第16章第1节隐函数存在定理
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x 0 的值.
解:
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 在(0,1)均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
令
依定理知方程 x 2 y 2 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内 能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的函数
1
在区域D : xi xi
0
ai ,
0
y y
0
b i 1, 2, n
上具有对一切变量的连续偏导数；
(2) F x1 , x2 ,, xn ; y (0) 0;
(3) Fy x1 , x2 ,, xn ; y (0) 0;
y x 0在(0, 0)点只有Fy 0 。
3 3
不满足条件(3) ， 但却有y x .
3 即使方程F x, y 0能确定隐函数，
1 也不见的能从中解出，例如y x sin y 0 2 从中解出y .
15
§16.1. 隐函数存在定理
例 2:验证方程 x 2 y 2 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F x , y0 b 0， F x , y0 b 0.
8
§16.1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x , y .
上式说明函数在y0 b及y0 b异号,由根的存在性定理,
存在 y y0 b, y0 b ，使得
又因Fy x , y 0， 故F x , y 关于y是严格单增的，
17
§16.1. 隐函数存在定理
y dy 例 3: 已知 ln x y arctan ，用公式求 . x dx
2 2
y 解: 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
2 2
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
2 2
在点(0,1)的某个邻域 D 内由方程 x 2 y 2 1 0 可以确
1
定唯一的 y 1 x 2 。在点的某个邻域 D2 内由方程
x 2 y 2 1 0 可确定唯一的 y 1 x .
2
14
§16.1. 隐函数存在定理
（2）定理的条件是充分的，非必要的。
于是存在y y1 , y1 ，使得
F x ,y 0.
这表示对于邻域O x1 , 内的任一点x , 它所对应的函数值y成立着 y y1 .
即y f x 在O x0 , 内连续;
11
§16.1. 隐函数存在定理
3
最后证明y f x 的可微性.
9
§16.1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
设x1是O x0 , 内任意一点, 记y1 f x1 。
F x1 , y1 0, F x1 , y1 0.
0，由刚才证明知
又由F x , y 的连续性可知一定存在x1的某 一邻域O x1 , 内成立着
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
因而使F x , y 0的 y必定唯一.
F x , y 0.
显然有y0 f x0 .
所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
F x, y0 b 0.
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
F x, y0 b 0， F x, y0 b 0.
设 x为O x0 , 中任一点,由以上讨论知
4
§16.1. 隐函数存在定理
定理1. 设F x , y 满足条件 : (1) 在区域D : x x0 a , y y0 b上Fx , Fy 连续; (2) F x0 , y0 0; (3)Fy x0 , y0 0.
则有以下结果： （1）在点 x0 , y0 的某一邻域内, F x , y 0唯一确定 一个函数y f x , 且y0 f x0 .
F x, y1 0 和 F x, y1－ 0.
10
§16.1. 隐函数存在定理
对O x 1 , 内任何一点 x ，将它固定而考虑 y 的函数 F x , . y
它是y的严格增加的函数，并且
F x, y1 0 和 F x, y1－ 0.
它在 0，-1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 下半圆）
但在 1,0 和1， 0 这两点的任何邻域内却不具有 这种性质。
(-1,0) (0,1) (1,0)
(0,-1)
3
§16.1. 隐函数存在定理
所以需要讨论在什么条件下,在适合方程F(x,y)=0 的点的某个邻域内,由方程可以确定唯一一个函数y=f(x), 并且它具有我们所需要的一些性质(连续性.可微性等). 下面的定理告诉我们,如何从二元函数F(x,y)的性质 来断定由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)是存在的,并且 这个函数还将具有某些特性. 下面的定理统称为隐函数存在定理.
18
§16.1. 隐函数存在定理
例4： 证明有唯一可导的函数y y( x ) 满足方程 sin y shy x, 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个 平面上连续.Fx 1, Fy cos y chy也连续.
0 0 0
0
0
则有以下结果 :
1
在点 x1 , x2 ,, xn , y 的某一邻域内，方程
20
0
0
0
§16.1. 隐函数存在定理
F x1 , x2 , , xn ; y 0 唯一确定一个函数y f x1 , x2 , , xn 且 y
因为Fy 0.由隐函数存在定理知 sin y shy x在任何一点都能唯一确定y 为x的函数y f Fx 1 y' . Fy cos y chy
19
x , 且f x 具有连续导函数，
§16.1. 隐函数存在定理
二、多变量情形 定理2若函数F x1 , x2 ,, xn; y 满足以下条件 :
下证(1).由条件(3),Fy x, y 0, 不妨设Fy x0 , y0 0.
由Fy x, y 的连续性，
可知Fy x, y 在点 x0 , y0 的某个邻域内也大于0，
不妨设在D上Fy x, y 0.
6
§16.1. 隐函数存在定理
由于Fy x, y 在整个D上大于0，因此将x x0固定，
考虑一元函数F x, y0 b .
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在1 0， 在邻域O x0 ,1 内,
F x, y0 b 0.
