证据理论基础(2)

多源测试信息融合
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证据合成规则
• 解法2：
m1 ( A) m1 ( A)m2 ( A)m3 ( A) 0.8 0.6 0.6 0.288 ,3 ,2 m1 ( B) m1 ( B)m2 ( B)m3 ( B) 0.1 0.2 0.1 0.002 ,3 ,2 m1 (C) m1 (C)m2 (C)m3 (C) 0.1 0.2 0.3 0.006 ,3 ,2
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多源测试信息融合
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证据合成规则—多证据的合成
定理2：设m1,m2,…,mn是同一识别框架上的基本置信度指派， 对应的焦元分别为A1,A2,…,An，则这n条证据的组合公式
m( A) (m1 m2 (1 K ) 1
A 1 A2
mn )( A)

An A
m1 ,3 , 2( A) m1,2,3 ( A) 0.972 m1 ( B) m1 (C ) ,3 , 2( A) m1 ,3 ,2 ,3 ,2 m1 ,3 , 2( B) m1,2,3 ( B) 0.007 m1 ( B) m1 (C ) ,3 , 2( A) m1 ,3 ,2 ,3 ,2 m1 ,3 , 2(C ) m1,2,3 (C ) 0.021 m1 ( B) m1 (C ) ,3 , 2( A) m1 ,3 ,2 ,3 ,2
注意：mass函数与信任函数的区别！！！
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概念回顾
•似然函数：设识别框架Θ ，幂集2 Θ →[0,1]映射，A为识别框 架内的任一子集，似然函数（似真度函数）Pl(A)定义为对A 的非假信任度，即对A似乎可能成立的不确定性度 A ， 此时有：
Pl ( A)
m1 ( A1 )
m1 ( Ai )
m1 ( AN )
m2 ( B1 )
m2 ( B j )
... ...
m2 ( BM )
... 0
..ຫໍສະໝຸດ Baidu 1 0
m1
1
m2
图2 m1和m2的基本置信度指派
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证据合成规则—两条证据的合成
两证据直和运算可用图3来描 述。大矩形看作总的信任度， 每个竖条分别表示证据m1分 配到它的焦元A1,A2,…,AN上 的信度，横条表示证据m2分 配到其焦元B1, B2,…, BM上的 信任度，横条与竖条相交的 小矩形面积表示同时分配到 Aj和Bj上的信度。因此可以 说，两条证据的联合作用就 是将信度m1(Ai)、m2(Bj)精确 的分配给 Ai∩Bj上。
m( A)
m( B)
m1,2 ( A)m3 ( A) 0.923 0.6 0.972 1 K1,2,3 1 0.432
m1,2 ( B)m3 ( B) 0.0385 0.1 0.007 1 K1,2,3 1 0.432
m(C )
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m1,2 (C )m3 (C ) 0.0385 0.3 0.021 1 K1,2,3 1 0.432
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证据合成规则—两条证据的合成
(1) mass函数的几何表示
假设m1,m2分别是同一识别框架Θ上两条证据基本臵信度指 派，对应的焦元分别为A1, A2, …, AN 和 B1, B2, …, BM，由基 本 臵 信 度 指 派 值 m1(A1), m1(A2), …,m1(AN) 和 m2(B1), m2(B2), …,m2(BM)所确定的mass函数可用图2来表示。 将证据联合作用下产生的信任度函数称为原来信任度函数 的直和(正交和)：m1⊕m2。

(1 (1 1
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Ai B j

m1 ( Ai )m2 ( B j )) 1 m1 ( Ai )m2 ( B j )) 1
C Ai B j C C

m1 ( Ai ) m2 ( B j )
Ai B j

Ai B j
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证据合成规则
解法1：根据证据合成公式，首先计算证据1和2合成后的结 果。
K1,2 m1 ( A) [m2 ( B) m2 (C )] m1 ( B) [m2 ( A) m2 (C )] m1 (C ) [m2 ( A) m2 ( B)] 0.8 (0.2 0.2) 0.1 (0.6 0.2) 0.1 (0.6 0.2) 0.48 m1 ( A)m2 ( A) 0.8 0.6 m1,2 ( A) 0.923 1 K1,2 1 0.48 m1 ( B)m2 ( B) 0.1 0.2 m1,2 ( B) 0.0385 1 K1,2 1 0.48 m (C )m2 (C ) 0.1 0.2 m1,2 (C ) 1 0.0385 1 K1,2 1 0.48
由于已经假设了m(φ)=0，所以下面只须证明 m(C ) 1
C
m(C ) m() m(C )
C C
C

