分为相等的两部分,则实数a 的值为( )A .711B .911 C.713 D .513【答案】A 【解析】试题分析:画出可行域如下图所示,由图可知,阴影部分总面积为14,要使7ABC S ∆=,只需1147,26AC h h ⋅⋅==,将146h =代入60x y +-≤,解得113x =,即147611113a ==.考点:线性规划.18. 直线 20x y a -+=与330x y +-=交于第一象限, 当点(),P x y 在不等式组20330x y a x y -+≥⎧⎨+-≤⎩ 表示的区域上运动时,43m x y =+的最大值为8,此时 3yn x =+的最大值是_________. 【答案】34【解析】考点:两条直线的交点,线性规划.19. 已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,则22x y x ++的最小值为( )A .1B .3C .4D .6 【答案】C 【解析】考点:线性规划.20. 实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-++≤20222x y x x y ,则||y x z -=的最大值是( )A .2B .4C .6D .8 【答案】B 【解析】考点:1、可行域的画法;2、最优解的求法.21. 已知点(1,2)P -,(1,1)Q --,(0,0)O ,点(,)M x y 在不等式组210,250,2x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩所表示的平面区域内,则||OP OQ OM ++的取值范围是( )。
2018高考理科数学真题分类汇编常用逻辑用语

专题02 常用逻辑用语考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.命题及四种命题间的关系1.理解命题的概念2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系Ⅱ选择题★★☆2.充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的含义Ⅲ选择题★★★3.逻辑联结词“或”“且”“非”了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义Ⅱ选择题★★☆4.全称量词与存在量词1.理解全称量词和存在量词的意义2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定Ⅲ选择题★★★分析解读1.本节主要考查充分必要条件的推理判断及四种命题间的相互关系问题.2.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,考查四种命题的真假判断以及充分条件、必要条件的判定和应用,考查学生的逻辑推理能力.3.会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.4.能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学内容.5.本节内容在高考中约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1.【2018年浙江卷】已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A点睛:充分、必要条件的三种判断方法:(1)定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒”为真,则是的充分条件.(2)等价法:利用⇒与非⇒非,⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)集合法:若⊆,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.2.【2018年理数天津卷】设,则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:首先求解绝对值不等式,然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解:绝对值不等式,由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.【2018年理北京卷】设a,b均为单位向量,则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C点睛:充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒”为真,则是的充分条件.2.等价法:利用⇒与非⇒非,⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法:若⊆,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.2017年高考全景展示1.【2017天津,理4】设θ∈R,则“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A。
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专题常用逻辑用语【三年高考】1. 【2017天津,理4】设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ,但10,sin 2θθ=<,不满足 ππ||1212θ-<,所以是充分不必要条件,选A.2.【2017山东,理3】已知命题p:()x x ∀+>0,ln 1>0;命题q :若a >b ,则a b 22>,下列命题为真命题的是(A ) ∧p q (B )⌝∧p q (C ) ⌝∧p q (D )⌝⌝∧p q【答案】B【解析】试题分析:由0x >时11,ln(1)x x +>+有意义,知p 是真命题,由222221,21;12,(1)(2)>>->--<-可知q 是假命题,即⌝,p q 均是真命题,故选B.3.【2017北京,理13】能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________.【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾,所以验证是假命题.4.【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x >”的否定形式是( )A .*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x <B .*x n ∀∈∀∈,R N ,使得2n x <C .*x n ∃∈∃∈,R N ,使得2n x <D .*x n ∃∈∀∈,R N ,使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃,∃的否定是∀,2n x ≥的否定是2n x <.故选D .5.【2016高考山东理数】已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A6.【2016高考上海理数】设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或,所以是充分非必要条件,选A.7.