利用空间向量解决立体几何的向量方法—解决空间角的问题

B1 M
A
AD (0,8, 0), A1D (0,8, 4),
25
cos AD, A1D 5
AD与平面ANM 所成角的正弦值是
xB
25
5
D1 C1
Dy
C
题型二：线面角
练习1：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C 所成的角.
A1
B1
D1 C1
A
D
B
C
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
n1
O
n2 n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
题型三：二面角 例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA 2
所成二面角的余弦值.
z
S
B
C
A
x
Dy
例三 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 求面SCD与面SBA
2z
所成二面角的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S(0, 0,1)
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos |cos CD, AB |
题型一：线线角
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例一：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
利用向量解决 空间角问题
求空间角与距离是立体几何的一类重要 的问题，也是高考的热点之一。本节课主要 是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。
1.若a (a1, a2, a3)，b (b1,b2,b3),则：
数量积： a b | a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3
AP =(0,0,1), AB (
2,1, 0), CB (
2,
0,
x
0),
CP
(0,
1,1)
,
设平面
PAB
的法向量为
m
=(x,y,z),则
m
AP
0
∴
( x, y, z) (0, 0,1) 0
∴
y
2
x
,令
m AB 0 x=1,则 m =(1,
2,0) ,
( x, y, z) ( 2,1, 0) 0 z 0
夹角公式：cos a b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2 )，则：
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是
6 3
练习2:
如图,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
练习2: 如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
By
A
x BD1
(1 2
,
1 2
,1)
cos
AF1,
BD1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
1 1 4
53
30 10
42
所以 BD与1 A所F成1 角的余弦值为
30 10
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
思考：
B O
n, BA 与的关系？
结论： sin | cos n, AB |
设平面
PBC
的法向量为 n
( x,
y, z)
,
则
n
CB
0
( (
x, x,
y, y,
z) z)
( 2,0,0) 0 (0, 1,1) 0
∴
x y
0 z
令
y
n
1,
CP
n
0
(0, 1,
1)
∴cosm,n m n
3
,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为
3
| m || n | 3
B
C
易知面SBA的法向量n1
2
AD
(0,
1
, 0)
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
xA D y
2
2
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
x
y 2
0
y 2
z
0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量
表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题
转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位 置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意
3
小结：
1.异面直线所成角：
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin |cos n, AB |
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
C
D
A D1
B
A
n
B O
n2 n1
当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空 间向量(或坐标)来处理(三步曲):
义. （回到图形）
谢谢观赏！
题型二：线面角
例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . （2）求AD与平面ANM 所成的角.
z
A1
N
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4), D(0,8, 0),
分析:
z
若用几何法本题不太好处
理,注意到适当建立空间直角坐
y
标系后各点坐标容易处理,可考
虑尝试用向量法处理,从而把问 x
题转化为向量运算问题.
.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=z1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解:建立坐标系如图,
y
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
求BD1与AF1所成的角的余弦值.F1C1
B1
A1
D1 C
B
A
题型一：线线角
解 所：示A以，(1点 设, 0C, 0为),坐B则C(标0C：,原11,0点)1,建立空间直角坐F标1C系1 zC
x如yz图
B1
F1
(
1 2
,
0,
a),
D1
(
1 2
,
1 2
,1)
所以：
AF1
(
1 2
, 0,1),
A1
D1 C