C C
1
Ai B j C

m1 ( Ai )m2 ( B j ) m1 ( Ai )m2 ( B j )
Ai B j
臵信度指派值m1,m2,m3分别为
m1 ( A) 0.8, m1 (B) 0.1, m1 (C ) 0.1
m2 ( A) 0.6, m2 ( B) 0.2, m2 (C) 0.2 m3 ( A) 0.6, m3 (B) 0.1, m3 (C ) 0.3
求合成以后的mass值。
B A

m( B) 1 Bel ( A)
Pl (A) 表示A为非假的信任程度，A的上限概率； Bel(Ā) 表示对A为假的信任程度，即对A的怀疑程度。
0 支持区间
Bel
信任区间
Pl
拒绝区间
1
证据区间划分示意图
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主要内容
概念回顾 证据合成规则 基于证据理论的决策 基于证据理论的信息融合
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证据合成规则—基本性质
基本性质
Dempster证据组合规则满足如下的具备基本性质。 (1) 交换性： 证明： 由于D-S合成规则中采用的是乘法策略，而乘法满足
m1 m2 m2 m1
交换率，所以合成规则也满足交换率。
交换性准则由Dempster最早提出，该准则保证了在 组合证据没有任何先验知识的情况下，认为两个证据是
当C={a,b}时，即A∩B=C
图4 示例
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证据合成规则—两条证据的合成
证据合成规则（定理1）：设m1和m2分别是同一识别
框架Θ 上的基本臵信度指派函数，焦元分别 A1, A2 , …, AN和B1, B2 , …, BM，假设 K m1( Ai )m2 ( B j ) 1 ，若映射m:2Θ→[0,1]， Ai B j 满足
0 m(C ) (m1 m2 )(C ) m1( Ai )m2 ( B j ) Ai B j C 1 K C C
m是基本臵信度指派函数，其中⊕表示直和(正交和)运算。
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证据合成规则—两条证据的合成 证明：
A
m(A) 1
则称m是2 Θ上的mass函数（质量函数），m(A)称 为A的基本臵信度指派值，表示对A的精确信任。
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概念回顾
•信任函数定义：集合A是识别框架Θ的任一子 集，将A中全部子集对应的基本臵信度之和称 为信任函数Bel(A)，即 Bel：2 Θ →[0，1]
多源测试信息融合 证据理论基础（2）
万江文
主要内容
几个概念 证据合成规则 基于证据理论的决策 基于证据理论的信息融合
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多源测试信息融合
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几个概念
mass函数、信任函数、似然函数 ①mass函数定义：设函数m是满足下列条件的映射:
m:
(2)
2Θ→[0，1]
(1) 不可能事件的基本臵信度是0，即m(Φ)=0 2 Θ中全部元素的基本臵信度之和为1，即
m1 ( A1 ) m2 ( A2 )
mn ( An )
mn ( An )
其中， K
A 1

n条证据的组合可按照两条证据的组合公式，经n-1次组 合得到，获得最终证据与其次序无关。
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An＝
m1 ( A1 ) m2 ( A2 )
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证据合成规则
例2：假设识别框架下的三个证据E1,E2,E3，焦元 分别为A、B和C（A，B，C不相交），相应的基本
例1： 对于同一识别框 架 Θ={a,b,c} ， 1 ， 2 两 次检测的基本臵信度 指派值如图4所示， 求两次检测后集合 C={a,b} 的基本臵信度 指派值？
{a,b,c} {b,c} {a,c} 2 {a,b} {c} {b} {a} {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c} 1
Q1,2 Q1 Q2 K1,2Q1 (D)Q2 (D)
平等的，调换组合的顺序不改变组合结果。
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证据合成规则—基本性质
(2) 结合率：
(m1 m2 ) m3 m1 (m2 m3 )
证明： 该定理可借助于共信任度函数来证明。 假定识别框架Θ下的三组证据E1,E2,E3，相应的共信 任度函数为Q1, Q2, Q3，焦元分别Ai, Bj, Ch，则 Q1 Q2 的合成结果为 D Ai B j 且 D ，
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证据合成规则
检测1 检测2 检测3
……
检测n
t
证据1 证据2 证据3
……
证据n
贝叶斯融合方法是将前一次检测得到的后 验概率当作下一次检测的先验概率，一次一 次叠代。 证据理论无需先验概率，又是如何关联检 测结果？ （1）两条证据的合成 （2）多条证据的合成

m1 ( Ai ) m2 ( B j )
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证据合成规则—两条证据的合成
证据合成规则中，系数(1/(l一k))称为归 一化因子，表明在合成时将非0的信任赋给空 集。 其中，
K
Ai B j

m1( Ai )m2 ( B j ) 1
k的值越大，说明证据冲突程度也越大。
分配到空集上，这与信任度函数的定义中要求m(φ)=0是相违 背。因此，Shafer提出将这部分信任度丢弃的解决方法，而 丢弃之后总的信任度又小于1，所以乘以系数：
(1
Ai B j

m1 ( Ai )m2 ( B j )) 1
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证据合成规则—两条证据的合成
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图3 m1与m2的联合作用
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证据合成规则—两条证据的合成
显然可以看出，两个证据联合作用后，对于识别框架上某 一子集C的总信任度可能包含多个小矩形，可以描述成：
Ai B j C

m1 ( Ai )m2 ( B j )
i j
m1 ( Ai )m2 ( B j ) 基于上述图解，当C=φ时，将有一部分信任度A B
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证据合成规则
基于证据1和2的组合结果m1,2，再次利用组合公式，与证 据3进行合成。
K1,2,3 m1,2 ( A) [ m3 ( B ) m3 (C )] m1,2 ( B ) [m3 ( A) m3 (C )] m1,2 (C ) [m3 ( A) m3 ( B )] 0.923 (0.1 0.3) 0.0385 (0.6 0.3) 0.0385 (0.6 0.1 ) 0.432