创新设计数学人教B选修规范训练：221 综合法与分析法 含解析
人教版高中数学选修2-2教师用书 2.2.1 综合法和分析法 Word版含解析
．综合法和分析法
预习课本～，思考并完成下列问题()综合法的定义是什么？有什么特点？
()综合法的推证过程是什么？
()分析法的定义是什么？有什么特点？
()分析法与综合法有什么区别和联系？
[新知初探]
．综合法
．综合法、分析法的区别
[点睛]一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
[小试身手]
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()综合法是执果索因的逆推证法．( ) ()分析法就是从结论推向已知．( )
()所有证明的题目均可使用分析法证明．( )
答案：()× ()× ()×
．若＞＞，则下列不等式中不正确的是( )
．＞．＞
＞
．＞
答案：
．欲证－＜－成立，只需证( )
．(－)＜(－) ．(－)＜(－) ．(＋)＜(＋) ．(－－)＜(－)
答案：
．如果＞，则实数，应满足的条件是．
答案：＞＞。
2019人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1综合法与分析法练习
2019人教版精品教学资料·高中选修数学2．2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．基础梳理1．综合法．(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3．分析综合法．(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：P⇒P1→P1⇒P2→…→P n⇒P′⇓Q m⇐Q′←…←Q1⇐Q2←Q⇐Q1基础自测1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B)A．(－∞，lg 6] B．(－∞，2lg 3]C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2xy≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即lg x＋lg y≤2lg 3.故选B.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a”索的因应是(C)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选C.3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝2×3＝6.答案：64．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.答案：(－∞，6]（一）综合法证题的基本步骤(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．（二）分析法证题的步骤以及格式欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．（三）分析综合法的综合应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．1．“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”应用了(B )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B ) A ．综合法 B ．分析法 C ．比较法 D ．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b 2＞a ＋b2.又因为y ＝lg x 为增函数，所以有m ＞n .答案：m ＞n4．如图，长方形ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，E 是BC 的中点．(1)求证：直线BB 1∥平面D 1DE ； (2)求证：平面A 1AE ⊥平面D 1DE ；(1)证明：在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥DD 1， 又∵BB 1⊄平面D 1DE ， DD 1⊂平面D 1DE ，∴直线BB 1∥平面D 1DE .(2)证明：在长方形ABCD 中， ∵AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，∴AE ＝DE ＝ 2.∴AE 2＋DE 2＝4＝AD 2， 故AE ⊥DE .∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ACBD ， ∴DD 1⊥AE .又∵DD 1∩DE ＝D ， ∴直线AE ⊥平面D 1DE . 而AE ⊂平面A 1AE ，所以平面A 1AE ⊥平面D 1DE .1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝(D ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．52．在三角形中，a 为最大边，要想得到三角形为锐角三角形的结论，三边a ，b ，c 应满足说明条件(A )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：若三角形为锐角三角形，即∠A 为锐角，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，∴b 2＋c 2－a 2＞0.3．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则(B) A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＞S 5 D ．S 6＝S 5解析：∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.4．要使 3a －3b ＜3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是(D) A ．ab ＜0且a ＞b B ．ab ＞0且a ＞b C ．ab ＜0且a ＜bD ．ab ＜0且a ＜b 或ab >0且a >b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件． 3a －3b ＜3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b ＜a －b ⇔3ab 2＜3a 2b ，∴当ab ＞0时，有3b ＜3a ，即b ＜a ；当ab ＜0时，由3b ＞3a ，即b ＞a . 所以选D.5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确．②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确． ③α∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确．④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确． 综上知③，④正确．6．a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是(D )A ．A ＋B ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2aba ＋b ≥ab解析：特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 不成立．7．函数f (x )＝In 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________．解析：因为f (－x )＝In 1＋x 1－x ＝In ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝In 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以f (－a )＝－f (a )＝－b .答案：－b8．设a ＝3＋7，b ＝2＋6，则a 、b 的大小关系为________．解析：由12＋3＞16＋7，化简得2－3＞7－ 6.从而2＋6＞3＋7，即a ＜b答案：a ＜b9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________．解析：p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )⎝ ⎛⎭⎪⎫b m ＋d n＝ab ＋nbc m ＋madn＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd ∴q 2≥p 2，∴p ≤q . 答案：p ≤q10．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x 2＋mx ＋4＜0⇔m ＜－x －4x，∵y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1，2)上单调递增，∴－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ∈(－5，－4)．∴m ≤5.答案：(－∞，－5]11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2.代入上式得（a ＋c ）24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．12．如下图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知，EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面ABC 而BC ⊂平面ABC . ∴EF ∥平面ABC .(2)由三棱锥ABC A 1B 1C 1为直三棱柱知，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1D ⊥CC 1，又A 1D ⊥B 1C .CC 1∩B 1C ＝C ，又CC 1，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C .又A 1D ⊂平面A 1FD ， ∴平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .►品味高考1．(2014·安徽高考)设a＝log3 7，b＝21.1，c＝0.83.1，则(B)A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．c＜b＜a D．a＜c＜b解析：∵a＝log3 7，∴1＜a＜2.∵b＝21.1，∴b＞2.∵c＝0.83.1，∴0＜c＜1.故c＜a＜b，选B.π，c＝π－2，则(C)2．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝log12A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞aπ＜0.因为π＞1，解析：因为π＞2，所以a＝log2π＞1.因为π＞1，所以b＝log12所以0＜π－2＜1，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.3．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA ⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴ABDE为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD.∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.∴PA⊥CD.又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.。
1.5.2综合法和分析法课件人教新课标B版
1
1
-1
= −2.
