概率论课件 第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性

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定义:设F(x), F1(x), F2(x),…是一列分布函数, 如果对F(x)的每个连续点x,都有
n
lim Fn (x) F(x)
则称分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数 F(x),并记作
Fn (x) F(x)
W
(n )
如果随机变量序列 {n } 的分布函数列 {Fn(x)}弱收敛于随机变量 的分布函数 F(x),则称 依分布收敛于 {n } ,并记作
x

e
t2 2
dt
证明:
的特征函数为 (t ) exp{(eit 1)}
设 的特征函数为g (t ), 则
t g λ (t) λ i λ t)} exp{ λ
i expλ e
t λ
1 i λ t
则随机变量 的分布函数为
x 1 0, F ( x) 1 / 2, 1 x 1 1, x 1
若令 ( ) ( ), 则 ( )与 ( )有相同 的分布函数F ( x). 再令 n ( ) ( ), 则 n ( )与 ( )有相同
2 2
由于
lim P{| k a |
k


2
}
} 0
lim P{| k b |
k
2
所以 P{| f (k ,k ) f (a, b) | } 0
2.依分布收敛 在上面所讲的收敛概念中,尚未直接涉 及到随机变量序列的分布函数列{Fn(x)}和 随机变量的分布函数F(x)之间的关系,而分 布函数又完整地刻划了随机变量的统计规 律,因此有必要讨论{Fn(x)}与F(x)之间的关 系.
t R, 有
t2 1 exp{ i } 1 i o( ) 2! t t
i lim e
t

1 i t
t2 1 t2 lim o( ) 2 2
§4.2 随机变量序列的两种收敛性 上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中, 事件发生的频率稳定于概率,即
lim P{
n
n
n
P } 1
自然想到的是, 随机变量序列是否依 这种方式能稳定于一个随机变量呢 ?
这就是我们要讲的依概率收敛问题.
Hale Waihona Puke Baidu
1
依概率收敛 定义：设{ n }是随机变量序列,若存在随机 变量 (或常数),对于任意ε>0,有
的分布函数Fn ( x) F ( x).
显然有 lim Fn ( x) F ( x)
n
L Xn Y
但对任意的0<ε<2,恒有
P{| n | } P{2 | | } 1
即不可能有{n }依概率收敛于
所以:依分布收敛依概率收敛不真
定理:随机变量序列依概率收敛于常数C 的充要条件是依分布收敛于常数C 证明:必要性已证,下面只证充分性

n
limP{|
n
n
a | } 1
课堂练习 设随机变量序列{ n }依分布收敛于随机量 ， 随机变量序列{ n }依概率收敛于0 ,则{ nn}依 概率收敛于0.
小结
1 依概率收敛的定义及其判别; 2 依分布收敛的定义及其判别;
3 两种收敛之间的关系;
4 辛钦大数定律的证明. 作业：P220 4.8, 4.10,4.11,4.18
这个定理的证明只涉及到数学分析的 一些结果但证明较冗长，证明略.
由于此定理表明了分布函数与特征函数的 一一对应关系有连续性,因此该定理称为 特征函数的连续性定理.
例3 : 若 服从普哇松(Poisson)证明
lim P x 1 2

F(x)的表达式只在C点不连续,从而
lim P{| n C | } 0
n
即有{n }依概率收敛于C
弱收敛的判断方法 定理：分布函数序列{ Fn ( x) }弱收敛于分布函 数 F ( x) 的充要条件是： { Fn ( x) }的特征函数序 列{ n (t ) }收敛于 F ( x)的特征函数 (t ) .
L n
(n )
3.二种收敛的关系 依概率收敛依分布收敛 其逆不真
定理:若随机变量序列 {n } 依概率收敛于 ,
则 {n } 依分布收敛于
.
证明:设随机变量序列 {n }和随机变量
的分布函数分别为{Fn(x)}和F(x),对任意的
x,y∈R有
{ y} {n x, y} {n x, y} {n x} {n x, y}
{( k a) 2 {| k a |
2

2 2
} {(k b) 2
2
} {| k b |

2 2
} }
故有 0 P{| f (k ,k ) f (a, b) | } P{| k a | } P{| k b | }
证明:因f ( x, y)在点(a, b)连续, 故对 >0
0,当( x a)2 ( y b)2 2时有
| f ( x, y) f (a, b) |
于是 {| f (k ,k ) f (a, b) | } {( a)2 ( b)2 2 }
lim P{| n | } 1
n
lim P{| n | } 0)
n
则称随机变量序列{ n }依概率收敛于 ,记
lim ξ n P 为 n ξ (或 n P ξ)
例1:设{ k }依概率收敛于a,{k }依概率收敛 于b, f ( x, y )在点(a, b)连续, 则f ( k ,k )依概率 收敛于f (a, b)
x x
令y x, z x,由x为F ( x)的连续点, 有
lim Fn ( x) F ( x)
x
例2:抛掷一枚均匀的硬币,有两个可能结果 ω 1=出现正面,ω 2=出现反面,于是有 P{ω1}=P{ω2}=1/2 令
1, 1 ( ) 1, 2
t t 1 n (t ) 1 ia o( ) n n n
n
n
t R, 有
t 1 iat limn (t ) lim1 ia ( ) e n n a n
F ( y) Fn ( x) P{n x, y}
如果y x,由依概率收敛的定义可得
P{n x, y} P{| n | x y} 0
( n )
F ( y) lim Fn ( x)
n
同理,由
{n x} {n x, z} {n x, z} { z} {n x, z} 有Fn ( x) F ( z) P{n x, z}
辛钦

k 1
n
k
a | } 1
证明: {n } 同分布, 它们有相同的特征函数, 这个相同的特征函数记为 (t )
1 n 记 n k n k 1
a E ( k )
(0)
i
(t ) (0) (0)t o(t ) 1 iat o(t )
如果x z,由依概率收敛的定义可得
P{n x, z} P{| n | z x} 0 ( n )
limFn ( x) F ( z )
x
当y x z时
F ( y) lim Fn ( x) limFn ( x) F ( z )
lim g (t ) e

t2 2
lim Y ~ N (0,1)

辛钦大数定律证明
定理(辛钦大数定律):设{k}是相互 独立同分布的的随机变量序列,若有 数学期望 Ek a (k=1,2,…), 则对于任意给定的ε>0,恒有
1 P {| lim n n
由于 C的分布函数为
0, F ( x) 1,
xC xC
对任意的ε>0有
P{| n C | }
P{n c } P{n c }
1 Fn (C ) Fn (C )
由于{Fn(x)}弱收敛于F(x),并注意到