【2015高考新课标1,理3】设命题p :2,2n n N n ∃∈>,则p ⌝为( )(A )2,2n n N n ∀∈> (B )2,2n n N n ∃∈≤ (C )2,2n n N n ∀∈≤ (D )2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤,故选C.8.【2015高考湖北,理5】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥. 若p :12,,,n a a a L 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( ) A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件【答案】A9.【2015高考重庆,理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的( )A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-,因此选B .10.【2015高考山东,理12】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题,则实数m 的最小值为 .【答案】1 【解析】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题,则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,所以,函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1, 所以,1m ≥ ,即实数m 的最小值为1.所以答案应填:1.【2017考试大纲】1.命题及其关系(1)理解命题的概念.(2)了解“若p 则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“ 或” 、 “ 且” 、 “ 非” 的含义.3.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义.(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 可以发现高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题真假判断、含有逻辑联结词的复合命题真假判断、充分条件、必要条件的判断、全称与特称命题的否定等知识点为主,难度不大,全称命题与特称命题,是新课标教材的新增内容,是考查的重点.高考对本节考查的题型是选择题或填空题.有时在大题的条件或结论中出现,以本节知识作为工具,以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查,重点考查学生的推理能力.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式,在2018年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习, 高考备考中掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点,对典型的例题加强练习,不宜搞过深过难的题目,关于本专题的高考备考还需要注意以下几点:1.在命题类的题目中首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系;2.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念n-个等;4.充要条本身入手;3.要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少n个的否定为至多1件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论,而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件;5.注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”;6.注意理解逻辑联结词与集合的关系;7.正确区别命题的否定与否命题.命题及其关系,以及逻辑联结词, 全称量词与存在量词, 充要条件2016、2017年全国卷中都没考,估计2018年可能从中选一考查.预测2018年高考仍会以基本概念为考查对象,并且以本节知识作为工具,以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.题目以选择填空题为主,在总分中占5分,重点考查学生的推理能力.【2018年高考考点定位】高考对常用逻辑用语的考查有四种形式:一是考查四种命题的真假与转化,二是逻辑联结词、三是特称与全称命题的否定,四是充分条件和必要条件的判断.难度不大,以本节知识作为工具,以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.【考点1】四种命题【备考知识梳理】一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.二、四种命题三、四种命题之间的逆否关系四、四种命题之间的真假关系1、 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;2、 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.【规律方法技巧】1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际问题,理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程,关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以叙述为:(1)交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题。
注意:在写其他三种命题时,大前提必须放在前面。