∵f(1)=1 + 1 = 2,∴f(-1)=-f(1),则 f(x)是奇函数
答案:D
-4-
1.5.2 综合法和分析法
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D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
2.分析法
从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用
已知的一些定理,逐步探索,最后到达命题所给出的条件(或者一个
已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明方法称为分析法.
归纳总结
证明的起
方法
始步骤
综
基本不等式
合
或已经证明
法
过的不等式
分
要求证的不
析
等式
法
求证过程
证题方
求证目标
向
实施一系列的推出或等
∴(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即
a2+b2+c2≥ab+bc+ac,这严重背离了原题的证明意图.
分析二:设f(a)=a2+b2+c2-2(ab+bc+ac),即f(a)=a2-2a(b+c)+b2+c22bc.
Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0.
证明
4
sin x+
≥5,x∈
sin
π
人教新课标版数学高二-选修1-2训练 综合法和分析法
数学·选修1－2(人教A版)2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法►达标训练1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了( )A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.答案：B2．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．比较法 D．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215 <16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.答案：B3．已知a＞0，a－b＋c＜0，其中a，b，c均为实数，则一定有( )A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac≤0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0答案：A4．要使3a－3b＜3a－b成立，则a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0且a＜bD．ab＜0且a＜b或ab>0且a>b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件．3a－3b＜3a－b⇔a－b＋33ab2－33a2b＜a－b⇔3ab2＜3a2b，∴当ab＞0时，有3b＜3a，即b＜a；当ab＜0时，有3b＞3a，即b＞a. 所以选D.答案：D5．已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必定有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A6．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为( )A.94B.32C.54D.4解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.答案：A►素能提高1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不能定解析：取特殊值．如取a ＝2，b ＝－1，c ＝－1知选B. 答案：B3．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4>⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22所以a ＋b 2>a ＋b2.又因为y ＝lg x 为增函数， 所以有m >n . 答案：m ＞n4．若平面内OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且⎪⎪⎪⎪OP 1→＝⎪⎪⎪⎪OP 2→＝⎪⎪⎪⎪OP 3→，则△P 1P 2P 3的形状一定是______________．解析：设⎪⎪⎪⎪OP 1→＝⎪⎪⎪⎪OP 2→＝⎪⎪⎪⎪OP 3→＝r ，所以P 1，P 2，P 3均在以O 为圆心，r 为半径的圆上， 又因为OP1→＋OP 2→＋OP 3→＝0， 所以有⎪⎪⎪⎪OP 1→＋OP 2→＝⎪⎪⎪⎪－OP 3→＝r ， 即有OP 1→2＋2OP 1→·OP 2→＋OP 2→2＝r 2， 所以OP 1→·OP2→＝－r 22， 即cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→⎪⎪⎪⎪OP 1→·⎪⎪⎪⎪OP 2→＝－12， 所以∠P 1OP 2＝120°，故∠P 1P 3P 2＝60°.同理可证∠P 2P 1P 3＝60°，故△P 1P 2P 3是正三角形． 答案：正三角形5．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：由于y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，而点A 在直线上，则m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，所以，1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋4， 当且仅当m ＝n ＝12时，1m ＋1n 取得最小值4.答案：46．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2，代入上式得42(a+c)＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，而B＝π3，则A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形．7．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，E是BC 的中点．(1)求证：直线BB1∥平面D1DE；证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1∥DD1，又∵BB1⊄平面D1DE，DD1⊂平面D1DE，∴直线BB1∥平面D1DE.(2)求证：平面A1AE⊥平面D1DE；证明：在长方形ABCD中，∵AB＝AA1＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝2，∴AE2＋DE2＝4＝AD2，故AE⊥DE，∵在长方体ABCDA1B1C1D1中有DD1⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴DD1⊥AE.又∵DD1∩DE＝D，∴直线AE⊥平面D1DE，而AE⊂平面A1AE，所以平面A 1AE ⊥平面D 1DE .(3)求三棱锥A A 1DE 的体积．解析：V AA 1DE ＝V A 1-ADE ＝13AA 1×S △ADE ＝13×1×12×1×2＝13.8．用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2.证明：要证 a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证⎝⎛⎭⎪⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 只需证a 2＋ 1a 2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a2≥2，它显然成立．∴原不等式成立．►品味高考1．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3解析：由反射角等于入射角，利用三角形的相似比，准确画图如图，碰撞的顺序是E →F →G →R →M →N →E .故选B.答案：B 2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABDE为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD.所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.打印版所以PA⊥CD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF所以平面BEF⊥平面PCD.高中数学。
