空间解析几何ppt1.4
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b1 b2
思考题：
1. 在△ABC 中，设 AB ＝ e1 ， AC ＝ e2 ，AT 是角 A 的平分线（它与 BC 交于 T 点），试将 AT 分解为 e1 , e2 的线性组合.
[解]：因为
| |
BT TC
| |
＝
| |
e1 e1
| |
,
且 BT 与TC 方向相同，
| e1 | 所以 BT ＝ | e2 | TC .
例题
例 3 设 OPi ri (i 1, 2,3) ，试证 P1, P2 , P3 三点共线的充要条件是存在
不全为零的实数 1, 2 , 3 使得 1r1 2 r2 3 r3 0 ，且 1 2 3 0 .
例4 设 a, b 为两不共线向量，证明向量 u a1a b1b ， v a2 a b2b 共线的充要条件是 a1 a2 0 .
＝ m
1 m
从而 +＝ 1 + m ＝1.
1 m 1 m
“ ” 设 +＝1. 则有
OC ＝ OA ＋ OB
＝ OA ＋(1－) OB
= OB +( OA － OB ),
OC － OB ＝( OA － OB ),
所以 BC ＝ BA ,
从而 BC // BA .故 A，B，C 三点共线.
P22-23
AT ＝ | e2 | e1 | e1 | e2 .
| e1 | | e2 |
思考题：
2. 已知三个非零向量 a me1 ne2,b pe2 me3,c ne3 pe1 ， 其中 m,n,p 不全为零，试证明 a, b, c 共面.
[证明]：
pa pme1 pne2,
nb npe2 nme3,
成 e1,e2 的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数 x, y 被 e1,e2 惟一确定.
这时 e1,e2 叫做平面上向量的基底. B
P
E2
r
e2
O e1 E1
A
四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1,e2,e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量
e1,e2,e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1,e2,e3 的线性 组合，即
mc mne3 mpe1
将上式两端分别相加，则得
pa nb mc 0 .
即向量 a, b, c 线性相关，这说明它们共面.
思考题：
3. 如图 OA, OB , OC 是三个两两不共线的矢量 ，且 OC ＝ OA + OB ，试证 A, B, C 三点共线 的充要条件是 +＝1.
[证明]：“ ”因为 A，B，C 共线，从而有
r xe1 ye2 ze3 ， 并且其中系数 x, y, z 被 e1,e2,e3, r 惟一确定.
这时向量 e1,e2,e3 叫做空间向量的基底.
（1.4－3）
C P
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例题
例1 已知三角形OAB ，其中OA = a,OB = b ,而M、N
分别是三角形OA，OB 两边上的点，且有 OM = λa 0 < < 1 ， ON = μb 0 < < 1，设AN 与BM 相交于P ，试把向量OP = p
可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
r xe
（1.4－1）
并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
三、共面向量的基底
定理 1.4.2 如果向量 e1,e2 不共线，那么向量 r 与 e1,e2 共面的
充要条件是 r 可以用向量 e1,e2 线性表示，或者说向量 r 可以分解
《解析几何》
－Chapter 1
§4 向量的线性关系 与向量的分解
Contents
一、向量的线性组合 二、共线向量的基底
三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件
八、共面向量的条件
一、向量的线性组合
向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算. 定义 1.4.1 由向量 a1, a2, , an 与实数 1, 2 , , n 所组成的向量
（1.4－4）
那么 n 个向量叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关.
换句话说，向量 a1, a2, , an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1.4－4）才成立.
六、向量线性相关的条件
推论 一个向量 a 线性相关的wenku.baidu.com要条件为a＝0 .
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2, , an 线性相关的充要条件是 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
AC // CB ,
且有 m－1, 使 AC ＝m CB , OC － OA ＝m ( OB － OC ),
(1+m) OC ＝ OA ＋m OB ,
OC ＝ 1 OA ＋ m OB .
1 m
1 m
但已知 OC ＝ OA ＋ OB . 由 OC 对 OA , OB 分解的
唯一性可得
＝ 1 ,
1 m
分解成a 、b 的线性组合. B
bN
P
b
p
O a M
A
a
例题
例2 证明四面体对边中点的连线交于
一点，且互相平分. e3
D F
P1
e2
C
A
E
e1
B
五、向量的线性关系
定义 1.4.2 对于 n 个向量 a1, a2, , an ，如果存在不全为零的 n 个数
1, 2 , , n 使得
1a1 2 a2 n an＝0 ，
a 1a1 2 a2 n an ，
叫做向量的线性组合.
当向量 a 是向量 a1, a2, , an 的线性组合时，我们也说：向量 a 可以用向量 a1, a2, , an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量 a1, a2, , an 的线性组合.
二、共线向量的基底
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r
定理 1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关，那么这一组 向量就线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件
定理 1.4.6 两向量共线的充要条件是它们线性相关.
八、共面向量的条件
定理 1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理 1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关. 推论 空间四个以上向量总是线性相关.
