等腰三角形及其性质

备注：
①三角形的内心、重心都在三角形的内部.
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）。
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
黄金三角形
1.名称定义
所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值。对应的还有黄金矩形等。
设小三角形的底为a，则腰为b=（√5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍，则大三角形的边长
为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5 *（√5+1)a/2=（√5+5)a/2。
大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：B=2a+b。
而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
等腰三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形的腰与它的高的关系
直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
3判定的方式
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定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
>>，共3卷288问，写于公元1303年。在「玉鉴」中的四元术是天、地、人、物表示在单一的方程式中的四个未知数。<<算学启蒙>>曾流传到朝鲜、日本等国，在中国一度失传，直到1839年得到朝鲜翻刻本，才再重新翻印流传。朱世杰的著作深深地影响着亚洲数学的发展。<<四元玉鉴>>为中国代数发展达致巅峰。书中主要论及处理齐次方程组、巴斯卡三角形，以及解高次方程(如14次方程)。朱世杰要贡献。解14次方程式的方法就是现在所周知的霍纳(Horner)方法(用19世纪的数学家霍纳之名)。虽然朱世杰似乎是第一个发表巴斯卡三角形和霍纳方法的数学家，但是他的名字并没有和他的发现齐名，但这并无损朱世杰在数学上所做出的重
把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。
根据定义，第一种黄金三角形是腰与底的比值为（√5+1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
事实上，勾为a，股为b=2a的<a>；直角三角形可以满足命题要求。
显然，弦c=√a2+b2 =√5 a。
三角形的对应边：
A=√5 a=c，
B=2A=2c，
C=√5 *（√5a)=5a=2b+a。
满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。
顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°，它的腰与它的底成黄金比。当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形。这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线。
黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。
显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。
有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。
4特殊的等腰三角形
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等腰直角三角形
1、定义
有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。显然，它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。
2、关系
等腰直角三角形的边角之间的关系：
⑵三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
⑶三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
⑷三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。
⑸三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
（6）三角形斜边上的高等于斜边的一半。
5三角形的发明人
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巴斯卡三角形是一个包含了发生在代数、几何、和自然界中数字模式之有名的算术三角形。它虽然冠以法国数学家，巴斯卡(Blaise Pascal,1623~1662)之名。然而，这个冠以巴斯卡之名的三角形，早在巴斯卡出生之前
500多年就被发现了。在公元1303年，中国数学家朱世杰在他的一本叫做「四元玉鉴」一书的序中发表了这个有名的三角形。上图所示是这个三角形最初出现的原始风貌。朱世杰甚至没有宣扬发现了这个三角形的荣耀。他用古法来描述它是用来找寻二项式系数。大约在朱世杰之前两个世纪，中国数学家已经知道这个可用来计算出二项式系数的三角形的模式。朱世杰是中国数学黄金时代(宋元时期)最后的且是最伟大的数学家。史家总是描述他是所有时期伟大的数学家之一。然而，朱世杰的生平少有人知，就连他生日和祭日的确切资料也没人知道。他住在现今北平附近的燕山。他曾”以数学名家周游湖海二十余年，四方之来学者日众”，说明他以数学研究和数学教学为业游学四方。他的两本最重要的数学著作是<<算学启蒙>>，共3卷259问，成书于公元1299年，是一部当时较好的教科书；而<
等边三角形
定义
所谓的等边三角形，是三边都相等的等腰三角形。
2.性质
⑴每个角都为60°，三角形三内角和等于180°。
⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
⑶三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑷三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑸在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
⑴三角形三内角和等于180°。
⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
⑶三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑷三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑸在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。
3.四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
⑴三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。
等腰三角形的定义
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有两边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的两
等腰三角形
条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2等腰三角形的性质
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1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
2ab<A<b+a
可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充。故命题错。
另外一种黄金三角形是腰与底的比值为（√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。
设小三角形的底为a，则腰为b=（√5-1)a/2。
同样可以证明：
A=2b+a
2b<B<3b
a<B<b+a
可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充（图2）。故命题错。
2.黄金三角形的分类
黄金三角形分两种：
一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：（√5-1)/2。
另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：（√5-1)/2。
3.黄金三角形的特征