人教B版选修12综合法和分析法(上课用)
综合法强调整体性和系统性，注 重对问题全面、多维度的理解和 分析。
综合法的基本步骤
步骤1：明确问题 确定问题的性质和范围
收集和整理相关信息
综合法的基本步骤
步骤2：分析问题 识别问题的关键要素
确定各要素之间的关系
综合法的基本步骤
分析问题的结构与层 次
基于分析结果，提出 可能的解决方案
步骤3：制定解决方 案
构优化等方面。
在城市规划中，综合法可用于 制定城市发展蓝图、优化城市 空间布局和提升城市整体形象
。
在环境保护中，综合法可用于 制定环境保护政策、评估环境
影响和推动可持续发展。
03 分析法概述
定义与特点
定义
分析法是一种常用的思维方法，它通过对事物进行分析、分解和综合，以揭示 事物的本质和规律。
特点
03
确定目标市场：根据收集到的信息，分析目标市场的特点、需求和潜在机会， 确定公司的目标市场。
案例一：某公司营销策略制定过程
• 制定营销策略：根据目标市场的特点，制定相应的产品策 略、价格策略、渠道策略和促销策略。
案例一：某公司营销策略制定过程
分析法应用
目标市场分析：运用STP分析法，对目标市场进行细分 、选择和定位。
教育教学
在教育教学过程中，分析 法被用于帮助学生理解知 识、解决问题和提高思维 能力。
04 综合法与对比法的比较
相同点与不同点
相同点
综合法和分析法都是常用的思维方法 ，有助于人们更好地认识事物。
两者都是通过分析和综合的方法来认 识事物，有助于人们更全面、更深入 地了解事物。
不同点
综合法是将事物的各个部分、各个方 面和各种属性结合起来进行思考的方 法，注重整体性。
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1最新人教版高中数学选修1-2《综合法和分析法》示范教案12.2.1综合法和分析法教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．教学目标1。
知识和技能目标(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．(2)了解分析法和综合法的思维过程和特点．2．过程与方法目标（1）通过对实例的分析、归纳和总结，可以提高学生的理性思维能力(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．重点和难点重点：分析法和综合法的思维过程及特点．难点：分析法和综合法的应用．教学过程创设情境、引入新课问题1：我们学习了两种重要的推理方法。
请回忆一下我们学习的推理方法，它们各自的特点和功能是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问．活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．合理推理是提出新问题、获取新知识的主要推理方式，其特点是结论不可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，其特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论就必须正确提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．问题3：让我们先看看我们已经证明的两个问题，并试图找出证明过程中的差异。
1.在立方体ABCD-A'B'C'd中，验证：A'C⊥ BD.证明：连接AC∵abcd―a′b′c′d′是正方体，∴aa′⊥平面abcd.又∵bd?平面abcd，∴aa′⊥bd.∵ 自动控制⊥ BD，AA′∩ AC=a，∩ 屋宇署⊥ 飞机a′AC。
2020年秋人教B版数学选修1-2练习：2.2.1 综合法与分析法 Word版含解析.doc
2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法课时过关·能力提升1.下面叙述正确的是()A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法都是从要证的结论出发D.综合法、分析法都是从已知条件出发答案:A2.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,若当x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则当x>1时,f(x)的解析式为()A.f(x)=(x+3)2-1B.f (x)=(x-3)2-1C.f(x)=(x-3)2+1D.f(x)=(x-1)2-1解析:设x>1,P(x,y)为函数y=f(x)图象上任一点,则P关于x=1的对称点P'(2-x,y)在函数y=(x+1)2-1的图象上,所以y=(2-x+1)2-1=(x-3)2-1.答案:B3.用max{a1,a2,a3,…,a n}表示数集{a1,a2,a3,…,a n}中最大的一个数,则对于a>0,b>0,且a≠b,maABC解析:∵a2+b2>2ab,∴2(a2+b2)>(a+b)2..答案:C4.如果f(x)A.1B.-1C.0D.±1解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),a=1.答案:A★5.设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(x)=A.-3B.3C.-8D.8解析:因为f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,由偶函数的性质可知:若f(x)=:①x由①知x2+3x-3=0,故其两根之和为x1+x2=-3;由②知x2+5x+3=0,故其两根之和为x3+x4=-5.因此满足条件的所有x之和为-8.答案:C6.函数y=f(x)在区间(0,2)内是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.解析:∵y=f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(-x+2).∴x=2是f(x)图象的对称轴.又f(x)在区间(0,2)内是增函数,∴f(1)<f(1.5)=f(2.5),f(0.5)=f(3.5)<f(1).∴f(3.5) <f(1)<f(2.5).答案:f(3.5)<f(1)<f(2.5)7.命题“如果数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,那么数列{a n}一定是等差数列”.(填“成立”或“不成立”)答案:成立★8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>0,对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)+2=f(x1)·f(x2),且f(1)=2,则f(2)=.若令f(x1)=a,f(x2)=b,且f(x1+x2)=a+b,则a+b的取值范围是.解析:f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)-2=2×2-2=2.∵f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)-2,∴a+b=ab-2.又ab≤∴a+b≤∴(a+b)2-4(a+b)-8≥0,解得a+b≥2+a+b≤2-但a>0,b>0,∴a+b>0.