用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt课件(自制)
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97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨 我的人 .以及 对我冷 漠的人 。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨 慎；对 我冷漠 的人教 我自立 。――[J·E·丁 格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明 的人是 考虑现 在和未 来，根 本无暇 去想过 去的事 。――[英国哲 学家培 根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找 全新的 景色， 也为了 拥有全 新的眼 光。― ―[马塞 尔·普 劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物 ，然而 能看到 这些美 好事物 的人， 事实上 是少之 又少。 ――[罗 丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对 人的理 智也发 生巨大 的作用 ，在这 种令人 愉快的 影响之 下，我 觉得更 加聪明 了，各 种想法 ，以异 常的速 度接连 涌入我 的脑际 。――[托尔斯 泰] 102.人生过程的景观一直在变化， 向前跨 进，就 看到与 初始不 同的景 观，再 上前去 ，又是 另一番 新的气 候―― 。[叔本 华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如 果一个 人和他 的同伴 保持不 一样的 速度， 或许他 耳中听 到的是 不同的 旋律， 让他随 他所听 到的旋 律走， 无论快 慢或远 近。― ―[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间， 而我们 应该最 担心的 也是时 间；因 为没有 时间的 话，我 们在世 界上什 么也不 能做。 ――[威 廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己 的寿命 。我们 往往只 憧憬地 平线那 端的神 奇【违 禁词， 被屏蔽 】，而 忘了去 欣赏今 天窗外 正在盛 开的玫 瑰花。 ――[戴 尔·卡内 基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎 时躺在 树底下 的草地 ，听着 潺潺的 水声， 看着飘 过的白 云，亦 非浪费 时间。 ――[约 翰·罗伯 克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我 们是因 放弃我 们的理 想而衰 老。年 龄会使 皮肤老 化，而 放弃热 情却会 使灵魂 老化。 ――[撒 母耳·厄 尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认 最快乐 的人实 际上就 是最快 乐的， 但自认 为最明 智的人 一般而 言却是 最愚蠢 的。― ―[卡雷 贝·C·科 尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的 潜在能 力。无 论是谁 ，在千 钧一发 之际， 往往能 轻易解 决从前 认为极 不可能 解决的 事。― ―[戴尔·卡内基 ] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你 的气息 ，感觉 它，感 觉你自 己，并 且试着 什么都 不想。 ――[艾 瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一 辈子工 夫，在 公司或 任何领 域里往 上攀爬 ，却在 抵达最 高处的 同时， 发现自 己爬错 了墙头 。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现 在规模 很大的 事情不 可；生 活中微 小之处 ，照样 可以伟 大。― ―[布鲁 克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你 想要的 ；然后 是享受 你所获 得的。 只有最 明智的 人类做 到第二 点。― ―[罗根·皮沙尔 ·史密 斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才 是真正 的生活 方式。 对任何 事既不 抱希望 ，也不 肯学习 的人， 没有生 存的资 格。
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、
D1 G H
G、H分别是A1B1、 A1
E
B1C1、C1D1、D1A1的
中点. 求证：
D
平面AEH∥平面BDGF
F C1 B1
C
A
B
AD∥GF，AD=GF
平行四边形ADGE AE∥DG
又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF
略证：建立如图所示的
z DLeabharlann Baidu G
空间直角坐标系o-xyz F
则求得平面AEF的法向 A1
E
量为 n(2,2,1)
求得平面BDGH的法向
oD
量为 m (2,2 ,1 ) x A
显然有 mn
故 平面AEH∥平面BDGF
H C1 B1
y C B
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何 的问题，是近年来很“时髦”的话题，其 原因是它把有关的“证明”转化为“程序 化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何 中的证明“线面平行”的一些例子，结合 我们以前讲述立体几何的其他问题(如：证 明垂直、求角、求距离等)，大家从中可以 进一步看出基中一些解题的“套路”。
