第六章 排队论

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例-1 一售货员出售两种商品A和B，每日工作 8 小时。购买 每种商品的顾客到达过程为泊松分布，到达率分别为 A=8人/日， B=16人/日，试求：(1) 1小时内来到顾客 总数为 3 人的概率；(2) 三个顾客全是购买B类商品的 概率。 解：(1)总到达率为 A+ B=24人/日，1 小时=1/8 日，故
( 2 4 1 / 8 ) 3 2 41 / 8 P3 (1 / 8 ) e 0 .2 2 4 3!
(2) 3 个顾客全是购买 B 类商品的概率为
( 16 1 / 8 ) 3 1 6 1 / 8 PB 3 (1 / 8 ) P A 0 (1 / 8 ) e e 8 1 / 8 3! 0 . 0664
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6.3.2.1 最简单流（泊松流） --纯生过程 • (1) 泊松流形成条件
– 流的平稳性
对于任意的t≥0及Δt≥0，在时间区间(t,t+Δt)内有n 个顾客到达的概率只与Δt有关，与时间区间的起点t无 关。 当Δt充分小时，在(t,t+Δt)内有一个顾客到达的概率 与Δt成正比，即
P 1 (t , t t ) t o(t )
第六章 随机服务系统理论
排 队 论
Queuing Theory
确定型只是随机现象的特例
6.1 随机服务系统基础
• 系统的输入与输出是随机变量 • A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
算电话机键配臵的方法，为随机服务理论奠定了基础
• 又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion Theory) • 应用广泛 • 交通行业应用：交叉口/高速收费站/机场航班…
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6.1.1 基本要素
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达);
•排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务);
•服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
排队系统 顾客来源
顾客
队列
服务机构
服务完离开
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输入过程
• 顾客源 – 有限 – 无限 • 经常性的顾客来源 – 顾客到达间隔时间: 到下一个顾客到达的时间 – 服从某一概率分布（确定型/随机型） • 顾客的行为假定 – 在未服务之前不会离开 – 当看到队列很长的时候离开 – 从一个队列移到另一个队列
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排队服务规则
– 队列容量
• 有限/无限
– 排队规则 • 损失制 • 等待制：先到先服务(FCFS)，后到先服务(LCFS)， 随机服务(RS)，优先权服务(PS) • 混合制 • 逐个到达，成批服务；成批到达，逐个服务
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服务机构的组织方式与服务方式
– – – – 单通道和多通道 并联服务 串联服务 串并联服务
dt t / m
P 1 (t , t dt ) dt o(dt )
P 0 (t , t dt ) 1 dt o(dt )
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到 达可以看成是m次独立的试验
在长为 Δt 的时间区间内，到达n个顾客的概率
Pn (t )
(扩充的Kendall 符号)-- Kendall’s notation 常用符号 • M—泊松分布（负指数分布） • Ek—k阶爱尔朗分布 • D—确定型分布 • G—一般分布
• M/M/1/K/∞/FCFS—顾客到达服从泊松分布，顾客的服务时 间服从负指数分布，单通道，系统容量有限（K）而顾客源 无限，先到先服务的排队系统
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(1) 在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i+1的概率为 λiΔt+O(Δt)——平稳性条件
Δt内有一个顾客到达的概率
(2) 在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i-1的概率为
• 服务时间和到达间隔时间服从什么分布？可以先通过统计 得到经验分布，然后再做理论假设和检验 • 经验分布一般采用直方图来表示，如下图
频率%
–Frequency Distribution
30 20 10 2 4 6 8
到达间隔时间
（分钟）
• 若统计区间分得越细，样本越多，则经验分布的轮廓越接 近曲线
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P (h t ) e
负指数分布
t
(t ) n t Pn (t ) e n ！ 泊松分布
顾客到达时间间隔大于 单位时间Δt的概率
在单位时间Δt内，到达 n个顾客的概率
P (h t ) 1 e
t
λ —顾客的平均到达率
顾客到达时间间隔小于 单位时间Δt的概率
n m n m n
m(m 1)(m 2) (m n 1) t lim m n! m
n
t 1 m
m n
(t )n m m 1 m n 1 t lim 1 m n ！ m m m m
其中，O(Δt)是当Δt →0时，关于Δt高阶无穷小； λ为单位时间内的顾客到达平均数。
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– 流的无后效性
• 在时间轴上，互不相交的时间区段 t1, t2
和 t3 , t4 (t1 t2 t3 t4 ) 内，顾客的到达数是相互独立的， 即前一顾客的到达不影响后一顾客的到达。
在m个dt中，有n个dt被顾客“占着”的概率
利用二项定律
t t Pn (t ) Pm (n) C 1 m m
n mΒιβλιοθήκη Baidun mn
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dt0，m
t t Pn (t ) lim C 1 m m m
证 : 令 h 代表服务时间 , t0 代 表 服 务 已 过 去 的 时 间 , 则服务剩余时间为 h t0 , 它 的 分 布 函 数 为 P t 0 h t t 0 P h t t 0 P h t 0 P h t 0 P h t 0 1 e ( t t 0 ) (1 e t 0 ) 1 (1 e
故间隔时间 h 的分布为 P{ h △t}=1e△t
F (t ) 1 e t f (t ) e
t

