5-1 电磁场的矢势与标势

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(2) 洛伦兹规范
在处理波动问题时， 在处理波动问题时 ， 势的基本方程化为特别 简单的对称形式。 简单的对称形式。 这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中 是特别方便的。 是特别方便的。
1 ∂ϕ 规范条件为 ∇⋅ Α+ =0 2 c ∂t
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达朗贝尔(d’Alembert)方程 三、 达朗贝尔 方程
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例：讨论单色平面电磁波的势。 讨论单色平面电磁波的势。 单色平面电磁波是在没有电荷、 单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播 的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程： 因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程： 1 ∂2ϕ ∇2ϕ − 2 2 = 0 c ∂t 1 ∂2 A ∇2 A− 2 2 = 0 c ∂t 其平面波解为： 其平面波解为：
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∂t
∂Α 因此， 定义 Ε + = −∇ϕ ，因此，一般情况下电场的 ∂t
表示式为： 表示式为：
∂Α Ε = −∇ϕ − ∂t
(2)
实际上，在变化情况下电场与磁场发生直接联系， 实际上，在变化情况下电场与磁场发生直接联系， 则电场的表示式必然包含矢势A在内。 (1)、(2)两 则电场的表示式必然包含矢势 在内。 、 两 在内 式把电磁场用矢势和标势表示出来。但应注意： 式把电磁场用矢势和标势表示出来。但应注意： (1) 变化的电磁场，E不再是保守力场，不存在势 变化的电磁场， 不再是保守力场 不再是保守力场， 能的概念， 标势 ϕ 失去作为电场中的势能的 能的概念 ， 意义。 意义。
1 ∂2ϕ ρ 2 ∇ ϕ− 2 2 = − c ∂t ε0 1 ∂ϕ ∇⋅ Α+ 2 =0 c ∂t
ϕ
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离开电荷电流分布区域以后， 离开电荷电流分布区域以后，矢势和标势都 以波动形式在空间中传播， 以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁 也以波动形式在空间中传播。 场E和B也以波动形式在空间中传播。 和 也以波动形式在空间中传播 注意：两种规范，方程不同， 注意：两种规范，方程不同，所得的矢势和标 势当然不同， 但由它们所求得的 和 B是完全 势当然不同 ， 但由它们所求得的E和 是完全 相同的， 的波动性质是和规范无关的。 相同的 ， 即 E和 B的波动性质是和规范无关的 。 和 的波动性质是和规范无关的
1. A和ϕ所满足的微分方程 和
Β = ∇× Α
∂D +J ∇× Η = ∂t
∂Α Ε = −∇ϕ − ∂t
∇⋅ D = ρ
1 ∂2 A 1 ∂ϕ 2 ) = −µ0J ∇ A− 2 2 −∇(∇⋅ A+ 2 c ∂t c ∂t
∂ ρ ∇ ϕ + ∇⋅ A = − ∂t ε0
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这就是矢势和标势所满足的微分方程组。 这就是矢势和标势所满足的微分方程组。
从数学上来说，之所以存在规范变换自由度， 从数学上来说 ，之所以存在规范变换自由度， 是由于在 势的定义式中，只给出了A的旋度 而没有给出A的散度 的旋度， 的散度。 势的定义式中，只给出了 的旋度，而没有给出 的散度。 所以， 欲得到具体的势， 必须给定A的散度 的散度， 所以 ， 欲得到具体的势 ， 必须给定 的散度 ， 即规范条 件。 电磁场E和B本身对 的散度没有任何限制 。 因此 ， 作为 本身对A的散度没有任何限制 电磁场 和 本身对 的散度没有任何限制。因此， 确定势的辅助条件，我们可以取∇ 为任意的值 为任意的值。 确定势的辅助条件，我们可以取∇·A为任意的值。 每一种选择对应一种规范。从计算方便考虑， 每一种选择对应一种规范。从计算方便考虑，在不同问 题中可以采用不同的辅助条件。 题中可以采用不同的辅助条件。应用最广泛的是以下两 种规范条件。 种规范条件。
ω
ω
=−
Hale Waihona Puke Baidu
c2
ω
k × B = cB×n
此处n为传播方向单位矢量。 此处 为传播方向单位矢量。 为传播方向单位矢量
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结论： 结论：
对平面电磁波(ρ=0,J=0)，由A可以完全确定，原因是 可以完全确定， ① 对平面电磁波 ， 可以完全确定 原因是ρ=0 电磁场没有纵场分量。 电磁场没有纵场分量。 电磁场不仅可以由A完全确定 而且只依赖于A的横向分量 完全确定， 的横向分量。 ② 电磁场不仅可以由 完全确定，而且只依赖于 的横向分量。 原因： 原因：B = ik× A E = cB×n， A加上任意纵向分量都不 对 加上任意纵向分量都不 ， 影响B和 。 影响 和E。 所以，对于平面电磁波的情形，即使加上洛伦兹条件， 和 所以，对于平面电磁波的情形，即使加上洛伦兹条件，A和 ϕ仍不是唯一的，能够唯一确定的只是其横向分量。 仍不是唯一的，能够唯一确定的只是其横向分量。