∴a+b∈[2+答案:2[2+ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明∠B为锐角.分析由于已知条件为边的关系,而证明的结论是角的问题,故需借助正(余)弦定理,应用三角函数的知识进行证明.证明证法一(分析法):要证明∠B为锐角,只需证cos B>0.因为cos B所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.又因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知2ac=b(a+c),所以只需证明b(a+c)>b2,即需a+c>b成立.因为在△ABC中,恒有a+c>b成立,所以∠B为锐角.证法二(综合法):由题意则b又因为a+c>b,所以b(a+c)=2ac>b2.因为cos B又y=cos x在(0,π)上单调递减,所以∠B所以∠B为锐角.★10.已知数列{a n}满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n(n∈N+).(1)证明数列{a n+1-a n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)若数列{b n}满∈N+),证明{b n}是等差数列.分析利用综合法、分析法并结合数列、不等式等知识进行证明即可.(1)证明因为a n+2=3a n+1-2a n,所以a n+2-a n+1=2(a n+1-a n).所∈N+).因为a1=1,a2=3,所以a2-a1=2.所以数列{a n+1-a n}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1),得a n+1-a n=2n(n∈N+),所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N+).(3)证明因所2[(b1+b2+…+b n)-n]=nb n, ①2[(b1+b2+…+b n+b n+1)-(n+1)]=(n+1)b n+1.②②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n,即(n-1)b n+1-nb n+2=0, ③nb n+2-(n+1)b n+1+2=0.④④-③,得nb n+2-2nb n+1+nb n=0,即b n+2-2b n+1+b n=0,所以b n+2-b n+1=b n+1-b n(n∈N+).所以{b n}是等差数列.。
人教B版高中数学选修1-2 2-2-1 综合法和分析法 学案
2．2．1 综合法和分析法（学案）一、知识梳理1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法____________和_____________.⑴ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_____________，最后推导出所要证明的结论_______________，这种证明方法叫综合法。
框图表示： （其中P 表示条件，Q 表示要证的结论）。
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
⑵分析法：从要证明的____________出发，逐步寻找使它成立的_______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。
框图表示：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而已知A 为真，故命题B 必为真。
二、情境导学探究任务一：综合法问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.要点：顺推证法；由因导果.探究任务二：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因三、典例解析例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 求证+>变式：求证:+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.练习 ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=，求证：60A B +=.四、当堂检测1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<<C.22x y x xy y +<<<D.22x y x xy y +<<< 4. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.A ．a ，b 均为负数，则2a b b a +≥ B ．22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a +∈++≥ 5. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题 ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩ 其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④6.已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的 条件. 。
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2课堂探究 2.2.1综合法与分析法
课堂探究探究一 综合法的应用1．用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用．【典型例题1】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝3，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明．证明：因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝9，即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9.又因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，于是2(ab ＋bc ＋ca )≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9，故a 2＋b 2＋c 2≥3.【典型例题2】 在△ABC 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明．证明：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，所以左边＝a 2－b 2c 2＝c 2－2bc cos A c 2＝1－2b cos A c. 又由正弦定理知b c ＝sin B sin C， 所以左边＝1－2·sin B sin Ccos A ＝sin C －2sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )－2sin B cos A sin C＝sin A cos B ＋cos A sin B －2sin B cos A sin C＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin (A －B )sin C＝右边， 故原等式成立．探究二 分析法的应用1．从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．2．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．