1，5
2021
思考题：
1. 在△ABC 中，设 AB ＝ e1 ， AC ＝ e2 ，AT 是角 A 的平分线（它与 BC 交于 T 点），试将 AT 分解为 e1 , e2 的线性组合.
[解]：因为
| |
BT TC
| |
＝
| |
e1 e1
| |
,
且 BT 与TC 方向相同，
| e1 | 所以 BT ＝ | e2 | TC .
例题
例 3 设 OPi ri (i 1, 2,3) ，试证 P1, P2 , P3 三点共线的充要条件是存在
不全为零的实数 1, 2 , 3 使得 1r1 2 r2 3 r3 0 ，且 1 2 3 0 .
例4 设 a, b 为两不共线向量，证明向量 u a1a b1b ， v a2 a b2b 共线的充要条件是 a1 a2 0 .
＝ m
1 m
从而 +＝ 1 + m ＝1.
1 m 1 m
“ ” 设 +＝1. 则有
OC ＝ OA ＋ OB
＝ OA ＋(1－) OB
= OB +( OA － OB ),
OC － OB ＝( OA － OB ),
所以 BC ＝ BA ,
从而 BC // BA .故 A，B，C 三点共线.
P22-23
AT ＝ | e2 | e1 | e1 | e2 .
| e1 | | e2 |
思考题：
2. 已知三个非零向量 a me1 ne2,b pe2 me3,c ne3 pe1 ， 其中 m,n,p 不全为零，试证明 a, b, c 共面.
[证明]：
pa pme1 pne2,
nb npe2 nme3,
成 e1,e2 的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数 x, y 被 e1,e2 惟一确定.
这时 e1,e2 叫做平面上向量的基底. B
P
E2
r
e2
O e1 E1
A
四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1,e2,e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量
e1,e2,e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1,e2,e3 的线性 组合，即
mc mne3 mpe1
将上式两端分别相加，则得
pa nb mc 0 .
即向量 a, b, c 线性相关，这说明它们共面.
思考题：
3. 如图 OA, OB , OC 是三个两两不共线的矢量 ，且 OC ＝ OA + OB ，试证 A, B, C 三点共线 的充要条件是 +＝1.
[证明]：“ ”因为 A，B，C 共线，从而有
r xe1 ye2 ze3 ， 并且其中系数 x, y, z 被 e1,e2,e3, r 惟一确定.
这时向量 e1,e2,e3 叫做空间向量的基底.
（1.4－3）
C P
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例题
例1 已知三角形OAB ，其中OA = a,OB = b ,而M、N
分别是三角形OA，OB 两边上的点，且有 OM = λa 0 < < 1 ， ON = μb 0 < < 1，设AN 与BM 相交于P ，试把向量OP = p
可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
r xe
（1.4－1）
并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
三、共面向量的基底
定理 1.4.2 如果向量 e1,e2 不共线，那么向量 r 与 e1,e2 共面的
充要条件是 r 可以用向量 e1,e2 线性表示，或者说向量 r 可以分解
《解析几何》
－Chapter 1
§4 向量的线性关系 与向量的分解
Contents
一、向量的线性组合 二、共线向量的基底
三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件
八、共面向量的条件
一、向量的线性组合
向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算. 定义 1.4.1 由向量 a1, a2, , an 与实数 1, 2 , , n 所组成的向量
（1.4－4）
那么 n 个向量叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关.
换句话说，向量 a1, a2, , an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1.4－4）才成立.
六、向量线性相关的条件
推论 一个向量 a 线性相关的wenku.baidu.com要条件为a＝0 .
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2, , an 线性相关的充要条件是 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
AC // CB ,
且有 m－1, 使 AC ＝m CB , OC － OA ＝m ( OB － OC ),
(1+m) OC ＝ OA ＋m OB ,
OC ＝ 1 OA ＋ m OB .
1 m
1 m
但已知 OC ＝ OA ＋ OB . 由 OC 对 OA , OB 分解的
唯一性可得
＝ 1 ,
1 m
分解成a 、b 的线性组合. B
bN
P
b
p
O a M
A
a
例题
例2 证明四面体对边中点的连线交于
一点，且互相平分. e3
D F
P1
e2
C
A
E
e1
B
五、向量的线性关系
定义 1.4.2 对于 n 个向量 a1, a2, , an ，如果存在不全为零的 n 个数
1, 2 , , n 使得
1a1 2 a2 n an＝0 ，
a 1a1 2 a2 n an ，
叫做向量的线性组合.
当向量 a 是向量 a1, a2, , an 的线性组合时，我们也说：向量 a 可以用向量 a1, a2, , an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量 a1, a2, , an 的线性组合.
二、共线向量的基底
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r
定理 1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关，那么这一组 向量就线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件
定理 1.4.6 两向量共线的充要条件是它们线性相关.
八、共面向量的条件
定理 1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理 1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关. 推论 空间四个以上向量总是线性相关.
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