离散组合数学递推关系和生成函数共17页
离散数学中的递归函数和生成函数
离散数学作为数学的一个分支，研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在离散数学中，递归函数和生成函数是两个重要的概念。
递归函数是离散数学中常用的一种定义函数的方法，而生成函数则是离散数学中描述数列的一种方法。
首先，我们来了解一下递归函数。
递归函数是一种在定义中使用了函数自身的函数。
它在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
在离散数学中，递归函数可以用来定义数列和组合数等对象。
一个典型的递归函数定义形式是：f(n)=g(n, f(n-1), f(n-2), ...)。
其中，g是一个表达式，描述了函数f在不同输入下的计算规则。
递归函数的定义可以帮助我们理解问题的本质，并能够用简洁的方式描述复杂的数学对象。
例如，斐波那契数列就可以通过递归函数进行定义。
斐波那契数列的定义是：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)。
通过递归函数，我们可以很容易地计算出任意位置的斐波那契数值。
而生成函数是另一种在离散数学中常用的方法，用来描述数列的方法。
生成函数是一个形如F(x)=a0+a1x+a2x^2+...的函数，其中ai表示数列中第i项的系数。
生成函数的主要作用是将数列转化为一个多项式函数，从而使得数列的求和、乘法和递推等操作可以通过多项式函数的运算来实现。
生成函数的优势在于它提供了一种统一的框架，能够将不同的数列问题转化为多项式的运算。
例如，如果我们要求斐波那契数列的每一项的和，我们可以通过斐波那契数列的生成函数F(x)=1/(1-x-x^2)来实现。
我们只需要将生成函数展开为多项式，再对多项式进行求和操作，就可以得到斐波那契数列的和。
递归函数和生成函数在离散数学中的应用非常广泛。
它们能够描述很多复杂的数学结构和问题，并能够通过一些简单的规则进行计算。
递归函数和生成函数的使用可以大大简化数学问题的求解过程，提高计算效率。
总结起来，离散数学中的递归函数和生成函数是两个非常重要的概念。
递推关系与生成函数
20Βιβλιοθήκη 复习• 令a是一个实数 . 那么对于所有的 x 和 y （0 ≤ |x| <|y|）,
•
a a k k ( x y) k x y k 0
a
a aa 1a 2a k 1 k k!
21
又因为 |y|<1
28
递归生成函数
29
内容
• 利用生成函数来求解常系数的线性齐次 递推关系. • 牛顿二项定理的应用.
30
复习: 牛顿二项定理
如果 n是一个正整数 并且 r 是一个非零整数, 那么
n k (1 rx ) ( rx ) k 0 k k n k k ( 1) r x k k 0
34
通过牛顿二项定理 (1-2x)-1 = 1+2x+22x2+…+2nxn….. (1-3x)-1 = 1+3x+32x2+…+3nxn….. 于是, g(x) = 1 + (-2)x + (-15)x2 +…+ (5×2n – 4×3n)xn+… 可以得到 hn = 5×2n – 4×3n (n = 0, 1, 2, …).
12
定理 7.2.2
令 q1, q2, …, qt 为常系数线性齐次递推关 系 (7.20) 的特征方程的互异的根. 此时， 如果 qi是 si重根, 则该递推关系对qi的部分 一般解为 Hn(i) = c1qin + c2nqin + … + csinsi-1qin = (c1 +c2n+…+csinsi-1)qin 递推关系的一般解则是 hn = Hn(1) + Hn (2) + … + Hn(t).