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§5.1 电磁场的矢势和标势
对于恒定场： 对于恒定场：
∇×E = 0
E = −∇ϕ
∇⋅ B = 0
B = ∇× A
当电场和磁场随时间变化时， 当电场和磁场随时间变化时，电场和磁场都不是保 守场。从概念上， 守场。从概念上，描述电磁场的矢势和标势与以前 讲过的矢势、标势是不同的概念；从物理意义上， 讲过的矢势、标势是不同的概念；从物理意义上， 描述电磁场的标势也失去了“电势能”的含义， 描述电磁场的标势也失去了“电势能”的含义，因 而在高频电路中“电压”这一概念也失去意义。 而在高频电路中“电压”这一概念也失去意义。
在经典电动力学中， 在经典电动力学中 ， 势 A和 ϕ 的引入是作为描述电 和 磁场的一种方法，规范不变性是对这种描述方法所 磁场的一种方法， 加的要求。 加的要求。
在近代物理中， 在近代物理中 ， 规范变换是由量子力学的基本 原理引入的， 原理引入的 ， 规范不变性是一条重要的物理原 理。
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3. 两种重要规范： 两种重要规范：
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(2) 变化的电磁场中，磁场和电场是相互作用着的 变化的电磁场中， 整体， 整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述 电磁场。 因此我们说， 描述电磁场的势有4个 电磁场 。 因此我们说 ， 描述电磁场的势有 个 分量。 分量。 思考： 思考： 与时间无关， 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时，电磁场的特点？ 与时间无关 时 电磁场的特点？
无旋场（纵场） 无旋场（纵场） 无散场（横场） 无散场（横场）
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∂A E = −∇ − ϕ ∂t
结论： 结论：
∂A ∇× E = −∇× ∂t
∇⋅ E = −∇ ϕ
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在库仑规范下， 描述， 在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由ϕ描述， 描述。 横场部分完全由 A 描述。 在库仑规范下， 在库仑规范下，ϕ所满足的方程 ∇2ϕ = −ρ / ε 与静电场方程形式相同。 与静电场方程形式相同。
′ A→A = A+∇ψ ∂ψ ϕ →ϕ' =ϕ − ∂t 称为规范变换，每一组势称为一种规范。 称为规范变换，每一组势称为一种规范。各种规
范描述同一电磁场E和 ， 范描述同一电磁场 和B，因此如果用势来描述电 磁场，客观规律跟势的特殊规范选择无关。 磁场，客观规律跟势的特殊规范选择无关。
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2. 规范不变性： 规范不变性： 当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都 当势作规范变换时， 保持不变，这就是规范不变性。 保持不变，这就是规范不变性。
A = A ei(k⋅ x−ωt) 0
但这只是方程的通解， 但这只是方程的通解，对A和ϕ加上洛伦兹条件才得到实际 和 电磁波的可能解。 电磁波的可能解。
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ϕ = ϕ0ei(k⋅ x−ωt)
1 ∂ϕ =0 得 由Lorentz规范条件 ∇⋅ A+ 2 规范条件 c ∂t
1 ik ⋅ A+ 2 (−iωϕ) = 0 c
第五章电磁波的辐射
电磁波是由运动电荷辐射出来的。例如： 电磁波是由运动电荷辐射出来的。例如：无线电波是由 发射天线上的高频交变电流辐射出来的。 发射天线上的高频交变电流辐射出来的。本章研究高频交 变电流辐射电磁波的规律。 变电流辐射电磁波的规律。 严格来说， 严格来说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用 天线电流激发电磁场， 的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过来作用到天线 电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上也 电流上，影响着天线电流的分布。 是一个边值问题。 是一个边值问题。 天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面， 天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面，需要应用 天线表面上的边界条件，同时确定空间中的电磁波的形式 天线表面上的边界条件， 和天线上的电流分布。 和天线上的电流分布。 这种问题的求解一般比较复杂。 这种问题的求解一般比较复杂。我们仅局限于讨论给定天 线上电流分布,计算辐射电磁波 计算辐射电磁波。 线上电流分布 计算辐射电磁波。