【典型例题3】 已知函数f (x )＝x 2＋3，若a ＞b ＞0，求证：f (a )＋f (b )2＞f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证明f (a )＋f (b )2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2， 即证12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3， 只需证a 2＋b 2＋6＞(a ＋b )22＋6， 只需证a 2＋b 2＞(a ＋b )22，因此只需证2a 2＋2b 2＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2＋b 2＞2ab ，只需证(a －b )2＞0，由于a ＞b ＞0，所以(a －b )2＞0显然成立，故原不等式成立．【典型例题4】 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且4sin 2α－2sin 2β＝1.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β). 思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明．证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)， 只需证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝⎛⎭⎫1＋sin 2βcos 2β， 只需证cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝12·cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β， 只需证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)， 只需证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)， 即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于已知4sin 2α－2sin 2β＝1成立，所以原等式成立．探究三 综合法与分析法的综合应用1．有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．【典型例题5】 在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a ，b ，c 之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b， 即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b. 要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)，即证a ＋1≥(b ＋1)＋(c ＋1)2， 也就是证2a ≥b ＋c .因为2a ＝b 2c ＋c 2b， 则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可， 即b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )·bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0成立．上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．点评 本题前半部分先用综合法得到一个由已知条件推出的结论，然后再用分析法证明最终结论，其中用到了前面推出的结论，这种处理方法在推理证明中也是常用的．。
人教版高中数学选修2-22.2.1综合法和分析法正式版
综合法和分析法一、教学目标：(一)知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
(二)过程与方法：培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；(三)情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点三、教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点四、教学过程：(一)导入新课：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
(二)推进新课：1. 综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。
例如：已知a,b>0,求证a(b2c2) b(c2a2)亠4abc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，弓I导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：弓I导学生应用不等式证明以上问题，弓I出综合法的定义证明：因为b2c2_ 2bc, a 0，所以a(b2c2) _ 2abc。
因为c2a2_ 2ac,b 0，所以b(c2a2) _ 2abc。
因此a(b2c2) b(c2a2)亠4abc。
一般地，禾U用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：P= Q<—;(Qi= Q2)—：.Q2= Q3 l；..…—；：Qn 二Q综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
例1、在厶ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列,求证△ ABC为等边三角形.分析：将A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =二；a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2二ac •此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求•于是，可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C . ①因为A,B,C ABC的内角，所以 A + B + C=二. ②由①②，得B==. ③3由a, b, c成等比数列，有b2二ac ④由余弦定理及③，可得2 2 2 2 2b ac -2accosB=a c -ac .再由④，得a2，c2-ac=ac.即(a -打=Q因此 a = c .从而A=C .由②③⑤，得71A=B=C= —.3所以△ ABC为等边三角形.注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.例2、已知a,b R ,求证a a b b_a b b a.分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
人教版选修2-2 2.2.1 综合法和分析法
证明：∵a⊥b， ∴ a· b＝0. |a|＋|b| 要证 ≤ 2， |a－b| 只需证|a|＋|b|≤ 2|a－b|， 平方，得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2|a· b|)， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0 成立， 即(|a|－|b|)2≥∴a＋b≥2 ab>0， 1 1 ＋ ≥ 2 a b ∴ 1 >0 ， ab
＋
1 1 ＋ (a＋b) a b≥4，
又 a＋b＝1， 1 1 ∴a＋b≥4.
证法三：∵a，b∈R＋， 1 1 a＋b a＋b ∴a＋b＝ a ＋ b b a ＝1＋a＋b＋1≥2＋2 ab · ＝ 4 ， ba
证明”等词语．
特别提醒：
在平时的证明问题中，一般不是单纯地使
用某一种证明方法，更多的是综合使用几种
方法．
例3 已知a，b，c∈R且不全相等， 求证： a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
证法一：(分析法)
要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca，
2．求证： 3＋2 2<2＋ 7.