组合数学递推关系
(6.2.4)
如果方程组（6.2.4）有唯一解b'1 , b'2 ,, b'k ，这说明可以找到 这k个常数，使得
解. 考察方程组（6.2.4），它的系数行列式为这是著名的 Vandermonde行列式.因为 q1 , q2 ,, qk 互不相等，所以该行 列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶 楼梯，每次可上一阶或两阶，问上n阶有多 少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方法， f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一个台 阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上了n1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上了n2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有递推关系： f(n)=f(n-1)+f(n-2) .
n n 1 n 1 n
例6.2.2
f (n) 2 f (n 1) 3 f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 先求通解，特征方程是： x 2x 3 0
•
关于微分方程求解的已知结论:
1. 对于4次以及4次以下的方程,目前已有代数解法.(在复数 域内求解) 2. 阿贝尔定理: 5次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.
例6.2.1 求Fibonacci数的递推关系
n2 f (n) f (n 1) f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 解：特征方程为x 2 x 1 0, 1 5 1 5 两个特征根分别是：x1 , x2 , 2 2 1 5 n 1 5 n 因此通解f (n) c1 ( ) c2 ( ) 2 2
组合数学第六章递推关系
h(n)＝b’1q1 n＋b’2q2 n＋……＋b’kqk n ＝ ＋ 成立，从而b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n是该递推关系的通 ＋
• 常系数线性齐次递推关系的求解步骤 1. 根据题意求递推关系 2. 利用递推关系得到特征方程 3. 解特征方程，求特征根 解特征方程， 4. 利用特征根写递推关系通解 5. 根据初值确定通解中的系数 6. 给出递推关系的解 • 关于微分方程求解的已知结论: 关于微分方程求解的已知结论 微分方程求解的已知结论
例6.1.2 Fibonacci数列问题是一个古老的数 数列问题是一个古老的数 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 1202年提出的 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 把一对兔子（ 雄各一只） 把一对兔子（雌、雄各一只）在某年的 开始放到围栏中， 开始放到围栏中，每个月这对兔子都生出一 对新兔，其中雌、雄各一只。 对新兔，其中雌、雄各一只。由第二个月开 每对新兔每个月也生出一对新兔， 始，每对新兔每个月也生出一对新兔，也是 雄各一只。 雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔 这是一个数学模型的形象表示， 子？这是一个数学模型的形象表示，不能真 正用来表示兔子的繁殖规律。 正用来表示兔子的繁殖规律。
方程 xk-c1xk-1-c2xk-2-……-ck=0 • 递推关系的特征根 特征方程的k个根q1 ， q2……qk(可能有重根)，其中qi (i=1,2,……,k)是复数。 • 递推关系的解与特征根的关系？ 递推关系的解与特征根的关系？
引理6.2.1 设q是非零复数.则f(n)=qn是常系数线 引理 性齐次递推关系的解，当且仅当q是它的特征根. 证明 设f(n)=qn是递推关系(6.2.2)的解，即
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
chap7递推关系生成函数
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
第22章 递推关系与生成函数
解:
23
第22章 递推关系与生成函数
(3) 解: 注意到
1,2,3, (n 1),
f ( x) 1 2x 3x nx
2
n 1
1 1 x x 2 x3 x n 1 x
子集数为
f (n 2)
.由加法原理得:
f (n) f (n 1) f (n 2)
17
第22章 递推关系与生成函数
§22.2 生成函数
• 生成函数是可重复排列和组合问题中处理 特殊约束的一个方便工具.
18
第22章 递推关系与生成函数
生成函数
例：有红球两个，白球、黄球各一个，试 求有多少种不同的组合方案，假设两个红球没 有区别。
ak x
k k
0
(22.2)
称为(22.1)式的特征方程.
10
第22章 递推关系与生成函数
设 q1, q2 ,, qk 是(22.1)式的特征方程的根, n n ck qk (1)若 qi q j , i j ，则 H (n) c1 q1n c2 q2 是任意常数; 是递推关系(22.1)式的通解,其中 ci (i 1, 2,, k ) (2)若
将{1,2,3,, n} 的所有子集分为两部分,一部分为
{1,2,3,, n 1} 的所有子集, 另一部分是由
{1,2,3,, n 1} 的每一个子集加进元素
n 以后得到的子集.
