边界元方法简介

边界元方法简介

早在1905年，Fredholm就对积分方程的分类作了研究，并首先将其应用于弹性力学问题.随后，许多人对积分方程的性质作了严格的数学探讨，但是到2 0 世纪4 0年代末，积分方程求解边值问题的研究仍只能处理一些特殊的问题如第一边值问题。在2 0世纪6 0年代，一些学者对积分方程尤其是奇异积分方程的理论作了更为深入的研究，从而为进一步应用边界元法开辟了道路。后来，高速大型计算机的出现及其硬件的迅猛发展使离散求解积分方程成为可能，但当时由于有限元法的出现并迅速发展，加上其广泛的适应能力，使人们的注意力大部分集中在它的身上。随着有限元法逐渐成熟，其缺点也显现出来，人们开始寻找一种能够弥补其不足的新方法，目光又转向了边界元法，并逐步将有限元法中发展起来的一些离散技巧运用于边界积分方程，从而使边界元法脱颖而出，成为工程分析中的一种新的有效工具。虽然边界元方法的研究引起人们注意的时间并不长，但是它的理论基础即积分方程的研究却可以追溯到 1 9 世纪初，当时仅从理论上对各类问题推导出解的积分方程，并没有涉及到数值计算。例如在1929年，Kellogg 利用Fredholm积分方程解决了位势问题，Fredholm积分方程是由以单层位势和双层位势为代表的调和位势发展而来的，并且由它又进一步发展成为所谓的间接边界元方法。2 0世纪5 0年代，前苏联的米赫林和穆什海里什维里的工作为积分方程在工程上的应用开辟了道路。6 0年代初，积分方程作为数值计算方法开始应用于实际问题，并逐步发展成为各种边界元方法。虽然各种边界元方法都有一个共同的出发点，但是它们也可以分成下列互不相同又彼此紧密联系的三大类:

第一类为边界元方法的直接表达式。在此类表达式中，积分方程内出现的未知元是真实的物理变量。正因为如此比如弹性问题中，

解这种积分方程就可直接得出系统边界上的全部张力和位移，而物体内部的张力和位移则可通过数值积分由边界值推算出来。直接边界元方法最早是由Jaswon 和Symm在1963 年提出的，后来Jaswon 和Ponter又作了进一步的工作。在 1967年， Rizzo推导出了用于弹性静力学问题的直接边界元方法公式。1968年Cruse和Rizz。又将此公式推广到弹性动力学理论。1974年cruse又研究了三维问题的边界元方法。至此就发展了比较完整的直接边界元方法理论。当然在这一过程中还有很多学者作出了贡献，比如shaw、Lachat和从 watson等.

第二类为边界元方法的半直接表达式。这种方法是采用类似于弹性力学中的应力函数或流体力学中的流函数等未知函数，写出用它表示的积分方程表达式。在求出用这类函数表示的解之后，只要作适当求导便可算出内部应力分布等。这类近似方法统称为半直接法，是由Henry、 Jaswon、Ponter 、Rim和symm等人提出来的。

第三类为边界元方法的间接表达式。在间接表达式中，积分方程完全用微分方程的单位奇异解表示，这些奇异解对应的奇点是以特定强度分布在感兴趣的边界上 ( 比如，单位奇异解可以是微分方程的“自由空间格林函数”，这就说明边界元法跟通常所说的格林函数法也是密切相关的) 。奇点密度函数本身并无具体的物理含义，但一旦从积分方程数值解求出密度函数，则只要作一些积分计算就可以得到物体内任意一点处解参数的值。1967年Hess 和Smith 采用间接边界元方法研究了椭圆型偏微分方程边值问题的计算方法。 1969年Hamngton 等人利用间接边界元方法求解了电磁问题中的罗宾逊边界条件的问题。他们的理论为间接边界元的发展起了十分重要的作用。后来Butterfield 、Hess 、Massonnet 、oliviera 和Tomlin 等人又进一步发展并完善了这种方法