即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？
通过本例的练习，同学们要进一步
掌握平面法向量的求法：即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0，利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
利用向量解题 的关键是建立适当的 空间直角坐标系及写出有关点的坐标。
作业： 1.在正方体ABCD-
D1 E
A1B1C1D1中,E、F A1
分别是A1D1 、 BB1
的中点，问:在边
CC1上是否存在一
D
点P，使AC∥平面 A
EFP？若存在，求
出P的位置；若不
存在，请说明理由。
C1 B1
P
F
C
B
2.在四棱锥P-ABCD中，
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
例3.在正方体ABCD-
D1
A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1
A1
平行四边形A1BCD1
D
A1B∥D1C
A
平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
于是平面A1BD∥平面CB1D1
C1 B1
C B
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz
故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1
MN∥平面AC
证明：建立如图
z
所示的空间直角
D1
设坐正标方系形o-x边yz长为2，A1 P
C1 B1
又则设P(A21，P=2Bx，Q=22)、x
Q(2-2x，2，0)
故N(2-x, 1+x, 1),
而M(2, 1, 1)
A x
MN
o D
Cy Q
B
所向以量向为量nM(0N, 0,(1-x)，, x,∴0)M ，又•N平n面0A∴CM 的N 法n
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
94.对一个适度工作的人而言，快乐 来自于 工作， 有如花 朵结果 前拥有 彩色的 花瓣。 ――[约 翰·拉 斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没 有比时 间更珍 贵的了 ，因为 没有时 间我们 几乎无 法做任 何事。 ――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自 认正在 为一个 伟大目 标运用 自己； 而不是 源于独 自发光.自私渺 小的忧 烦躯壳 ，只知 抱怨世 界无法 带给你 快乐。 ――[萧伯纳]
E x
G F
故量G(为H 1-nG 22(a1(0,,112-,20)2a2,,0a,,故0),22Ha)G ,而n,平而面H C平BE面的C法BE向
故 HG∥平面CBE
例2.在正方体
D1 C1
ABCD-A1B1C1D1中，A1 P、Q分别是A1B1和
P
B1
BC上的动点，且
A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的
88.每个意念都是一场祈祷。――[詹 姆士·雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而 一切恶 行都围 绕虚荣 心而生 ，都不 过是满 足虚荣 心的手 段。― ―[柏格 森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变 成某种 定型的 化石， 我们的 心灵正 在失去 自由， 成为平 静而没 有激情 的时间 之流的 奴隶。 ――[托 尔斯泰 ]
中点. 求证：
A
MN∥平面AC.
MN
D
C Q
RB
M是中点，N是中点 MN∥RQ
MN∥平面AC
作PP1⊥AB于P1，
D1
C1
作连结MMQP1 ⊥1，AB于M1，A1 P
B1
作NN1⊥ QP1于N1，
连结M1N1
MN
NN1∥PP1 MM1∥AA1
D
N1
Q
C
A
P1 M1
B
又NN1、MM1均等于边长的一半
91.要及时把握梦想，因为梦想一死 ，生命 就如一 只羽翼 受创的 小鸟， 无法飞 翔。― ―[兰斯 顿·休 斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而 较不像 跳舞的 艺术； 最重要 的是： 站稳脚 步，为 无法预 见的攻 击做准 备。― ―[玛科 斯·奥 雷利阿 斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还 有些使 人烦恼.怀疑.感到压 迫的事 。请你 看看蔚 蓝的天 空和闪 烁的星 星吧!你的心将 会平静 下来。[约翰·纳森·爱 德瓦兹]
用空间向量证(解)立体几何题之 (五) -----证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题 是现阶段的热门话题 。它可以把一 些复杂的证明或计算题用“程序 化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)和证明垂直(包括线线 垂直、线面垂直和面面垂直)。
z D1
C1
设正方形边长为1， A1
B1
则向量 DA1(1,0,1)
DB(1,1,0)
oD
设量平为面n BD(x A,1y 的,z法)则向有
A x
y C B
x+z=0
x=1
令x=1,则得方程组的解为 y=-1
x+y=0 故平面BDA1的法向量为
z=-1
n (1 , 1 , 1 )
同理可得平面CB1D1的法向量为m ( 1 ,1 ,1 ) 则显然有 nm
底ABCD是正方形，
P
且PA=PB=PC=
M
PD=AB=BC= CD
=DA, M、N分别
是PA、BD上的
动点，
A
D
且NB
C
PM:MA=BN:ND。问：
直线MN与平面PBC有什
么关系？请证明你的结论.