第一部分的交替子集为 f (n 1) ,第二部分中的交替子集 正好同 {1,2,, n 2} 的交替子集是对应的.事实上,定义
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
Chapt18 递推关系与生成函数
上式两边对
于是
x
微分得
1 2 n 1 1 2 x 3 x nx 2 (1 x)
1 f ( x) (1 x)2
22
定义18.2.2 设 {ak },{bk },{ck }是已知的序列,它们的
生成函数分别为 A( x), B( x),C ( x).
(1) 若
n1 H ( n) ( H ( k ) H ( n k )) k 1 H (1) 1, H (2) 1
( n 2)
递推关系的求解
以上各例均为经典组合数学问题，在算法分析
中常用。
对普通的递推关系无一般规则可解，下面介绍 一些特别的递推关系的解法。
常系数线性齐次递推关系
要求解这个问题，首先必须建立递推关系，然后 求解递推关系即可。
n2 n 2 求解递推关系得H ( n) 2
（求解方法稍后再介绍）
解：设这n条直线将圆分成的区域数为H(n)，如果有n1条直线将圆分成H(n-1)个区域，那么再加入第n条直 线与在圆内的其他n-1条直线相交。 显然，这条直线在圆内被分成n条线段，而每条线段 又将第n条直线在圆内经过的每个区域分成两个区域。 这样，加入第n条直线后，圆内就增加了n个区域。而 对于n=0，显然有H(0)=1，于是对于每个整数 n，可以 建立如下带初值的递推关系
定义18.1.1 递推关系
H (n) a1 H (n 1) a2 H (n 2) ak H (n k ) 0 (18.1)
称为常系数线性齐次递推关系，
其中n k，ai是常数(i 1, 2,, k )且ak 0； 而方程
xk a1 xk 1 a2 xk 2 ak xk k 0 (18.2)
第七章(Chapter 7)递推关系和生成函数(Recurrence Relations and Generating Functions)
[注]：由以上例题可以归结得到如下的一个重要 结论： 若 ar为拆分为由 n1个 a1， 2 个 a，…， m个 am 组成 n n 2 的集合中元素的和的拆分数，则序列 {ar }的生成 函数为： G (x) = (1 x a x 2 a x n a )(1 x a x 2 a x n a )
第七章（Chapter 7） 递推关系和生成函数
(Recurrence Relations and Generating Functions)
许多组合数学计数问题依赖于一个整数参数 n，这个整数参数n常常表示问题中某个基本集 （笛卡尔集）或多重集的大小、组合的大小、排 列中的位置数等等。因此一个计数问题常常不是 一个孤立的问题，而是一系列单个问题的综合。 本章中，我们将讨论涉及一个整数参数的某些计 数问题的代数求解方法。这些方法类似于上一章 所介绍的棋盘多项式方法一样，通过引入一个函 数（称为生成函数，它实质上是一个幂级数，其 各项系数对应于相应计数问题的解）结合递推关 系来求解相应的计数问题。
1
2
3
二、指数型生成函数 定义7.3.1：对于序列 a0 , a1 , a2 ,, ak , ，定义函 数： x x2 xk ak Ge (x)= a0 a1 a 2 1! 2! k! 为该序列的指数型生成函数。 例如， ⑴序列 {1,1,,1,} 的指数型生成函数为：
1 1 1 1 2 2 2 2
(1 x am x 2 am x nm am )
其中 r 和 a1，2 ，…，m 以及 n1 ，2 ，…， m 都是正 a n n a n n n 整数，1 ，2 ，…， m可以是无穷大。G (x)的幂级数 x r 项的系数即为 ar 。 展开式中
离散数学ch10-生成函数、递推关系与Pólya计数
10.1.1 离散数值函数
• 定义10.6 设a是数值函数，则 （1）数值函数b：bi = ai+1 - ai（i≥0）称为a的 向前差分，记作△a。 i0 a 0 （2）数值函数c：ci ，
a i a i 1 i 1
称为a的向后差分，记作▽a。
10.1.1 离散数值函数
n 1 j
n n 1 j
j 0
j
j 0
j