7
§16.1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b . 由于F x0 , y0 b 0，
(2) y f x 在O x0 , 内连续;
5
§16.1. 隐函数存在定理
(3) y f x 在O x0 , 内具有连续导数, 且 Fx x , y y' （隐函数求导公式） . Fy x , y
证明： 由条件(1), F x, y 在D上必连续.
所以
由于y f x 和Fx x , y , Fy x , y 的连续性 及Fy x , y 0,
Fx x 2 x, y y x Fy x x, y 1y
在上式的两端令x 0得
Fx x, y y f ' x lim x 0 x Fy x, y
让y在 y0 b, y0 b 内变化, 显然有
Fy x0 , y 0
y0 b y y0 b
这表明F x0 , y 在区间 y0 b, y0 b 上严格单增.
因为F x0 , y0 0,
由函数的连续性知F x0 , y0 b 0, F x0 , y0 b 0.
y 1 x .
2
16
§16.1. 隐函数存在定理
函数的一阶和二阶导数为
Fx dy x, y dx Fy
d2y y xy 2 dx y2
d2y dx 2 1.
x 0
dy dx
0,
x 0
x y x y 1 , 3 2 y y
13
由x的任意性，即 f（x）在o（x0， ）可导且f （x）连续。
§16.1. 隐函数存在定理
说明: （ 1） 定理的结论是局部性的， 即在点 ( x0 , y0 ) 的 某个邻域内由方程 F ( x, y) 0 可以唯一确定一个可 微的隐函数。
例如： F ( x, y) x y 1 0
设 x， x x是O x0 , 内任意两点，记 y f x ,
由函数y f x 的定义可知
y y f x x .
F x , y 0, 所以
F x x , y y 0.
0 F x x , y y F x , y
0
f x1 , x2 , , xn
(3) y f x1 , x2 , , xn 在内对各个变量有连续偏导数; 且 f xi Fxi x1 , x2 , , xn ; y Fy x1 , x2 , , xn ; y
F x x , y y F x x , y F x x , y F x , y
Fy x x , y 1y y Fx x 2 x , y x
12
§16.1. 隐函数存在定理
这里0 1, 0 1.
Chapt.16 隐函数存在定理 , 函数相关 §16.1. 隐函数存在定理
§1.隐函数存在定理
§2.函数行列式的性质、函数相关
1
§16.1. 隐函数存在定理
一、 F x, y 0情形
在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多 是自变量的某个算式，如
y x 1 , u e (sin xy sin yz sin zx)
xyz
这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会 遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对 应法则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称 为隐函数.
2
§16.1. 隐函数存在定理
例1: 设有方程F x, y x2 y2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）
解:
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 在(0,1)均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
令
依定理知方程 x 2 y 2 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内 能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的函数
1
在区域D : xi xi
0
ai ,
0
y y
0
b i 1, 2, n
上具有对一切变量的连续偏导数；
(2) F x1 , x2 ,, xn ; y (0) 0;
(3) Fy x1 , x2 ,, xn ; y (0) 0;
y x 0在(0, 0)点只有Fy 0 。
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不满足条件(3) ， 但却有y x .
3 即使方程F x, y 0能确定隐函数，
1 也不见的能从中解出，例如y x sin y 0 2 从中解出y .
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§16.1. 隐函数存在定理
例 2:验证方程 x 2 y 2 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F x , y0 b 0， F x , y0 b 0.
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§16.1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x , y .
上式说明函数在y0 b及y0 b异号,由根的存在性定理,
存在 y y0 b, y0 b ，使得
又因Fy x , y 0， 故F x , y 关于y是严格单增的，
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§16.1. 隐函数存在定理
y dy 例 3: 已知 ln x y arctan ，用公式求 . x dx
2 2
y 解: 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
2 2
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
2 2
在点(0,1)的某个邻域 D 内由方程 x 2 y 2 1 0 可以确
1
定唯一的 y 1 x 2 。在点的某个邻域 D2 内由方程
x 2 y 2 1 0 可确定唯一的 y 1 x .
2
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§16.1. 隐函数存在定理
（2）定理的条件是充分的，非必要的。
于是存在y y1 , y1 ，使得
F x ,y 0.
这表示对于邻域O x1 , 内的任一点x , 它所对应的函数值y成立着 y y1 .
即y f x 在O x0 , 内连续;
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§16.1. 隐函数存在定理
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最后证明y f x 的可微性.
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§16.1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
设x1是O x0 , 内任意一点, 记y1 f x1 。
F x1 , y1 0, F x1 , y1 0.
0，由刚才证明知
又由F x , y 的连续性可知一定存在x1的某 一邻域O x1 , 内成立着
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
因而使F x , y 0的 y必定唯一.
F x , y 0.
显然有y0 f x0 .
所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
F x, y0 b 0.
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
F x, y0 b 0， F x, y0 b 0.
设 x为O x0 , 中任一点,由以上讨论知
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§16.1. 隐函数存在定理
定理1. 设F x , y 满足条件 : (1) 在区域D : x x0 a , y y0 b上Fx , Fy 连续; (2) F x0 , y0 0; (3)Fy x0 , y0 0.
