. 二阶常系数线性微分方程

§7.4 二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程的一般形式为

)(x f qy y p y =+'+''．

这里p 、q 是常数，)(x f 是x 的已知函数．当()f x 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．

1．二阶常系数齐次线性微分方程

定理1 设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程

0=+'+''qy y p y

(1)

的相互独立的两个特解(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程

(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．

证 按假设)(1x y 与)(2x y 为方程(1)的解，所以有下式成立

0111

=+'+''qy y p y ，0222=+'+''qy y p y ． 又 2211y C y C y +=， 221

1y C y C y '+'='， 2211y C y C y ''+''=''． 代入(1)式左端，得

()()()22112211221

1y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'+'+''+''=+'+'' 0)()(2222111

1=+'+''++'+''=qy y p y C qy y p y C ． 即2211y C y C y +=为方程(1)的解． 在)()(12x y x y 不恒等于常数的条件下，2211y C y C y +=中含有两个相互独立的任意常数1C 和2C ，所以2211y C y C y +=是方程(1)的通解．

由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数rx y e =和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用rx y e =来尝试．

设rx y e =为方程(1)的解，则rx r y e ='，rx r y e 2=''，代入方程(1)得

.0)(2=++rx e q pr r

由于0e ≠rx ，所以有

.02=++q pr r (2) 只要r 满足(2)式，函数rx y e =就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．

(ⅰ) 当042>-q p 时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r 和2r ，此时可

得方程(1)的两个特解：

x r y 1e 1=， x r y 2e 2=，

且≠=-x r r y y )(1212e /常数，故x r x r C C y 21e e 21+=是方程(1)的通解．

(ⅱ) 当042=-q p 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21r r =，此时得微分方程(1)的一个特解

x r y 1e 1=．

为求(1)的通解，还需求出与x r 1e 相互独立的另一解2y ．不妨设)(/12x u y y =，则

)(e 12x u y x r =， )(e 12

1u r u y x r +'='， )2(21121u r u r u e y x r +'+''=''． 将2

2,y y '及2y ''代入方程(1)，得 0])()2[(e 12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u x r ．

将上式约去x r 1e 并合并同类项，得

0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u ．

由于1r 是特征方程(2)的二重根，因此，0121=++q pr r ，且021=+p r ，于是得

0=''u ．

不妨取x u =，由此得到微分方程(1)的另一个特解

x r x y 1e 2=，

且≠=x y y 12/常数，从而得到微分方程(1)的通解为

x r x r x C C y 11e e 21+=，

即

)(e 211x C C y x r +=．

(ⅲ) 当042<-q p 时，特征方程(2)有一对共轭复根

βαi r +=1，βαi r -=2．

于是得到微分方程(1)的两个特解

x i y )(1e βα+=，x i y )(2e βα-=．

但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式θθθsin cos e i i +=将1y 和2y 改写成

)sin (cos e 1x i x y x ββα+=，

)sin (cos e 2x i x y x ββα-=．

于是得到两个新的实函数

x y y y x βαcos e )(2

1211=+=， x y y i

y x βαsin e )(21212=-=． 可以验证它们仍是(1)的解，且≠=x y y βtan /12常数，故微分方程(1)的通解为

)sin cos (e 21x C x C y x ββα+=．

综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：

第一步 写出微分方程(1)的特征方程02=++q pr r ，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1

特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解

两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+=

两个相等实根21r r = x r x C C y 1e )(21+=

一对共轭复根βαi r ±=2,1 )s i n c o s (e 21x C x C y x ββα+=

例 1 求微分方程043=-'+''y y y 的通解．

解 所给微分方程的特征方程为