高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教(1).ppt
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(2)任一元素的负元素是唯一的,的负元素记 作 ;
(3)0 0;(1) ; 0 0; (4)如果 0,则 0或 0.
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三、 子空间
定义1:设 V 是一个线性空间，L是 V的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V 的子空间．
定理1:线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L对于 V 中的线性运算封闭．
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四、 线性空间的维数、基与坐标
定义2: 在线性空间V中,如果存在n个元素 1 , 2 , , n ,满足:
(1) 1 , 2 ,, n 线性无关; (2)V中任一元素总可由 1 , 2 ,, n 线 性表示,那么, 1 , 2 ,, n 就称为线性空间V的一
2 p12 1 p22 2 pn2 n ,
(1)
n p1n 1 p2n 2 pnn n ,
把 1 ,, n 这n个有序元素记作( 1 ,, n),利用向
量和矩阵的形式, (1)式可表示为
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1 p11
2
p12
n p1n
p21 p22
p2n
pn1 1
1
pn2
2
PT
2
pnn n
n
或 ( 1 , 2 ,, n) ( 1 , 2 ,, n)P. (2)
(1)或(2)称为基变换公式,矩阵P称为由基 1 ,
2
,,
n
到基
1
,
2
,
,
的
n
过渡矩
阵.由于
1
,
2 ,, n 线性无关,故过渡矩阵可逆.
那么，V就称为（实数域 R上的）向量空间（ 或线性空间），V中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量．
简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间．
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二、 线性空间的性质
(1)零元素是唯一的;
线性空间的结构完全被它的维数所决定． 任何 n 维线性空间都与 Rn同构，即维数相等 的线性空间都同构．
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五、 基变换
设 1 ,, n 及 1 ,, n是线性空间V n中的两
个基,
1 p11 1 p21 2 pn1 n ,
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七、 线性变换的定义
设有两个非空集合A, B,如果对于A中的任一
元素 ,按照一定规则,总有B中一个确定的元素
和它对应,那么, 这个对应规则称为从集合A到集合 B的变换(或映射),记作
T ( ) 或 T ,( A).
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第八章 线性空间
§8.1 线性空间的结构
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一、 线性空间的定义
设V 是一个非空集合, R为实数域.百度文库果对于任
意两个元素 , V ,总有唯一的一个元素 V与 之对应, 称为与的和,记作 ;又对于任一 数 R与任一元素 V ,总有唯一的一个元素 V与之对应, 称为与的积,记作 ;并且这 两种运算满足以下八条运算规律(设 , , V ; , R) :
x1 , x2 ,, xn 这组有序数就称为元素在 1 , 2 ,,
n 这个基下的坐标,并记作
( x1 , x2 ,, xn )T .
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一般地，设 V与 U 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 V与 U 同构．
则有坐标变换公式
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x1 x1'
x2
P
x2
'
,
xn xn'
x1'
x1
或
x2
'
P
1
x2
.
xn'
xn
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变
换公式, 则两个基满足基变换公式
( 1 , 2 ,, n) ( 1 , 2 ,, n)P.
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六、 坐标变换
设V n中的元素 ,在基 1 , 2 ,, n 下的坐标为
( x1 , x2 ,, xn)T ,
在基 1, 2 ,, n下的坐标为
( x1', x2 ',, xn ' )T , 若两个基满足关系式
( 1 , 2 ,, n) ( 1 , 2 ,, n)P
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(1) ; (2)( ) ( ); (3)在V中存在零元素0;对任何 V ,都有
0 ; (4)对任何 V ,都有的负元素 V ,使
0;
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(5)1 ; (6)( ) (); (7)( ) ; (8)( ) ,
个基, n称为线性空间V的维数. 维数为n的线性空间称为n维线性空间,记作V n .
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定义3 设 1 , 2 ,, n是线性空间V n的一个基,对于
任一元素 V n ,总有且仅有一组有序数x1 , x2 ,,
xn,使
x1 1 x2 2 xn n ,
设 A,T ( ) ,就说变换T把元素变为 , 称为在变换T下的象,称为在变换T下的源.
A称 为 变 换T的 源 集, 象 的 全 体 所 构 成 的 集 合称 为 象集,记作T ( A),即
T ( A) T ( ) A,
显然T ( A) B. 变换的概念是函数概念的推广．
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设V n ,U m 分别是实数域上的n维和m维线性空 间,T是一个从V n到U m的变换,如果变换T满足
(1)任给 1 , 2 V n ,(从而 1 2 V n),有 T ( 1 2) T ( 1) T ( 2);
(3)0 0;(1) ; 0 0; (4)如果 0,则 0或 0.