Β = ∇× Α
(1)
从矢势A的引入可以看出 ， 从矢势 的引入可以看出， 电磁场的矢势与静 的引入可以看出 磁场的矢势唯一的区别就在于， 磁场的矢势唯一的区别就在于，电磁场的矢势 是随时间变化的。 是随时间变化的。 A的物理意义 ： 在任意时刻 ， A沿任一闭合回 的物理意义： 在任意时刻， 沿任一闭合回 的物理意义 路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量。 路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量。
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一、 用势描述电磁场
考虑真空中的电磁场， 考虑真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为
∂Β ∇× Ε = − ∂t ∂D ∇× Η = +J ∂t
∇⋅ D = ρ
∇⋅ B = 0
其中
D = ε0Ε, Β = µ0H
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1. 电磁场的矢势： 电磁场的矢势： 所以，可以引入矢势A， 因为 ∇⋅ B = 0，所以，可以引入矢势 ，使
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(1) 库仑规范 规范条件为 ∇⋅ A= 0 在库仑规范下， 是无散场 是无散场， 描述的B也 在库仑规范下，A是无散场，由A描述的 也 描述的 是无散场。而一般情况下， 既是有散场 既是有散场， 是无散场。而一般情况下，E既是有散场， 也是有旋场。在库仑规范下， 也是有旋场。在库仑规范下，
∂A E = −∇ − ϕ ∂t
′ A→A = A+∇ψ ∂ψ ϕ →ϕ' =ϕ − ∂t
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′ ∇× Α = ∇× Α= Β ∂Α′ ∂Α −∇ϕ′ − = −∇ϕ − =Ε ∂t ∂t 即(A’, ϕ’)和(A, ϕ)描述同一电磁场，同时也说明 和 描述同一电磁场， 描述同一电磁场
有 描述电磁场的(A, ϕ)不唯一。势的变换： 不唯一。 描述电磁场的 不唯一 势的变换：
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2. 电磁场的标势： 电磁场的标势： 由于 ∇×E ≠ 0 ，所以，不可能用一个单独的 所以， 所以 标势来描述E。 标势来描述 。 虽然 ∇×E ≠ 0 ，但由 ∇× Ε = − ∂Β 可得： 但由 可得：
∂A ∇× Ε = −∇× ∂t ∂A ∂A 所以 ∇× Ε +∇× = ∇×(Ε + ) = 0 ∂t ∂t ∂A 是无旋场， 该式表示 Ε + 是无旋场，可以引入标势ϕ ∂t
ϕ=
c2
ω
k⋅ A ⋅
由此可见，只要给定了 ，就可以确定单色平面电磁波。 由此可见，只要给定了A，就可以确定单色平面电磁波。
B = ∇× A= ik× A c2 ∂A E = −∇ − ϕ = −ikϕ + iωA= −ik( k ⋅ A) + iωA ω ∂t 2 2 c c 2 = −i [k(k ⋅ A) − k A] = −i k ×(k × A)
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2. 达朗贝尔 达朗贝尔(d’Alembert)方程 方程 当采用洛伦兹规范时， 当采用洛伦兹规范时，所对应的势的方程称为达 朗贝尔方程。 朗贝尔方程。 1 ∂2 A ∇2 A− 2 2 = −µ0J c ∂t
的源， 和 均为有源情况下的波动。 的源，A和 ϕ均为有源情况下的波动。
这说明，在洛伦兹规范下，J是A的源，ρ 是 这说明，在洛伦兹规范下， 是 的源， 的源
ϕ 与时间无关， 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时， E = −∇ 与时间无关 时
就直接归结为电势。 这时ϕ 就直接归结为电势。
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二、 规范变换和规范不变性 1. 规范变换： 规范变换： 用矢势A和标势 描述电磁场不是唯一的， 用矢势 和标势ϕ描述电磁场不是唯一的，即给 定的E和 并不对应于唯一的 并不对应于唯一的A和 定的 和B并不对应于唯一的 和ϕ。 设矢势A和标势 是描述电磁场的一组势， 设矢势 和标势ϕ是描述电磁场的一组势，ψ为 任意时空函数， 任意时空函数，做变换
若采用库仑规范
1∂Α 1 ∂ ∇ Α− 2 2 − 2 ∇ϕ = −µ0J c ∂t c ∂t
2 2
ρ ∇ ϕ =− ε0
2
∇⋅ Α= 0
这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场形 式相同， 其解是库仑势。 式相同 ， 其解是库仑势 。 解出 ϕ 后代入第一式可 解出A，因而可以确定辐射电磁场。 解出 ，因而可以确定辐射电磁场。