证明：要证明 3＋2 2<2＋ 7， 由于 3＋2 2>0,2＋ 7>0， 只需证明( 3＋2 2) <(2＋ 7) ， 即 11＋4 6<11＋4 7， 只需证明 6<7，显然 6<7 成立， 所以 3＋2 2<2＋ 7成立．
2 2
问题1 本题证明是从哪里开始？ 提示： 从结论开始． 问题2 证明思路是什么？
提示： 寻求上一步成立的充分条件．
证法 2： ∵6<7， ∴4 6<4 7， ∴11＋4 6<11＋4 7， 即( 3＋2 2) <(2＋ 7) ， ∵ 3＋2 2，2＋ 7均为正数， ∴ 3＋2 2<2＋ 7．
人教新课标版数学高二B版选修1-2优化训练 2-2-1 综合法与分析法
1．直接证明中最基本的两种证明方法是( ) A ．类比法与归纳法 B ．综合法与分析法 C ．反证法和二分法 D ．换元法和配方法解析：选B.直接证明的方法包括综合法与分析法．2．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )A ．a ·b >0B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0解析：选C.∵a b ＋ba ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2.∵a 2＋b 2≥0，∴ab <0，即a 、b 异号，故选C.3．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≤1时，f (x )＝(x ＋1)2－1，则当x >1时，f (x )的解析式为__________．解析：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴有f (x )＝f (2－x )，当x >1时，有2－x <1，则f (2－x )＝[(2－x )＋1]2－1＝(3－x )2－1＝(x －3)2－1＝f (x )．答案：f (x )＝(x －3)2－14．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为________． 解析：由sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 得sin α＋sin β＝－sin γ， cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12.答案：－125．求证：3＋6<4＋ 5.证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立， 只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立， 即证18<20成立． 即证18<20成立． 由于18<20成立， 因此3＋6<4＋ 5.一、选择题1．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a解析：选B.∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大，故选B.2．下面四个不等式：(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；(2)a (1－a )≤14；(3)b a ＋ab≥2； (4)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：选C.a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ，a (1－a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14；(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当b a <0时，b a ＋ab≥2不成立．3．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形解析：选D.∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形．4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：选C.对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．5．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12解析：选C.∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1.故选C. 6.函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d的图象如图所示，则( )A ．a >0，b >0，c >0B ．a >0，b >0，c <0C ．a <0，b <0，c >0D ．a <0，b <0，c <0解析：选B.f (0)＝0⇒d ＝0，由f (1)＝0，f (－2)＝0得b ＝a ，c ＝－2a ， ∴f (x )＝ax 3＋ax 2－2ax . ＝a (x 3＋x 2－2x )由x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，得a >0，b >0，c <0. 二、填空题7．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．解析：由f (x )＝xx ＋1知，x ≥0.①当x ＝0时，f (x )＝0；②当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x.∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取“＝”．∴0＜1x ＋1x ≤12.即0＜f (x )≤12.故0≤f (x )≤12综上，f (x )max ＝12.答案：128．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．解析：f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)．故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且开口向下，画出图象，显然有f (4)>f (－1)>f (512)．答案：f (4)>f (－1)>f (512)9．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a ＝__________.解析：∵∠C ＝60°，∴a 2＋b 2＝c 2＋ab .∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝c 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋c )(b ＋c )， ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＝(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )(b ＋c )(c ＋a )＝1. 答案：1三、解答题 10.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .证明：∵四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，∴AB CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CFAE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊆平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .11．已知a >b >0，求证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b .证明：要证原不等式成立， 只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .由已知得a >b >0，即证(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，也就是证a ＋b2a <1<a ＋b2b ，即证a ＋b <2a 且2b <a ＋b ， 即证b <a .因为a >b >0，所以b <a 成立．故原不等式成立． 12.如图所示，M 是抛物线y 2＝x上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证直线EF 的斜率为定值．证明：设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， ∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0. 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2.∴k EF ＝y E －y Fx E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k(1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k－4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值．。