F(t) f(t) 0 t
20
h

0
t e
t
dt 1 /
（2）负指数分布的特点
• 负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学 分析变得方便 • 无记忆性。指的是不管一次服务已经过去了多长时间，该 次服务所剩的服务时间仍服从原负指数分布
6.4.1 定义
N(t)表示时刻t系统中的顾客数。 ｛ N(t) ，t≥0｝为一随机过程。
• 研究系统内部状态变化的过程
状态i-1
一个事件
系统状态i
状态i+1
一个事件
在Δt时刻内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt) Δt→0， O(Δt) →0
系统具有0,1,2,……个状态。在任何时刻，若系统处于状 态i，并且系统状态随时间变化的过程满足以下条件，称 为一个生灭过程：
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与服务系统性能相关的特性
• 服务系统存在来自两个矛盾方面的要求
– 顾客希望服务质量好，如排队等待时间短，损失率低 – 系统运营方希望设备利用率高
• 给用户一个经济上能够承受的满意的质量 • 哪些系统特性会影响系统的性能？
– 服务机构的组织方式与服务方式 – 顾客的输入过程和服务时间分布
– 系统采用的服务规则
1 1 顾客到达
顾客到达

2

3
顾客离开
顾客到达
顾客离开

2 3
顾客离开
顾客离开
顾客到达 顾客到达
1 2 3
顾客离开 顾客离开 顾客离开
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银行服务-叫号系统
机场安全检查通道
6.1.2 符号表示
顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数目/
排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/排队规则
t0
P h t0 t h t0 P h t t0 h t0



)
1 e t
Q.E.D
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6.3.3 小结
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客单 位时间内的到达数服从泊松分布。 • 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客到 达的时间间隔服从负指数分布。 • 从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一个 过程的不同表现形式。 • 可适用于服务时间分布
m n
(t ) t lim 1 m n ！ m
n
m
(t ) t e n ！
n
(t ) n t Pn (t ) e n！ 17
• (3) 泊松分布
符合最简单流（泊松流）的随机事件发生规律
(t ) t Pn (t ) e n！
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6.3.2 输入过程（顾客到达分布）
• 可用相继到达顾客的间隔时间描述，也可以用单位时间内到达 的顾客数描述
– 间隔时间服从定长分布（Deterministic Distribution）
– 间隔时间服从爱尔朗分布（Erlang distribution ） – 二项分布（binomial distribution ） – 单位时间 t （或时间区间△t）内到达的顾客数服从泊松分 布(法国数学家Poisson, 1836)—最简单流（泊松流） （Poisson Distribution） – 负指数分布（Negative Exponential Distribution）
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6.1.3 排队系统营运指标
队长：系统中的顾客数量的期望值 排队长：系统中正在等待的顾客数量期望值 逗留时间：顾客在排队系统中的总时间（等待时间与被
服务时间之和）的期望值
排队时间：顾客的排队等待时间的期望值
忙期：服务机构连续繁忙的时间长度
服务强度：顾客到达率的期望值与服务率的期望值之比
n
单位时间△t 内有n个顾客到达的概率
λ —顾客的平均到达率
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（4） 泊松输入过程及其特点
1) 平稳性：顾客到达数只与时间区间长度有关 2) 无后效性：不相交的时间区间内所到达的顾客数是独立的 3) 普遍性：在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )， 到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可 能同时到达 • 泊松过程具有可迭加性 – 即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布
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6.3.2.2 负指数分布
（1）推导
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布 – 令 h 代表间隔时间，则概率 P{h > t}代表时间区间 △t 内没有顾客来的概率；由泊松分布
(t ) n t Pn (t ) e n ！
n=0
可知： P0(h >△t)= P{h >△t}=e△t
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例-2
某铁路与公路相交的平面交叉口，当火车通过 交叉口时，横木护栏挡住汽车通行。每次火车 通过时，平均封锁公路3min，公路上平均每分 钟有4辆汽车到达交叉口。求火车通过交叉口 时，汽车排队长度超过100m的概率（即排队 汽车超过12辆的概率）。
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Homework
P186
2
26
6.4 生灭过程（Birth and Death Processes）
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6.2 顾客到达分布和服务时间分布
6.2.1 概述
• 顾客的服务时间由于多种原因具有不确定性，最好的描述 方法就是概率分布；同样顾客到达的间隔时间也服从一定 的概率分布
1 2 3 顾客 到达时刻
开始 服务时刻 服务 终结时刻 w2 h1
1 2
3
4
4
w3 h2 h3 空 h4
t 4
1
2 3
– 流的普遍性
• 当t 充分小时，在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )，到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t )； 即两个顾客不可能同时到达
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• (2) 泊松流详解
在长为Δt 的时间区间内，到达 n个顾客的概率 P (t )
n
• 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为 。若在dt内，有一个顾客到达，则称被 “占着”，如果在dt内，没有顾客到达，则称为“空着”。 被“占着”的概率近似为 被“空着”的概率近似