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三、 子空间
定义1:设 V 是一个线性空间，L是 V的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V 的子空间．
定理1:线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L对于 V 中的线性运算封闭．
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四、 线性空间的维数、基与坐标
定义2: 在线性空间V中,如果存在n个元素 1 , 2 , , n ,满足:
(1) 1 , 2 ,, n 线性无关; (2)V中任一元素总可由 1 , 2 ,, n 线 性表示,那么, 1 , 2 ,, n 就称为线性空间V的一
2 p12 1 p22 2 pn2 n ,
(1)
n p1n 1 p2n 2 pnn n ,
把 1 ,, n 这n个有序元素记作( 1 ,, n),利用向
量和矩阵的形式, (1)式可表示为
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1 p11
2
p12
n p1n
p21 p22
p2n
pn1 1
1
pn2
2
PT
2
pnn n
n
或 ( 1 , 2 ,, n) ( 1 , 2 ,, n)P. (2)
(1)或(2)称为基变换公式,矩阵P称为由基 1 ,
2
,,
n
到基
1
,
2
,
,
的
n
过渡矩
阵.由于
1
,
2 ,, n 线性无关,故过渡矩阵可逆.
那么，V就称为（实数域 R上的）向量空间（ 或线性空间），V中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量．
简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间．
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二、 线性空间的性质
(1)零元素是唯一的;
线性空间的结构完全被它的维数所决定． 任何 n 维线性空间都与 Rn同构，即维数相等 的线性空间都同构．
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五、 基变换
设 1 ,, n 及 1 ,, n是线性空间V n中的两
个基,
1 p11 1 p21 2 pn1 n ,
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七、 线性变换的定义
设有两个非空集合A, B,如果对于A中的任一
元素 ,按照一定规则,总有B中一个确定的元素
和它对应,那么, 这个对应规则称为从集合A到集合 B的变换(或映射),记作
T ( ) 或 T ,( A).
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第八章 线性空间
§8.1 线性空间的结构
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一、 线性空间的定义
设V 是一个非空集合, R为实数域.百度文库果对于任
意两个元素 , V ,总有唯一的一个元素 V与 之对应, 称为与的和,记作 ;又对于任一 数 R与任一元素 V ,总有唯一的一个元素 V与之对应, 称为与的积,记作 ;并且这 两种运算满足以下八条运算规律(设 , , V ; , R) :
x1 , x2 ,, xn 这组有序数就称为元素在 1 , 2 ,,
n 这个基下的坐标,并记作
( x1 , x2 ,, xn )T .
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一般地，设 V与 U 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 V与 U 同构．
则有坐标变换公式
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x1 x1'
x2
P
x2
'
,
xn xn'
x1'
x1
或
x2
'
P
1
x2
.
xn'
xn
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变
换公式, 则两个基满足基变换公式
( 1 , 2 ,, n) ( 1 , 2 ,, n)P.
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六、 坐标变换
设V n中的元素 ,在基 1 , 2 ,, n 下的坐标为
( x1 , x2 ,, xn)T ,
在基 1, 2 ,, n下的坐标为
( x1', x2 ',, xn ' )T , 若两个基满足关系式
( 1 , 2 ,, n) ( 1 , 2 ,, n)P
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(1) ; (2)( ) ( ); (3)在V中存在零元素0;对任何 V ,都有
0 ; (4)对任何 V ,都有的负元素 V ,使
0;
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(5)1 ; (6)( ) (); (7)( ) ; (8)( ) ,
个基, n称为线性空间V的维数. 维数为n的线性空间称为n维线性空间,记作V n .
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定义3 设 1 , 2 ,, n是线性空间V n的一个基,对于
任一元素 V n ,总有且仅有一组有序数x1 , x2 ,,
xn,使
x1 1 x2 2 xn n ,
设 A,T ( ) ,就说变换T把元素变为 , 称为在变换T下的象,称为在变换T下的源.
A称 为 变 换T的 源 集, 象 的 全 体 所 构 成 的 集 合称 为 象集,记作T ( A),即
T ( A) T ( ) A,
显然T ( A) B. 变换的概念是函数概念的推广．
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设V n ,U m 分别是实数域上的n维和m维线性空 间,T是一个从V n到U m的变换,如果变换T满足
(1)任给 1 , 2 V n ,(从而 1 2 V n),有 T ( 1 2) T ( 1) T ( 2);