2.3直线的参数方程(人教a版)
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2 2 2 2
2 2
Y
C
O A P D
B X
将 4 代入 3 得 b cos a sin t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 t cos t为参数 代入椭圆方程为 y 1 t sin ,
2 2 3sin 1 t 4 cos 2 sin t 8 0
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以 4 cos 2 sin t1 t2 因为M 为AB的中点 2 3sin 1 t1 t2 1 所以 0, cos 2 sin 0, k tan 2 2 1 直线l的方程是：y-1= x 2 即 x 2 y 4 0 2
例3：取o为原点，op所在直线为x轴建直角立坐标系，则P(300,0) 以o为圆心，250km为半径作圆o,当台风中心移动后的位置在圆o上 或圆o内时，城市将受到台风的袭击。 圆O的方程为：x2 y 2 2502 设经过时间t后，
台风中心M 的坐标为 x, y , 且M 移动形成的直线L的方程为： y
于是
x x0 t cos , y y0 t sin , x x0 t cos , y y0 t sin .
直线的参数方程中参数 t的几何意义是： t 表示参数t对应的点M t取负数；当点 M与M 0 重合时，t 0.
到定点M 0的距离。当M 0 M与e同向时，t取正数；当M 0 M与e异向时，
1 t 2 （ 2 ）t 2
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
四、课堂练习
见课本 P 第2题 39
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
x2 y 2 例2.经过点M 2,1 作直线L,交椭圆 1于A, B两点。 16 4 如果点M 恰好为线段AB的中点，求直线L的方程。
二、新课讲授
或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度 与坐标轴的单位长度相 同）
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
y
设e是与直线l平行且方向向上（l的倾斜角不为0）
e
M0
M
x
o
(1)如何利用倾斜角写出直线l的单位方向向量e ？ (2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？
0 x 300 40t.cos135 , t为参数，t 0 0 y 40t.sin135
M
o
P
x
x 300 20 2t , 即 0 当M 300 20 2t , 20 2t t为参数， y 20 2t ,
在圆内或在圆上则 300 20 2t
2
2
20 2t
2
2502
15 2 5 7 15 2 5 7 即16t 120 2t 270 0解得 t 4 4 即2.0 t 8.6因此，大约在2小时后该城市开始受到袭击。
例4，证明：如图建立直角坐标系设椭圆方程为 x y 2 1 a b 0 3 ,设1=，p x0, y0 , 2 a b x x0 t cos 直线AB的参数方程为 t为参数 4 y y0 t sin
1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线 1 l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
（3） AB 、 MA MB 与t1，t2有什么关系？
注:（）直线的参数方程中哪些是变量？ 1 哪些是常量？ （2）参数t的取值范围是什么？
（3）该参数方程形式上有什么特点？
x 3 t sin 200 B ） （）直线 1 （ t 为参数）的倾斜角是（ 0 y t cos 20 A.200 B.700 C.1100 D.1600
（2）直线x y 1 0的一个参数方程是
2 x 1 t 2 （t为参数） y 2t 。 2
三、例题讲解
,你会怎 0 x y 1 如果在学习直线的参数方程之前 2 解：由 得： x x 1 0 (*) 2 样求解本题呢？ y x 由韦达定理得： x1 x2 1 ，x1 x2 1
(1) e (cos , sin ) (2) M0 M ( x, y) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
又 M 0 M // e 存在惟一实数 t R，使得 M 0 M t e
即 即
x x
0,
y y0 t cos ,sin ,
AB 1 k
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2 2 5 10
2
1 5 1 5 由(*)解得：x1 ，x2 2 2
记直线与抛物线的交点 坐标A(
则 MA MB ( 1
3 5 3 5 y1 ，y2 2 2
1 5 3 5 1 5 3 5 , )，B( , ) 2 2 2 2
4.4.3
参数方程的应用(4) -----直线的参数方程
一、课题引入
在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么?
根据直线的几何条件,你认为用哪个几何条件来建立 参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
y y0 tan x x0
根据直线的这个几何条件,你认为应当怎 样选择参数?
