立体几何证明题专题(教师版)分析

立体几何证明题

考点1：点线面的位置关系及平面的性质

例1.下列命题：

①空间不同三点确定一个平面；

②有三个公共点的两个平面必重合；

③空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④三角形是平面图形；

⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；

⑥垂直于同一直线的两直线平行；

⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；

⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题是________．

【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．

在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．

【答案】④

2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )

A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

答案 B

解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．

对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．

对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．

对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．

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3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交

C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

答案 C

解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．

考点2：共点、共线、共面问题

例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是

【解析】①在A中易证PS∥QR，

∴P、Q、R、S四点共面．

②在C中易证PQ∥SR，

∴P、Q、R、S四点共面．

③在D中，∵QR⊂平面ABC，

PS∩面ABC＝P且P∉QR，

∴直线PS与QR为异面直线．

∴P、Q、R、S四点不共面．

④在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：

取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，∴P、N、R、S四点共面，设为α.

可证PS∥QN，∴P、Q、N、S四点共面，设为β.

∵α、β都经过P、N、S三点，∴α与β重合，∴P、Q、R、S四点共面．

【答案】 D

2.空间四点中，三点共线是这四点共面的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案 A

3.下面三条直线一定共面的是( )

A．a、b、c两两平行

B．a、b、c两两相交

C．a∥b，c与a、b均相交

D．a、b、c两两垂直

答案 C

4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点．

【解析】设α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，

由a⊂β，b⊂β，则a∩b＝O，如图(1)，

或a∥b，如图(2)，若a∩b＝O，

O∈a，a⊂α，则O∈α，O∈b，b⊂γ，则O∈γ，

又γ∩α＝c，因此O∈c；

若a∥b，a⊄γ，b⊂γ，则a∥γ，又a⊂α，α∩γ＝c，则a∥c.

因此三条交线相交于一点或互相平行．

5.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，

且CF

CB

＝

CG

CD

＝

2

3

.

(1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点．

(2)若在本题中，

AE

EB

＝

CF

FB

＝2，

AH

HD

＝

CG

GD

＝3，其他条件不变．求证：EH、FG、BD三线共点．【解析】(1)∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴由中位线定理可知，EH綊

1

2

BD.

又∵

CF

CB

＝

CG

CD

＝

2

3

，

∴在△CBD中，FG∥BD，且FG＝

2

3

BD.

∴由公理4知，EH∥FG，且EH

∴四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底．

∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P.

∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，

∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC.

∴P在平面ABC和平面ADC的交线上．

又∵面ABC∩面ADC＝AC，

∴P∈直线AC.

故EF、GH、AC三直线交于一点．

(2)∵

AE

EB

＝

CF

FB

＝2，

∴EF∥AC.

又

AH

HD

＝

CG

GD

＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EF>HG.

∴四边形EFGH为梯形．

设EH与FG交于点P，

则P∈平面ABD，P∈平面BCD.

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