三角函数 高考考点分析

专题2 三角函数

四川省绵阳普明中学 邓 虎 621000

【考点略揽】

三角函数的基础知识（三角函数的概念，三角函数的诱导公式，和、差、倍角公式），三角函数求值（知非特殊角求值，知值求值及知值求角）与比较大小，三角函数的性质（函数解析式、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、对称性和周期性），三角函数的图象（五点法作图与图象变换），三角函数与其它知识的综合（函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用）．重点是通过三角公式变形考查基本知识、基本技能（公式的灵活运用、变换能力）与方法，并在三角形中考查三角形的知识与三角函数知识．

【典型考题分析】

【考点1】三角函数式的化简与证明

例1－1 化简：⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+---+⋅⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+---+1sec 1sec 1sec 1sec sin 1sin 1sin 1sin 1x x x x x x x x ． 【命题要害剖析】“脱”去根号是化简的目标，这就要求根号下面成为完全平方式，注意到三角函数的平方关系式，利用1cos sin 2

2

=+αα的变形性质可以达到．化简要求是：（1）能求出值的尽量求出值；

（2）使三角函数的种类尽量少；（3）项数尽量少；（4）尽量使分母不含三角函数；（5）尽量使被开方数不含三角函数．【参考答案】⎩⎨

⎧-)

(4)(4四象限在第二三象限在第一，，αα

【相关试题命题趋势】三角函数中＂脱＂去根号是常见的变形形式，借助这种变形考查对ααααcos 1,sin 1cos ,sin ±±及的相互关系是高考中常见的题目．

例1－2 （08湖北卷理第16题） 已知函数t

t

t f +-=

11)(，)(cos sin )(sin cos )(x f x x f x x g ⋅+⋅=，]12

17,

(π

π∈x ．（1）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[ 0，2π ]）的形式；（2）求函数g （x ）的值域．

【命题要害剖析】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变形、代数式的化简变形和运算能力．三角函数恒等变形的基本策略有：（1）常值代换：特别是用“1”的

代换，如1 = cos 2θ + sin 2

θ = tan x · cot x = tan45° 等；（2）项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin 2x + 2cos 2x =（sin 2x + cos 2x ）+ cos 2x = 1 + cos 2x ；配凑角：α =（α + β）－β，β =2βα+－2

βα-等；（3）降次与升次．即

倍角公式降次与半角公式升次；（4）化弦（切）法．将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）；（5）引入辅助角．a sin θ + b cos θ =2

2

b a +sin （θ +ϕ），这里辅助角ϕ 所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ 角的值由tan ϕ =

a b 确定；（6）万能代换法．巧用万能公式可将三角函数化成tan 2

θ

的有理式．证明三角等式的思路和方法常有：（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式；（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法．【参考答案】（1

2.4x π⎛

⎫+- ⎪⎝

⎭

（2

）)

2,3.⎡-⎣

【相关试题命题趋势】对该部分的考查仍会以三角公式的灵活应用为主，考查角的变换以及公式的变形应用．

【考点2】三角函数中的知值求值问题

例 2 （08天津卷理第17题） 已知⎪⎭

⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4

,2,1024cos πππx x ．（1）求x sin 的值；

（2）求⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+32sin πx 的值．

【命题要害剖析】寻求已知值与待求值之间的关系是此类题的关键，（1）问依据拆角、凑角的方法写出⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

-

=4)4

(sin sin ππ

x x ，

从而产生思路：先求)4

sin(π

-x ，

再求x sin ，然后求x cos ，最后求出x 2sin ，x 2cos 而求目标．此类题目主要有以下几种题型：

（1）考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式的能力，以及求三角函数的值的基本方法；（2）考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的

正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求值的问题；（3）考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识．【参考答案】（1）

5

4，（2）503

724+-

【相关试题命题趋势】对该部分的考查会在考查三角与向量或其他内容相结合的同时，考查倍角、半

角公式的化简功能．

【考点3】三角函数中的知值求角问题

例3 （07四川卷理第17题）已知0,14

13

)cos(,71cos 且=β-α=α＜β＜α＜2π，（1）求α2tan 的值；（2）求β．

【命题要害剖析】发现角的差异)(βααβ--=，利用已知0＜β＜α＜

2

π

准确判断出02παβ<-<，

从而求出)sin(βα-的值是要点． 这类题除要掌握教材公式间的内在联系外，还要注意通性通法，即发

现角的差异（角度、函数名称、式子结构、技巧等），寻找联系（正用，逆用，变形用，灵活用公式），合理转化（由因导果，由果探因），其巧与【考点1】相似． 【参考答案】473

8-

，3

πβ=． 【考点4】“五点法”与三角函数的图象

例4 （07安徽卷理第6题）函数()3sin 2f x x π⎛

⎫=-

⎪3⎝

⎭的图象为C ；①图象C 关于直线11

12

x =π对称；②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫

- ⎪1212⎝⎭

，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得

到图象C 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【命题要害剖析】将3

2π

-

x 看作一个整体，与x y sin =的单调区间，对称轴与对称中心对应求解．正

弦函数既是轴对称（对称轴为2

π

π+

=k x ）也是中心对称（对称中心为)0,(πk ）．从“整体换元”的思想

去认识理解运用“五点法作图”，对)sin(ϕω+=x A y 的单调区间，解析式，对称轴与对称中心问题有很好的指导作用，注意它们与x y sin =的联系． 【参考答案】D （①②③）

【考点5】三角函数的图象变换

例5－1（08山东卷理第17题）已知函数f （x ）=)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x ，)0,0(><<ωϕπ为偶函数，且函数y = f （x ）图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（1）求f （8

π

）的值；

（2）将函数y = f （x ）的图象向右平移

6

π

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y = g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．

【命题要害剖析】因为 f （x ）为偶函数，所以 对x ∈R ，f （－x ）= f （x ）恒成立，从而求出.2=　ω其次将f （x ）的图象向右平移个6

π

个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4

倍，纵坐标不变，得到)6

4

(π

-

x

f 的图象．三角函数的图象变换与函数变换紧密相联，都是自变量x 或函

数值y 进行的变换，这一点要十分小心．在变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现在题目中，所以必须熟练掌握． 【参考答案】.2)8

(=

π

f ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

++384,324ππππk k