再见
人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
MH∥NG CH:CA=BG:BF
C
PH∥CB,PG∥BE 平面HPG∥平面CBE HG∥平面CBE
B
E
D
H
PA G
F
证明：由已知得：AB、 BC、BE两两垂直，故
C
z
D
可建立如图所示的空
间直角坐标系o-xyz.
H
设正方形边长为1,
AH=FG=a, 则
oB
y A
H(0,1-
2 2
a,
2 a)、
2
用空间向量证明“平行”，
包括线面平行和面面平行。
→m
↑n
n•m 0
m ↑
↑n
nm
例1.如图：ABCD与 C
D
ABEF是正方形，
CB⊥平面ABEF，H、
H
G分别是AC、BF上
M
的点，且AH=GF.
B
A
求证：
N E
HG∥平面CBE.
G F
MH∥AB,NG ∥AB AH=FG CH=BG MH=NG
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、
D1 G H
G、H分别是A1B1、 A1
E
B1C1、C1D1、D1A1的
中点. 求证：
D
平面AEH∥平面BDGF
F C1 B1
C
A
B
AD∥GF，AD=GF
平行四边形ADGE AE∥DG
又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF
略证：建立如图所示的
z DLeabharlann Baidu G
空间直角坐标系o-xyz F
则求得平面AEF的法向 A1
E
量为 n(2,2,1)
求得平面BDGH的法向
oD
量为 m (2,2 ,1 ) x A
显然有 mn
故 平面AEH∥平面BDGF
H C1 B1
y C B
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何 的问题，是近年来很“时髦”的话题，其 原因是它把有关的“证明”转化为“程序 化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何 中的证明“线面平行”的一些例子，结合 我们以前讲述立体几何的其他问题(如：证 明垂直、求角、求距离等)，大家从中可以 进一步看出基中一些解题的“套路”。
即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？
通过本例的练习，同学们要进一步
掌握平面法向量的求法：即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0，利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
利用向量解题 的关键是建立适当的 空间直角坐标系及写出有关点的坐标。
作业： 1.在正方体ABCD-
D1 E
A1B1C1D1中,E、F A1
分别是A1D1 、 BB1
的中点，问:在边
CC1上是否存在一
D
点P，使AC∥平面 A
EFP？若存在，求
出P的位置；若不
存在，请说明理由。
C1 B1
P
F
C
B
2.在四棱锥P-ABCD中，
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
例3.在正方体ABCD-
D1
A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1
A1
平行四边形A1BCD1
D
A1B∥D1C
A
平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
于是平面A1BD∥平面CB1D1
C1 B1
C B
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz
故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1
MN∥平面AC
证明：建立如图
z
所示的空间直角
D1
设坐正标方系形o-x边yz长为2，A1 P
C1 B1
又则设P(A21，P=2Bx，Q=22)、x
Q(2-2x，2，0)
故N(2-x, 1+x, 1),
而M(2, 1, 1)
A x
MN
o D
Cy Q
B
所向以量向为量nM(0N, 0,(1-x)，, x,∴0)M ，又•N平n面0A∴CM 的N 法n
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
94.对一个适度工作的人而言，快乐 来自于 工作， 有如花 朵结果 前拥有 彩色的 花瓣。 ――[约 翰·拉 斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没 有比时 间更珍 贵的了 ，因为 没有时 间我们 几乎无 法做任 何事。 ――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自 认正在 为一个 伟大目 标运用 自己； 而不是 源于独 自发光.自私渺 小的忧 烦躯壳 ，只知 抱怨世 界无法 带给你 快乐。 ――[萧伯纳]
E x
G F
故量G(为H 1-nG 22(a1(0,,112-,20)2a2,,0a,,故0),22Ha)G ,而n,平而面H C平BE面的C法BE向
故 HG∥平面CBE
例2.在正方体
D1 C1
ABCD-A1B1C1D1中，A1 P、Q分别是A1B1和
P
B1
BC上的动点，且
A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的
88.每个意念都是一场祈祷。――[詹 姆士·雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而 一切恶 行都围 绕虚荣 心而生 ，都不 过是满 足虚荣 心的手 段。― ―[柏格 森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变 成某种 定型的 化石， 我们的 心灵正 在失去 自由， 成为平 静而没 有激情 的时间 之流的 奴隶。 ――[托 尔斯泰 ]
中点. 求证：
A
MN∥平面AC.