则有以下结果： （1）在点 x0 , y0 的某一邻域内, F x , y 0唯一确定 一个函数y f x , 且y0 f x0 .
F x, y1 0 和 F x, y1－ 0.
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§16.1. 隐函数存在定理
对O x 1 , 内任何一点 x ，将它固定而考虑 y 的函数 F x , . y
它是y的严格增加的函数，并且
F x, y1 0 和 F x, y1－ 0.
它在 0，-1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 下半圆）
但在 1,0 和1， 0 这两点的任何邻域内却不具有 这种性质。
(-1,0) (0,1) (1,0)
(0,-1)
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§16.1. 隐函数存在定理
所以需要讨论在什么条件下,在适合方程F(x,y)=0 的点的某个邻域内,由方程可以确定唯一一个函数y=f(x), 并且它具有我们所需要的一些性质(连续性.可微性等). 下面的定理告诉我们,如何从二元函数F(x,y)的性质 来断定由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)是存在的,并且 这个函数还将具有某些特性. 下面的定理统称为隐函数存在定理.
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§16.1. 隐函数存在定理
例4： 证明有唯一可导的函数y y( x ) 满足方程 sin y shy x, 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个 平面上连续.Fx 1, Fy cos y chy也连续.
0 0 0
0
0
则有以下结果 :
1
在点 x1 , x2 ,, xn , y 的某一邻域内，方程
20
0
0
0
§16.1. 隐函数存在定理
F x1 , x2 , , xn ; y 0 唯一确定一个函数y f x1 , x2 , , xn 且 y
因为Fy 0.由隐函数存在定理知 sin y shy x在任何一点都能唯一确定y 为x的函数y f Fx 1 y' . Fy cos y chy
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x , 且f x 具有连续导函数，
§16.1. 隐函数存在定理
二、多变量情形 定理2若函数F x1 , x2 ,, xn; y 满足以下条件 :
下证(1).由条件(3),Fy x, y 0, 不妨设Fy x0 , y0 0.
由Fy x, y 的连续性，
可知Fy x, y 在点 x0 , y0 的某个邻域内也大于0，
不妨设在D上Fy x, y 0.
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§16.1. 隐函数存在定理
由于Fy x, y 在整个D上大于0，因此将x x0固定，
考虑一元函数F x, y0 b .
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在1 0， 在邻域O x0 ,1 内,
F x, y0 b 0.
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§16.1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b . 由于F x0 , y0 b 0，
(2) y f x 在O x0 , 内连续;
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§16.1. 隐函数存在定理
(3) y f x 在O x0 , 内具有连续导数, 且 Fx x , y y' （隐函数求导公式） . Fy x , y
证明： 由条件(1), F x, y 在D上必连续.
所以
由于y f x 和Fx x , y , Fy x , y 的连续性 及Fy x , y 0,
Fx x 2 x, y y x Fy x x, y 1y
在上式的两端令x 0得
Fx x, y y f ' x lim x 0 x Fy x, y
让y在 y0 b, y0 b 内变化, 显然有
Fy x0 , y 0
y0 b y y0 b
这表明F x0 , y 在区间 y0 b, y0 b 上严格单增.
因为F x0 , y0 0,
由函数的连续性知F x0 , y0 b 0, F x0 , y0 b 0.
y 1 x .
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§16.1. 隐函数存在定理
函数的一阶和二阶导数为
Fx dy x, y dx Fy
d2y y xy 2 dx y2
d2y dx 2 1.
x 0
dy dx
0,
x 0
x y x y 1 , 3 2 y y
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由x的任意性，即 f（x）在o（x0， ）可导且f （x）连续。
§16.1. 隐函数存在定理
说明: （ 1） 定理的结论是局部性的， 即在点 ( x0 , y0 ) 的 某个邻域内由方程 F ( x, y) 0 可以唯一确定一个可 微的隐函数。
例如： F ( x, y) x y 1 0
设 x， x x是O x0 , 内任意两点，记 y f x ,
由函数y f x 的定义可知
y y f x x .
F x , y 0, 所以
F x x , y y 0.
0 F x x , y y F x , y
0
f x1 , x2 , , xn
(3) y f x1 , x2 , , xn 在内对各个变量有连续偏导数; 且 f xi Fxi x1 , x2 , , xn ; y Fy x1 , x2 , , xn ; y
F x x , y y F x x , y F x x , y F x , y
Fy x x , y 1y y Fx x 2 x , y x
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§16.1. 隐函数存在定理
这里0 1, 0 1.
Chapt.16 隐函数存在定理 , 函数相关 §16.1. 隐函数存在定理
§1.隐函数存在定理
§2.函数行列式的性质、函数相关
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§16.1. 隐函数存在定理
一、 F x, y 0情形
在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多 是自变量的某个算式，如
y x 1 , u e (sin xy sin yz sin zx)
xyz
这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会 遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对 应法则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称 为隐函数.
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§16.1. 隐函数存在定理
例1: 设有方程F x, y x2 y2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）