3.2 圆的对称性(2)

龙游三中 余建生
2012 . 10 . 12
回顾：垂径定理（三种语言）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
∵直径CD⊥AB
C
A M└
B
∴AM=MB
●O
AC=BC AD=BD
D
思考：
1、你能将此命题改成如果……那么……形式吗？
2、你能写出他的逆命题吗？
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
通过把弦心距(d)、半径(r)、弦长(a)构成直角三 角形便将问题转化为解直角三角形的问题．
O
4.已知：如图，在⊙O中M, N分别为弦AB, CD的 中点，AB=CD, AB不平行于CD． 求证：∠AMN=∠CNM
1.垂径定理的两个逆定理： 逆定理：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）平分弦所对弧的直径，垂直平分弦. 2.与圆有关计算的一种重要方法：
如图，在⊙O中，直径CD交弦AB（不是直径）于
点E.
(1)若 CD⊥AB，则有
、
、
；
(2)若 AE=EB， 则有
、
、
；
(3)若 AC=BC ，则有
、
、
.
你认为是错的要求说明理由！
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.
解:如图,用AB表示桥拱,设圆心 为O,C为AB的中点.
连接半径OC,交AB于点D 则OC垂直平分AB,CD就是拱高 A 连接OB,设圆O的半径为R(m)
C
D B
在Rt⊿OBD中,OB2=BD2+OD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2
解这个方程,得 R=27.31 答:桥拱的半径约为27.31m
小结：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据垂径 定理及推论结合勾股定理
求出第三个量.
例题解析
1300多年前,我国隋朝的赵春建造的赵州桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m, 拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥 拱的半径(精确到0.01m).
①
②
③
逆命题1： 在CD为圆直径的大前提条件下 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
② ①
③
① ②
③ ① ③ ②
C
A M└
B
●O
D
在CD为圆直径的大前提条件下
Hale Waihona Puke Baidu
已知 ② CD平分弦AB
① CD⊥AB
求证
③ CD平分弧ACB和弧ADB
已知 ③ CD平分弧ACB和弧ADB
① CD⊥弦AB
求证
② CD平分弦AB
定逆理命1题：1：
C
平分弦(的不直是径直垂径直)的于直弦径，垂并直且于平弦分，弦并所A且对平的M分└弧弦. 所B 定逆对理命的2题弧：2. 平：分平弧分的弧直的径直垂径直垂平直分平于分弧弧所所对对的的弦弦●..O
探索一个定理的逆命题是否成立是发现新定理的一种常D 用方法
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（ ）
(4)弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.
（√ ）
(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
如图，AB是半圆⊙O的直径，E是弧BC的中点， OE交弦BC于点D．已知BC=8cm, DE=2cm ，则求 AB的长？
O
rd a
2