数学人教A选修22课时规范训练：221综合法和分析法 含解析
第二章 2.2 2.2.1基础练习1．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫－2，32 B ．⎝⎛⎭⎫－2，32 C ．⎣⎡⎭⎫－3，32 D ．⎝⎛⎭⎫－3，32 【答案】A【解析】n 为奇数时，－a <2＋1n 恒成立，则a >－⎝⎛⎭⎫2＋1n 恒成立，又－⎝⎛⎭⎫2＋1n <－2，所以a ≥－2；n 为偶数时，a <2－1n 恒成立，又2－1n ≥2－12＝32，所以a <32.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－2，32.2．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D 1 D ．A 1A【答案】B【解析】如图，连接AC ，则BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1⇒BD ⊥平面ACC 1A 1.又CE ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE .3．方程①：x 2＋a 1x ＋1＝0，方程②：x 2＋a 2x ＋2＝0，方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )A ．方程①有实根且②有实根B ．方程①有实根且②无实根C ．方程①无实根且②有实根D ．方程①无实根且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根且②无实根时，a 21－4≥0，a 22－8<0，即a 21≥4，a 22<8，从而a 23＝a 42a 21<824＝16，故方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0无实根．故选B ．A ，D 由于不等式方向不一致，不可推，C 推出方程③有实根．4．(2017年广东期中)欲证2－3＜6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2＜(3＋6)2 B ．(2－6)2＜(3－7)2 C ．(2－3)2＜(6－7)2 D ．(2－3－6)2＜(－7)2 【答案】A【解析】欲证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，而(2＋7)与(3＋6)都为正数，则只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.故选A ．5．若函数f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. 【答案】－1【解析】令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，则f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－(t －1)＝t 2－6t ＋54，则f (3)＝－1. 6．设a ，b 是正实数，以下不等式①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③ab ＋2ab >2恒成立的序号为 ________.【答案】②③【解析】当a ＝b 时，ab ＝2aba ＋b ，∴①不成立．∵a ，b 为正数，∴a ＋b >|a －b |，②成立． ab ＋2ab≥22>2，故③成立．7．若实数a ，b 满足a ＋b ＝3，求证：2a ＋2b ≥4 2. 证明：因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ，又a ＋b ＝3，所以2a ＋2b ≥223＝4 2. 故2a ＋2b ≥42成立．8．(2017年山西朔州月考)已知a ＞0，b ＞0，用分析法证明：a ＋b 2≥2ab a ＋b .证明：因为a ＞0，b ＞0，要证a ＋b 2≥2aba ＋b ，只需证(a ＋b )2≥4ab ， 只需证(a ＋b )2－4ab ≥0，即证a 2－2ab ＋b 2≥0，而a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0恒成立， 故a ＋b 2≥2ab a ＋b成立．能力提升9．(2018年吉林通化模拟)已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【答案】D【解析】由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，得f (2n )＝f 2(n )．又f (1)＝2，则f (n ＋1)f (n )＝2.所以f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝16. 10．(2019年云南曲靖期末)如图所示，四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C ．(写上一个条件即可)【答案】AC ⊥BD (答案不唯一)【解析】要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .11．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S 100＝41，T 100＝49，记c n ＝a n T n＋b n S n －a n b n (n ∈N *)，那么数列{c n }的前100项和为__________．【答案】2 009【解析】∵a n ＝S n －S n －1，b n ＝T n －T n －1，则c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n ＝S n T n －S n －1T n －1，∴c 100＝S 100T 100－S 99T 99，c 99＝S 99T 99－S 98T 98，…，c 2＝S 2T 2－S 1T 1，c 1＝S 1T 1，则数列{c n }的前100项和为S 100T 100＝41×49＝2 009.12．已知2tan A ＝3tan B ，求证：tan(A －B )＝sin 2B5－cos 2B .证明：因为2tan A ＝3tan B ，所以tan A ＝32tan B .要证tan (A －B )＝sin 2B5－cos 2B ，只需证tan A －tan B1＋tan A tan B ＝2sin B cos B 5－(1－2sin 2B )，只需证12tan B 1＋32tan 2B＝2sin B cos B4＋2sin 2B ， 即证tan B 2＋3tan 2B ＝sin B cos B2＋sin 2B.又tan B 2＋3tan 2B ＝tan B cos 2B (2＋3tan 2B )cos 2B ＝sin B cos B 2cos 2B ＋3sin 2B ， 所以只需证2cos 2B ＋3sin 2B ＝2＋sin 2B .上式显然成立，所以tan(A －B )＝sin 2B5－cos 2B成立．。
2019版数学人教B版选修1-2课件：2.2.1 综合法与分析法 .pdf
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2.2.1 综合法与分析法
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12
【做一做2-2】 已知a>b>c>0,则下列不等式成立的是( )
A. C.
1 ������1-������
+ +
答案:C
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证明与推理之间的联系和区别有哪些? 剖析:(1)联系:证明过程其实就是推理的过程,就是把论据作为推 理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程.一个论证可以只 含一个推理,也可以包含一系列的推理.所以证明就是推理,是一种 特殊形式的推理.
2
,
2
即(a+b)2≥4(a+b)+4,
所以[(a+b)-2]2≥8.
所以 a+b≥2 2 + 2.