• 定理10.4 设a，b，c是数值函数，则 1 （1）b=△a当且仅当B(z)= z A( z ) a A( z ) （2）c=▽a当且仅当C(z)= A(z)- z A(z)=(1- z) A(z)
0
10.1.2 生成函数及其性质
• 本小节除了讨论离散数值函数外，一般不 涉及其他类型的数值函数，故可将离散数 值函数简称为数值函数。为方便计，今后 把数值函数a：N→R简记作a，ai表示a在i处 的值，即ai= a(i)（i∈N）。于是可用数列 （a0，a1，a2，…）表示数值函数a，并称 ai=a(i)（i≥0）为a的表达式。
0 ( a b) i i (2 6) (i 2)
0i2 i3
10.1.1 离散数值函数
• 定义10.3 a是数值函数，α是任意实数，则数值函 数b，bi=αai（i≥0）称为a的α变换，记作b =αa，α 称为变换因子。 • 定义10.4 a是数值函数，n是任意正整数，则 0 i n 1 0 （1）数值函数b：
10.1.1 离散数值函数
• 例10.1 设2000年国民生产总值为100，年增 长率为8%，试用数值函数表示从2000年起 算以后第一年，第二年，…的国民生产总值。 • 解：用a表示该数值函数，则a的表达式为 ai=100∙（1+0.08）i （i=0，1，2，…）
[数学]组合数学第7章[递推关系与生成函数]
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递推（递归）关系是计数的一个强有力 的工具，特别是在做算法分析时是必需的， 有大量的递归算法的时间特性体现出递推 关系。递推关系的求解的主要方法包括递 推、母函数、特征方程等方法。
递推关系与求解
§7.1 递推关系与递推求解
[例1]确定平面一般位置上的n个互相交叠的 圆所形成的区域数。所谓互相交叠是指每 两个圆相交在不同的两个点上。
q a1q
n k
n 1
a2 q
n2
... ak q
nk
0
q a1q
k 1
a2 q
k 2
... ak 0
即第一个结论成立。
特征方程解法
由于qi互异，qin都是递推关系的不同解，故 n n n hn c1q1 c2 q2 ... ck qk 也是递推关系的解。对任意的初始值，有 n 0， c1 c2 ... ck b0 n 1， c1q1 c2 q2 ... ck qk b1 2 2 2 n 2， c1q1 c2 q2 ... ck qk b2
特征方程解法
2. 非齐次递推关系 定义1中的bn非零时，形成的非齐次递推关 系的求解可分为几步： (1)求齐次通解； (2)求非齐次关系的一个特解； (3)通解与特解结合。 但求特解没有一般的公式，一些特殊形式 下可以进行如下尝试。
特征方程解法
(1)若bn是n的k次多项式，hn为特解，可尝试： a)hn=r（常数），若bn为d（常数） b)hn=rn+s，若bn=dn+c c)hn=rn2+sn+t，若bn=fn2+dn+c (2)若bn是指数形式，则尝试 hn=多项式dn，若bn=dn
组合数学课件：递归关系
(4) 令S={1, 2, …, n}，对T∈2S，构造函数f: 2S→{0, 1}n，
f(T)=b1b2…bn，i=1, 2, …, n，bi=1, i∈T bi= 0, i T，从而，求无
相邻整数的子集问题转化为求无“11”字样的n位01串问题。
递归关系
P2={(2, i2, i3, …, in)|it≠t, t=2, 3, …, n} P3={(3, j2, j3, …, jn)|jt≠t, t=2, 3, …, n}
… Pn={(n, k2, k3, …, kn)|kt≠t, t=2, 3, …, n} 易知|P2|=|P3|=…=|Pn|都是相同的，令其为dn，于是
1 2
3i
Dn K1r1n K2r2n
递归关系
由初值条件有
D1=K1r1+K2r2=1 D2=K1r21+K2r22=0
解得
K1
r2 r1(r2
r1 )
1 3 3
2
, K2
r1 r2 (r1
r2 )
1
3
3 2
i
最后有
Dn
1 2
3 3
1
2
3i
n
1
3
3 2
i
1
2
3i
n
递归关系
例5
证明 假定an是具有初值的递归关系 -
aa0n
c1an1 d0 , a1