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C
O A P D
B X
将 4 代入 3 得 b cos a sin t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 t cos t为参数 代入椭圆方程为 y 1 t sin ,
2 2 3sin 1 t 4 cos 2 sin t 8 0
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以 4 cos 2 sin t1 t2 因为M 为AB的中点 2 3sin 1 t1 t2 1 所以 0, cos 2 sin 0, k tan 2 2 1 直线l的方程是：y-1= x 2 即 x 2 y 4 0 2
例3：取o为原点，op所在直线为x轴建直角立坐标系，则P(300,0) 以o为圆心，250km为半径作圆o,当台风中心移动后的位置在圆o上 或圆o内时，城市将受到台风的袭击。 圆O的方程为：x2 y 2 2502 设经过时间t后，
台风中心M 的坐标为 x, y , 且M 移动形成的直线L的方程为： y
于是
x x0 t cos , y y0 t sin , x x0 t cos , y y0 t sin .
直线的参数方程中参数 t的几何意义是： t 表示参数t对应的点M t取负数；当点 M与M 0 重合时，t 0.
到定点M 0的距离。当M 0 M与e同向时，t取正数；当M 0 M与e异向时，
1 t 2 （ 2 ）t 2
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
四、课堂练习
见课本 P 第2题 39
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
x2 y 2 例2.经过点M 2,1 作直线L,交椭圆 1于A, B两点。 16 4 如果点M 恰好为线段AB的中点，求直线L的方程。
二、新课讲授
或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度 与坐标轴的单位长度相 同）
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
y
设e是与直线l平行且方向向上（l的倾斜角不为0）
e
M0
M
x
o
(1)如何利用倾斜角写出直线l的单位方向向量e ？ (2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？
0 x 300 40t.cos135 , t为参数，t 0 0 y 40t.sin135
M
o
P
x
x 300 20 2t , 即 0 当M 300 20 2t , 20 2t t为参数， y 20 2t ,
在圆内或在圆上则 300 20 2t
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20 2t
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2502
15 2 5 7 15 2 5 7 即16t 120 2t 270 0解得 t 4 4 即2.0 t 8.6因此，大约在2小时后该城市开始受到袭击。
例4，证明：如图建立直角坐标系设椭圆方程为 x y 2 1 a b 0 3 ,设1=，p x0, y0 , 2 a b x x0 t cos 直线AB的参数方程为 t为参数 4 y y0 t sin
1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线 1 l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
（3） AB 、 MA MB 与t1，t2有什么关系？
注:（）直线的参数方程中哪些是变量？ 1 哪些是常量？ （2）参数t的取值范围是什么？
（3）该参数方程形式上有什么特点？
x 3 t sin 200 B ） （）直线 1 （ t 为参数）的倾斜角是（ 0 y t cos 20 A.200 B.700 C.1100 D.1600
（2）直线x y 1 0的一个参数方程是
2 x 1 t 2 （t为参数） y 2t 。 2
三、例题讲解
,你会怎 0 x y 1 如果在学习直线的参数方程之前 2 解：由 得： x x 1 0 (*) 2 样求解本题呢？ y x 由韦达定理得： x1 x2 1 ，x1 x2 1
(1) e (cos , sin ) (2) M0 M ( x, y) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
又 M 0 M // e 存在惟一实数 t R，使得 M 0 M t e
即 即
x x
0,
y y0 t cos ,sin ,
AB 1 k
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2 2 5 10
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1 5 1 5 由(*)解得：x1 ，x2 2 2
记直线与抛物线的交点 坐标A(
则 MA MB ( 1
3 5 3 5 y1 ，y2 2 2
1 5 3 5 1 5 3 5 , )，B( , ) 2 2 2 2
4.4.3
参数方程的应用(4) -----直线的参数方程
一、课题引入
在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么?
根据直线的几何条件,你认为用哪个几何条件来建立 参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
y y0 tan x x0
根据直线的这个几何条件,你认为应当怎 样选择参数?