切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)知识分享

切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)
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设随机变量X 有数学期望μ及方差2σ，则对任何正数ε，下列不等式成立
{}2
2()P X E X σεε
-≥≤
证明：设X 是离散型随机变量，则事件()X E X ε-≥表示随机变量X 取得一切满足不等式()i x E X ε-≥的可能值i x 。

设i p 表示事件i X x =的概率，按概率加法定理得
{}()()i i x E X P X E X p ε
ε-≥-≥=
∑
这里和式是对一切满足不等式()i x E X ε-≥的i x 求和。

由于()i x E X ε-≥，即
()
2
2()i x E X ε-≥，所以有()2
2
()1i
x E X ε
-≥。

又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以()2
2
()i
x E X ε-，则和式的值
将增大。

于是得到
{}()
()
2
2
2
2
()()()()1
()()i i i i i i i
i
x E X x E X x E X x E X P X E X p p x E X p ε
ε
εεε
ε
-≥-≥-≥
--≥=
≤
=
-∑
∑
∑因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量X 的一切可能值i x 求和，则只能增大和式的值。

因此
{}()2
21
()()i
i i
P X E X x E X p εε
-≥≤
-∑
上式和式是对X 的一切可能值i x 求和，也就是方差的表达式。

所以，
{}2
2()P X E X σεε
-≥≤。