2.正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思维方式,也是两种不同的解题方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样重要.3.命题真假的判断方法:判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.4. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假,再判断逆命题的真假,然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断,那就首先判断其逆否命题的真假.5. 否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.【考点针对训练】1.【安徽省安庆市第一中学2017届高三第三次模拟】“若()1,0,02a x f x ≥∀≥≥则都有成立”的逆否命题是( ) A. ()10,0,2x f x a ∃<<<有成立则 B. ()10,0,2x f x a ∃<≥<有成立则 C. ()10,0,2x f x a ∀≥<<有成立则 D. ()10,0,2x f x a ∃≥<<有成立则 【答案】D【解析】“若()1,0,02a x f x ≥∀≥≥则都有成立”的逆否命题是()10,0,2x f x a ∃≥<<有成立则,故选D.2. 【四川省南充高级中学2017届高三4月检测】下列有关命题的说法正确的是( )A. 命题“若0xy =,则0x =”的否命题为“若0xy =,则0x ≠”B. 命题“若cos cos x y =,则x y =”的逆否命题为真命题C. 命题“x R ∃∈,使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈,均有2210x -<”D. “若0x y +=,则x , y 互为相反数”的逆命题为真命题【答案】D【考点2】逻辑连接词【备考知识梳理】1.用联结词“且”联结命题p 和命题q ,记作p ∧q ,读作“p 且q ”.2.用联结词“或”联结命题p 和命题q ,记作p ∨q ,读作“p 或q ”.3.对一个命题p 全盘否定,就得到一个新命题,记作p ⌝,读作“非p ”或“p 的否定”.4.命题p ∧q ,p ∨q ,p ⌝的真假判断:p ∧q 中p 、q 有一假为假,p ∨q 有一真为真,p 与非p 必定是一真一假.【规律方法技巧】1.正确理解逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.2.正确区别命题的否定与否命题:“否命题”是对原命题“若p ,则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p ”,只是否定命题p 的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.3.含有逻辑连接词命题的真假判断步骤:(1)准确判断简单命题p 、q 的真假;(2)判断“p ∧q ”“p ∨q ”“⌝p ”命题的真假.4.含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p ∨q :p 、q 中有一个为真,则p ∨q 为真,即一真即真;(2)p ∧q :p 、q 中有一个为假,则p ∧q 为假,即一假即假;(3) ⌝p :与p 的真假相反,即一真一假,真假相反.【考点针对训练】1. 【2017福建三明5月质检】已知命题1:p 若sin 0x ≠,则1sin 2sin x x +≥恒成立; 2:0p x y +=的充要条件是1x y=-.则下列命题为真命题的是( ) A. 12p p ∧ B. 12p p ∨ C. ()12p p ∧⌝ D. ()12p p ⌝∨【答案】D【解析】sin 0<Q 时, 11sin 2,sin x p x+≤-∴ 为假, 1p ⌝ 为真;又0x y ==Q 时, 1x y ≠- ,而1x y=- 时,一定有20,x y p +=∴ 为假, 2p ⌝ 为真,据真值表可得()12p p ⌝∨ 为真,故选D. 2. 【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟】不等式组34y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩的解集记为D ,命题():,p x y D ∀∈,25x y +≥,命题():,q x y D ∃∈, 22x y -<,则下列命题为真命题的是( ) A. p ⌝ B. q C. ()p q ∨⌝ D. ()p q ⌝∨【答案】C【解析】D 为可行域,如图,其中()()2,2,3,1A B ,因为直线2z x y =+ 过点B 时取最小值5,所以命题p 为真;因为直线2z x y =- 过点A 时取最小值3,所以命题q 为假;因此()p q ∨⌝ 为真,选C.【考点3】全称命题与特称命题【备考知识梳理】1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.2.存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,P(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x0∈M,⌝p(x0)∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,⌝p(x)【规律方法技巧】1.全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.2.特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M 中,找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.3.全称与特称命题的否定需要注意:(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.(2)注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定.【考点针对训练】1. 【2017陕西师范附属二模】若命题:p 对任意的x R ∈,都有3210x x -+<,则p ⌝为( ).A 不存在x R ∈,使得3210x x -+< .B 存在x R ∈,使得3210x x -+<.C 对任意的x R ∈,都有3210x x -+≥ .D 存在x R ∈,使得3210x x -+≥【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的概念可知, D 选项正确.2. 【2017江西五调】已知命题p : ()1,x ∀∈+∞, 3168x x +>,则命题p 的否定为( )A. ()1,x ∀∈+∞, 3168x x +≤B. ()1,x ∀∈+∞, 3168x x +<C. ()1,x ∃∈+∞, 3168x x +≤D. ()1,x ∃∈+∞, 3168x x +<【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题,则命题p : ()1,x ∀∈+∞, 3168x x +>的否定为()1,x ∃∈+∞, 3168x x +≤ .本题选择C 选项.【考点4】充分条件与必要条件【备考知识梳理】1.如果p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.2.如果p ⇒q ,q ⇒p ,则p 是q 的充要条件.3.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性:若p 是q 的充分条件,则q 是p 的必要条件,即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”;(2)传递性:若p 是q 的充分(必要)条件,q 是r 的充分(必要)条件,则p 是r 的充分(必要)条件.【规律方法技巧】充要关系的几种判断方法1.定义法:若 ,p q q p ⇒≠> ,则p 是q 的充分而不必要条件;若,p q q p ≠>⇒ ,则p 是q 的必要而不充分条件;若,p q q p ⇒⇒,则p 是q 的充要条件; 若,p q q p ≠>≠> ,则p 是q 的既不充分也不必要条件。