空间解析几何(精品课件)

第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
三. 空间坐标系
1.仿射坐标系{O; 1, 2, 3 }
坐标原点; 坐标向量(基); 坐标轴; 坐标(分量) ;
右(左)手仿射坐标系.
3
O
1
= x1+y2+z3= (x, y, z)
2
第三章 几何空间
2. 空间直角坐标系 {O;i , j, k}
引言
解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质.
几何与代数间最早的桥梁是由17世纪笛卡尔和 费马建立的平面解析几何. 1715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间 解析几何. 解析几何为微积分的出现创造了条件.
几何向量是研究空间解析几何的工具；也是 研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机 图形学、三维游戏设计等学科的工具.
① 1
② 结合律 mn mn
③ 分配律 m n m n;m m m
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
例1. 设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点,
AP与BQ交于点M.
A
证明:
AM
=
A
2 3
AP.
A

D
AB AD DB （减数指向被减数 ） DB AB AD （后项减去前项 ）
运算性质:
三角不等式
注: 当, 平行时，等式成立。
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
3. 向量与数量的乘法（数乘） 向量的伸缩
定理3.3 在空间中取定三个不共面的1, 2, 3, 则 对空间中任一向量 都存在唯一的有序 实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
OP OM MQ QP x1 y2 z3
唯一性： x11 y12 z13 x21 y22 z23
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
2. 向量的加法






B

O

A



1). 平行四边形法则
2). 三角形法则 首尾相接 OA AB OB 多边形法则 OA AB BC GH OH
1). 定义： m //
与相同, 若m 0
模： m m 方向： 与相反, 若m 0
注:
①
m
=


m
=
0
或


=
任意,
.
若m 0
② (1) = .
2).
③ 单位向量：长度为1的向量
非零向量的单位化： , 0
运算性质
0


一. 空间向量的线性运算
1. 向量的概念及其表示 1). 向量：既有大小又有方向的量 AB, , , , a, b 2). 向量的长度或模： AB , , a 3). 自由向量：只考虑向量的大小和方向不计较起点位置 4). 相等向量： 长度相等且方向相同 5). 负向量： 长度相等且方向相反 6). 零向量： 或 0 长度为零，方向任意 7). 单位向量：长度为1 8). 平行(共线)向量： // 方向相同或相反
注：设向量1, 向量2与1共线 2可由1唯一的线性表示.
推论3.1 向量1, 2共线 存在不全为零的实数k1, k2使得k11+k22 = .
1, 2共线 ? 存在唯一的实数k使得 2 = k1
当1=, 2 时, 1, 2共线但2 k1
注：若向量1,2 不平行, 则向量3与1,2共面 3可由1,2 唯一的线性表示.
推论3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零 的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = .
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
3. 共面的判定
3
M
x1 x2 1 y1 y2 2
O
z1 z2 3
1,2 ,3不共面,
1
x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 .
P Q
2
定理3.3 在空间中取定三个不共面的1, 2, 3, 则 对空间中任一向量都存在唯一的有序 实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
0


2. 投影的概念
向量AB在轴u上的投影为 A
(AB)u = ||AB||cos
0, 0,
若0 2 若 2
A
其中为向量AB与轴u的夹角.
(注意投影是一个有正负的数)
B u
B u
第三章 几何空间
投影的性质
(AB)u = ||AB||cos
1. 线性表示 ∃实数k1, k2 , k3, 使得=k11+k22+k33.
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.
(2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.
(3) 在空间上任意一个向量都可以由空间上三个 不共面向量唯一的线性表示.
§3.1-2空间向量及空间坐标系
坐标分解式: OP xi yj zk x, y, z • 坐标原点
P(x,y,z)的向径
• 坐标轴
III -,-,+
z z 轴(竖轴)
Ⅱ -,+,+
• 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅳ+,-,+
Ⅶ -,-,-
x
x轴(横轴) Ⅷ +,-,-
yoz面
o xoy面
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
第三章 几何空间
五. 空间向量的数量积
§3.1-2空间向量及空间坐标系
1. 两个非零向量之间的夹角 0 ,
0


2. 投影的概念
B A A B u
第三章 几何空间
五. 空间向量的数量积
§3.1-2空间向量及空间坐标系
1. 两个非零向量之间的夹角 0 ,
3). 运算性质: , ,
① 交换律 ② 结合律
③
④
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
向量的减法