c2an2 d1
0
的任一解。 将初值条件代入 an K1r1n K2r2n
aa10
K1 K2 d0 K1r1 K2r2
d1
递归关系
组合数常用公式
组合数常用公式摘要：一、组合数定义二、组合数公式1.二项式定理2.阶乘与组合数的关系3.组合数的性质4.组合数公式推导三、组合数的应用1.组合数的计算2.组合数的应用场景四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式2.常见递推关系举例五、组合数的性质与公式总结正文：一、组合数定义组合数（Combination）是离散数学中的一个概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
用符号表示为C(n, m)，即n 个元素中取m 个元素的组合数。
二、组合数公式1.二项式定理二项式定理是组合数计算的基础，它表示如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) 即为组合数。
2.阶乘与组合数的关系组合数与阶乘（n!）之间存在如下关系：C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]3.组合数的性质组合数具有以下几个性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4.组合数公式推导根据阶乘与组合数的关系，可以推导出组合数的计算公式。
三、组合数的应用1.组合数的计算组合数的计算是组合数学中的基本操作，可以通过递推关系、二项式定理等方法进行计算。
2.组合数的应用场景组合数在实际生活中有很多应用场景，例如概率论、组合优化、密码学等。
四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式根据组合数的性质，可以得到递推关系的一般形式：C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)2.常见递推关系举例常见的组合数递推关系有：- C(n, 0) = 1- C(n, 1) = n- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)五、组合数的性质与公式总结组合数是组合数学中的基本概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
组合数学(第二版)递推关系
递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
组合数学-第十节：递推关系
解例如，对于 ，符合题意的积有2个：
所以 。
如果在 的某些字母间加上括号，但不改变字母间的相互位置关系，使得这n个字母间的乘法可以按所加括号指明的运算方式进行运算，那么 就是加括号的方法的个数。
最外层的两对括号形如
（4.3.2）
定理4.3.1 k阶常系数线性非齐次递推关系（4.3.1）的通解是递推关系（4.3.1）的特解加上其相应的齐次递推关系（4.3.2）的通解。
证明设 是递推关系（4.3.1）的特解， 是递推关系（4.3.2）的通解，则
所以， 是递推关系（4.3.1）的解。
反之，任给递推关系（4.3.1）的一个解 ，与上类似，可以证明 是递推关系（4.3.2）的解，从而 可以表示成 与递推关系（4.3.2）的解之和。
（4.4.1）
解由递推关系（4.4.1）可以得到
将上式乘以 后再与（4.4.1）式相加，得
（4.4.2）
如此我们得到了二阶齐次递推关系（4.4.2），它需要两个初值才能确定解。将 代入递推关系（4.4.1），得
所以有
它的特征方程为
解得两个特征根为
于是，通解为
由初值 ，求得 。故
（2）将变系数的一阶线性递推关系化为常系数线性递推关系。
例2在信道上传输由 三个字母组成的长为n的字符串，若字符串中有两个 连续出现，则信道就不能传输。令 表示信道可以传输的长为n的字符串的个数，求 满足的递推关系。
解信道上能够传输的长度为 的字符串可分成如下四类：
（1）最左字符为b；（2）最左字符为c；
（3）最左两个字符为ab；（4）最左两个字符为ac。
由此，我们得出 的前5项满足