组合数学+卢开澄版++答案第二章

2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。

解：()()

++++++=++++++=n n n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780

()0464143213

13

=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a

左右同乘再连加：

0464:0

464:0

464:0464:

4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x

母函数：()()42

162036-+-=x x x x G

2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。 解：1(1)

n x -的第k 项为：11()k

n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)

x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x

x x --+,求序列{ n a } 解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)

61()91(x B x A ++- 从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4

778963B A B A B A G （X ）=)

61(4)91(7x x +-+- G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -

4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x x

n a =7*n )6(*49n --

2.4．已知母函数239156x x x

---，求对应的序列{}n a 。 解：母函数为239()156x G x x x -=

--39(17)(18)x x x -=+- A B G(x)17x 18x

A(18x)B(17x)39x =

++--++=-令 A B 38A+7B=9+=⎧⎨--⎩

解得：A=2 B=1

所以 i i i 0i 0

21G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+

2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。证明：0321=+---n n n G G G ，

n =2，3，4…。求},,,{210 G G G 的母函数。

解：设 ++++=332210)(x G x G x G G x H ，则

44332210)(x G x G x G x G G x H ++++= ……① ++++=43322103333)(3x G x G x G x G x xH ……② +++=4231202)(x G x G x G x H x ……③ ①-②+③，得：

()x G x G G x H x x 01023)(31-+=+-

又已知 n n F G 2=，则 000==F G ，121==F G 所以，)2

53)(253(31)(2x x x x x x x H ---+=+-= 设x B x A

x H --+-+=253253)(，则可列出方程组：