2006年考研数学三真题及解析

2006年考研数学(三)真题

、填空题：1 — 6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上

(2)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f '(x ) = e f (x ), f(2)=1，则f "'(2)= _____________

1 f(u)可微且「(0)=?,则Z = f (4x

2 -y 2 )在点(1,2)处的全微分dz (4)设矩阵A = '2 1 , E 为2阶单位矩阵，矩阵 B 满足BA=B + 2E ，贝U B =

厂 1 2丿

勺 (5)设随机变量X 与丫相互独立，且均服从区间 b,3 ］上的均匀分布，则 p{max (X,Y}兰1 = ________

1 I

(6) 设总体X 的概率密度为f x e*：::x ，川，X n 为总体X 的简单随机样本，其

样本方差为S 2，则ES 2 = ___________ .

二、选择题：7— 14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的

字母填在题后的括号内

. (7) 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f (x) • 0, f (x) • 0 ,

为自变量x 在点x 0处的增量， 逍与dy

分别为f (x)在点X 。处对应的增量与微分，若 x ・0,则

(8)设函数f x 在x = 0处连续，且lim 1^=1，则 t h 2

(1) lim

(3)设函数 ,2

(A)

0 :: dy ： -y . (B) 0 ： y < dy . (C) y ■■■ dy < 0 .

(D) dy ：： y ：： 0

(A) f 0 =0且仁0存在

(B) f 0 =1且f_ 0 存在 (C) f 0 =0且f 0存在

(D) f 0 二 1且f 0 存在 []

Q0 (9)若级数a a n 收敛，则级数

n =1

Q Q

(B )(-1)n a n

收敛. n 4 □0

(C)、a n a ni 收敛.

n 吕

(10)设非齐次线性微分方程 y P(x)y =Q(x)有两个不同的解y 1(x), y 2 (x), C 为任意常数，则该方程的 通解是

(A) C 〔y i (x) - y 2(x)〔

(B) y i (x) C M(x)-y 2(x) L (11)设f (x, y)与(x, y)均为可微函数，且\ (x, yh-0 ,已知(x o , y o )是f (x, y)在约束条件(x, y^0 下的一个极值点，下列

选项正确的是

(A) 若 f x (x 3,y 0)=0,则

f y (x 0 , y 0 0 . (B)

若 f x (x 0 , y 0)= 0 ,则 f y ( , y 0 ) a 0 • (C) 若 f x (x 0, y °) = 0，则 f y (心 y °) = 0 •

(D)若 f x (x °,y 。)= 0 ,则 f y (X 0,y 。)[]

(12)设〉i ,〉2」l(,〉s 均为n 维列向量，A 为m n 矩阵，下列选项正确的是

(A)

若〉1,〉2」H,〉s 线性相关，则 A 1, A ： 2,山，A ： s 线性相关. (B) 若线性相关，则 A ： 1,A ： 2」H,A ： S 线性无关.

(C) 若〉1,〉2」l(,〉s 线性无关，则 A 1, A ： 2」I(,A ： s 线性相关.

(D)若〉1」2」l (,〉s 线性无关，则A 〉1,A 〉2」l(,A 〉s 线性无关.

[ ] (13)设A 为3阶矩阵，将 A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记

(1 1 0

P = | 0 1 0 ,则

b 01」

(A) C ^P ’AP . (B) C ^PAp j .

oO (A) Z |a n 收敛 n z! (c) C ly 1(x) y 2(x) 1.

(D ) y i (x) C ly(x) y 2(x)l

(D) C = PAP T .

(14)设随机变量X 服从正态分布N(%；「2), Y 服从正态分布N(H ；)，且

p {|x —已| w l b P lj Y —巴| □}

则必有

三、解答题： 15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

(15)(本题满分7分)

1 - ysin ——

设 f x, y - — ,x 0, y 0,求

1 + xy arcta n x

(i ) g x lim f x , y ；

f y -jbc f

(n ) x in m g x .

(16) (本题满分7分)

计算二重积分II ；._y 2-xydxdy ，其中D 是由直线y=x, y=1,x=0所围成的平面区域.

D

(17) (本题满分10分)

证明：当0 ： a ： b ： ■:时，

bsin b 2cos b 二 b asin a 2cosa 二 a .

(18) (本题满分8分)

在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点M 1,0，其上任意点P x,y x=0处的切线斜率与直线 OP 的

斜率之差等于ax (常数a>0).

(i )求L 的方程；

8

(n )当L 与直线y = ax 所围成平面图形的面积为

时，确定a 的值. 3 (佃)(本题满分10分)

比厂x 2时

求幕级数

的收敛域及和函数 s(x). 任 n(2n -1 )

(20) (本题满分13分)

设 4 维向量组円=(1+a,1,1,1)>2=(2,2+a,2,2 几叫=(3,3,3+ a,3 )丁， «^(4,4,4 + 4^ , 问a 为何值时：

•1,「2厂3,「4线性相关？当「1厂2厂3,「4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量 用该极大线性无关组线性表出 .

(C) C =P T AP . (A) G ::：二2

(C)叫：:：一

(D) 叫七 [ ]