MN
D
C Q
RB
M是中点，N是中点 MN∥RQ
MN∥平面AC
作PP1⊥AB于P1，
D1
C1
作连结MMQP1 ⊥1，AB于M1，A1 P
B1
作NN1⊥ QP1于N1，
连结M1N1
MN
NN1∥PP1 MM1∥AA1
D
N1
Q
C
A
P1 M1
B
又NN1、MM1均等于边长的一半
91.要及时把握梦想，因为梦想一死 ，生命 就如一 只羽翼 受创的 小鸟， 无法飞 翔。― ―[兰斯 顿·休 斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而 较不像 跳舞的 艺术； 最重要 的是： 站稳脚 步，为 无法预 见的攻 击做准 备。― ―[玛科 斯·奥 雷利阿 斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还 有些使 人烦恼.怀疑.感到压 迫的事 。请你 看看蔚 蓝的天 空和闪 烁的星 星吧!你的心将 会平静 下来。[约翰·纳森·爱 德瓦兹]
用空间向量证(解)立体几何题之 (五) -----证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题 是现阶段的热门话题 。它可以把一 些复杂的证明或计算题用“程序 化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)和证明垂直(包括线线 垂直、线面垂直和面面垂直)。
z D1
C1
设正方形边长为1， A1
B1
则向量 DA1(1,0,1)
DB(1,1,0)
oD
设量平为面n BD(x A,1y 的,z法)则向有
A x
y C B
x+z=0
x=1
令x=1,则得方程组的解为 y=-1
x+y=0 故平面BDA1的法向量为
z=-1
n (1 , 1 , 1 )
同理可得平面CB1D1的法向量为m ( 1 ,1 ,1 ) 则显然有 nm
底ABCD是正方形，
P
且PA=PB=PC=
M
PD=AB=BC= CD
=DA, M、N分别
是PA、BD上的
动点，
A
D
且NB
C
PM:MA=BN:ND。问：
直线MN与平面PBC有什
么关系？请证明你的结论.
再见
人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
MH∥NG CH:CA=BG:BF
C
PH∥CB,PG∥BE 平面HPG∥平面CBE HG∥平面CBE
B
E
D
H
PA G
F
证明：由已知得：AB、 BC、BE两两垂直，故
C
z
D
可建立如图所示的空
间直角坐标系o-xyz.
H
设正方形边长为1,
AH=FG=a, 则
oB
y A
H(0,1-
2 2
a,
2 a)、
2
用空间向量证明“平行”，
包括线面平行和面面平行。
→m
↑n
n•m 0
m ↑
↑n
nm
例1.如图：ABCD与 C
D
ABEF是正方形，
CB⊥平面ABEF，H、
H
G分别是AC、BF上
M
的点，且AH=GF.
B
A
求证：
N E
HG∥平面CBE.
G F
MH∥AB,NG ∥AB AH=FG CH=BG MH=NG