B

1,2不平行,3与1,2共面 3 可由1,2唯一线性表示
在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向 量唯一的线性表示. 在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向 量唯一的线性表示.
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
1,2不平行,3与1,2共面3 可由1,2唯一线性表示.
二. 共线、共面向量的判定
三. 空间坐标系
四. 空间向量线性运算的坐标表示
五. 空间向量的数量积
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
二. 共线、共面向量的判定
1. 共线、共面向量的定义
A3
O
3
1
2
A1
A2
1, 2, …, s共线: 点O, A1, A2, …, As在同一直线上.
s
2 1
As O
A2 A1
1, 2, …, s共面: 点O, A1, A2, …, As在同一平面上.
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
二. 共线、共面向量的判定
2. 共线的判定 // , 3 1 2
定理3.1 设向量1, 向量2与1共线 k0？ 存在唯一的实数k使得 2 = k1. 不一定
Ⅰ+,+,+
y
y轴(纵轴)
Ⅴ+,+,-
Ⅵ -,+,-
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
四. 空间向量线性运算的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 则 k1+k2 =(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2, k1z1+k2z2).
例3.设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 求 向量P1P2的坐标.
存在一个向量可由其余向量线性表示(.但不知是哪个向量)
推论3.2 向量1, 2 , 3共面 1,2 ,3 线性相关.
注：向量1, 2 , 3不共面 k11+k22+k33 = 只有零解，即k1= k2 = k3 =0 1,2 ,3 线性无关
任何一个向量都不能由其余向量线性表示.
若点P(x, y, z)把有向线段P1P2分成定比, 即P1P = PP2 ( 1), 求分点P的坐标.

OPOP1 = (OP2OP )

z P 1 P P2
OP
=
OP1+OP2 1+
O
y

x
x
=
x1+x2 , 1+
y
=
y1+y2 , 1+
z=
z1+z2 . 1+
定理3.2 若向量1,2不平行, 则向量3与1,2共面 存在唯一的有序实数组(k, l), 使得3 = k1+l2. 3可由 1,2唯一的线性表示.
推论3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零的实数k1,k2 ,k3, 使得 k11+k22+k33 =.
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
二. 共线、共面向量的判定
2. 共线的判定 // , 3 1 2
定理3.1 设向量1, 向量2与1共线 存在唯一的实数k使得 2 = k1. 2可由1唯一的线性表示.
推论3.1 向量1, 2共线 存在不全为零的实数k1, k2使得k11+k22 = .
例2.
§3.1-2空间向量及空间坐标系
d
二. 共线、共面向量的判定 重点和难点
2与1 ()共线 ∃唯一实数k使得2 =k1 2可由1唯一线性表示 2与1 共线 ∃不全为零的k1,k2使得k1 1+k22= 2与1 线性相关
在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零 向量唯一的线性表示.
Q M
S
Q
T
B
P
CB
P
C
证明：可知
BC 2BP, AC 2AQ,
设 AS

2 3
AP,
BT

2 3
BQ
往证点S与点T重合, 即 AS AT
AS

1 3
AP AP

1 3
AB BP AC CP

1 3
AB AC

1 3
AB

2 3
AQ

1 3
存在一个向量可由另一个向量线性表示.
注：向量1,2不共线 k11+k22 = 只有零解，即 k1=k2=0.
任何一个向量都不能由另一个向量线性表示.
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
二. 共线、共面向量的判定
3. 共面的判定
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k11
1 3
k22 2
定理3.2 若向量1,2不平行, 则向量3与1,2共面 存在唯一的有序实数组(k1,k2), 使得3=k11+k22.
z
x
O
P 1 P2
P1P2 = OP2OP1 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1)
y
= (x2x1, y2y1, z2z1).
后项减前项
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
例4. 设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2),
C
C
AC
C B
C
C
u A’ B’ C’
(AB+BC)u = (AB)u + (BC)u
§3.1-2空间向量及空间坐标系
投影的应用
与,共面∃唯一实数k,l 使得 = k + l
何时？ ？= +
当 , 且|||| =|| ||=1



k


AB

2 3
AB BQ

AB
2 3
BQ

AB BT

AT
§3.1-2 空间向量及空间坐标系
一. 空间向量的线性运算
1. 向量的概念及其表示：方向和大小
2. 向量的加法 平行四边形、三角形、多边形法则
向量的减法
AB AD DB
3. 数乘
向量的伸缩
向量的单位化： 0

,