答案: 2 2 + 2
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高二数学人教选修1-2同步练习：2.2.1 综合法与分析法(二) Word版含解析
2.2.1 综合法与分析法(二)一、基础过关1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤32．已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <c d，则 ( ) A.a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能 3．下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；②a (1－a )≤14； ③b a ＋a b≥2； ④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．2ab C ．a 2＋b 2 D ．a5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．6．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．二、能力提升7．命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q 9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．10．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋b a >a ＋b .11．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.13．已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明：当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)．三、探究与拓展14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)答案1．C 2．A 3．C 4．C 5．a >b >c6．EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC7．C 8．B 9．①③⇒②10．证明 方法一 用综合法 a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b a ab＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0， ∴a b ＋b a >a ＋b . 方法二 用分析法要证a b ＋b a >a ＋b ， 只要证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ， 即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )，即需证a 2－ab ＋b 2>ab ，只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立，所以a b ＋b a >a ＋b 成立． 11．证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立． 12．证明 方法一 (分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立， 只需证1－a a ·1－b b ·1－c c≥8成立． 因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c≥8成立， 即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c≥8成立． 而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8成立． ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立． 方法二 (综合法)(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以原不等式成立．13．证明 由f (x )＝x 2＋2x＋a ln x ， 得f (x 1)＋f (x 2)2＝12(x 21＋x 22)＋(1x 1＋1x 2)＋a 2(ln x 1＋ln x 2) ＝12(x 21＋x 22)＋x 1＋x 2x 1x 2＋a ln x 1x 2. f (x 1＋x 22)＝(x 1＋x 22)2＋4x 1＋x 2＋a ln x 1＋x 22， ∵x 1≠x 2且都为正数，有12(x 21＋x 22)>14[(x 21＋x 22)＋2x 1x 2]＝(x 1＋x 22)2.①又(x 1＋x 2)2＝(x 21＋x 22)＋2x 1x 2>4x 1x 2，∴x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2.② ∵x 1x 2<x 1＋x 22， ∴ln x 1x 2<ln x 1＋x 22. ∵a ≤0，∴a ln x 1x 2≥a lnx 1＋x 22.③ 由①、②、③得f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 14．证明 方法一 (用分析法)①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2.即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2.即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．方法二 (用综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法三 (用比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0，∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法四 (用放缩法)为了避免讨论，由ac ＋bd ≤|ac ＋bd |，可以试证(ac ＋bd )2≤ (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五 (构造向量法)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2. 故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。
数学选修2-2讲义：第2章 2 1 综合法与分析法 含答案
2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法． ( )(2)分析法就是从结论推向已知． ( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．[答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得， 要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22， 即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案]6－22>5－7定是__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形． (2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4. 设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32. (3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32 (3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B[思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b .[证明] 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即a－b ab>1，即1b－1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1．[思路探究]先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．[解]法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b＋ab ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.[证明]因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而可得不等式x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy成立.1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的[解析]直接证明包括综合法和分析法．[答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．[解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． [解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a ≥3＋2b a ·ab ＋2c b ·bc ＋2c a ·ac ＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． [答案] 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .(要求用两种方法证明)[证明]法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以ab＋ba－a－b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa ＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1b－1a＝(a－b)2(a＋b)ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.法二：(分析法)要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．。
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2.2直接证明与间接证明
2.2.1综合法与分析法
双基达标(限时20分钟)
1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()．
A．x<x＋y
2<y<2xy B．2xy<x<
x＋y
2<y
C．x<x＋y
2<2xy<y D．x<2xy<
x＋y
2<y
解析∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝3
4
，x＝1
4
，
则x＋y
2
＝1
2
，2xy＝3
8
，∴x<2xy<
x＋y
2<y，故选D.
答案 D
2．已知f(x)＝a(2x＋1)－2
2x＋1
是奇函数，那么实数a的值等于()．
A．1 B．－1 C．0 D．±1
解析奇函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0，∴f(0)＝a(20＋1)－2
20＋1
＝
2a－2
2
＝
0，
∴a＝1，故选A.
答案 A
3．已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析由正弦定理
a
sin A
＝b
sin B
，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，
∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.
答案 C
4．已知函数f(x)＝lg 1－x
1＋x
，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.
解析∵f(x)＝lg 1－x
1＋x
，可分析f(x)为奇函数，
∴f(－a)＝－f(a)＝－b.
答案－b
5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法
6．设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
证明法一分析法
要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，
又因a＋b＞0，
只需证a2－ab＋b2＞ab成立，
只需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
法二综合法
a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0
⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.
注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．
∴a3＋b3＞a2b＋ab2.
综合提高(限时25分钟)
7．已知a>0，且a≠1，P＝log a(a3＋1)，Q＝log a(a2＋1)，则P，Q的大小关系是
()．A．P>Q B．P＝Q
C ．P <Q
D ．与a 的值有关
解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，所以P >Q ；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，所以P >Q .
答案 A
8．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，－2]
B ．[－2,2]
C ．[－2，＋∞)
D ．[0，＋∞)
解析 用分离参数法可得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．
答案 C
9．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．
答案 对角线互相垂直
10．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3
一定是________(形状)三角形．
解析 可结合图形，利用向量的几何意义加以解决．
答案 等边
11．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①
因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②
由①②，得B ＝π3.③
由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④
由余弦定理及③，
可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .
再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，
即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，
从而有A ＝C .⑤
由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．
12．(创新拓展)已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1
≤1. (1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 5＝a 1q 4，
依题意，得方程组⎩⎨⎧ a 1q ＝6a 1q 4＝162
， 解得a 1＝2，q ＝3，∴a n ＝2·3n －1
(2)证明 ∵S n ＝2(1－3n )1－3
＝3n －1， ∴S n ·S n ＋2S 2n ＋1＝32n ＋2－(3n ＋3n ＋2)＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1
≤32n ＋2－23n ·3n ＋2＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1
＝1， 即S n ·S n ＋2S 2n ＋1
≤1.。