21.Taylor级数展开的唯一性概述
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方法奠定了基础.
).
注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接
将函数展开成Taylor级数
将函数展开为Taylor级数的方法: 1. 直接方法; 1. 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数
1 ( n) cn f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
n
1 , z 1 1 2
n 1 z 1 ( z 1) 1/4+1/4*z-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3 n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0
n ( 1)n z 1
1 z
n 0
z 1 , 1 2 z 3 z 2 (1 z )
( 1)n ( n 1) z n
z 1 .
例3
将 f (z)
1 z
2
1
2
展开为z的幂级数.
然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数, 通常比直接展开更为简 洁, 使用范围也更为广泛 .
根据例2，MATLAB语句. 解 运行下面的
>> syms 1 z;
n n ( 1) ( n 1) 2 (1 ) >> f=1/(1+z^2)^2; n 0
1 ,
2 >> taylor(f,z) z , 则 令
ans1= n 2n ( 1) ( n 1) z 1-2*z^2+3*z^4 (1 z 2 )2 n 0
成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.
解 运行下面的MATLAB语句.
1 1 >>zsyms z; 1 f (z) 1 1 1 z 1 z 1 ( z 1) 2 2 >> f=z/(z+1);
z >> 1 taylor(f,z,4,1) % 在z=1处展开4项 1, 即 z 1 2 时, 当 2 ans =
n n n ( a b ) z a z b z 并且收敛半径 R 同理 n n , n . >> n taylor(f)
,
( 1) z ans = sin z n a z b z a0bn a1bn1 an n 1)! n n n 0 (2 z-1/6*z^3+1/120*z^5 n 0 n 0 n 0 2 n 3 5 1 z z z n n z . z (2) 设级数 ( 1) >> taylor(g) f ( z ) c z 的收敛半径为 r n 3! 5! (2n 1)! n 0
n 0 n 2 n 1 n
n 0
n 0
1 点邻域内 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 (1 z ) 的Taylor级数.
解 z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例题 中，用z替换-z, 则
1 1 z z2 1 z
>> f=log(1+z);
y
R1
>> syms z;
因为 >> taylor(f)
ans = ln(1 z )
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5 并且由 例题 有
1 , 1 z
1
o
1
x
1 1 z z 2 ( 1)n z n 1 1 z z n z 1 .
n 0 n 0 2n
n 2n 2 4 >> syms z; ( 1) z z z n z n 2 n z z , 则在 cos z e z1 ( 1) z 半径分别为 R (2n )! 1 z R1 和 z . 2 4! 2! n (2n)! n 0 n 0 n ! 2! >> ! f=sin(z);g=cos(z);
1 2z 2 3z 4
( 1)n ( n 1) z 2 n
z 1 .
例4 求对数函数的主值 ln(1 z ) 在z=0点 的Taylor级数.
z ) 在复平面中割去从点 解 运行下面的 语句. 函数 ln(1MATLAB -1沿
负实轴向左的射线的区域内解析.
n
则 f ( z ) 是 z z0 R内的解析函数, 且在收敛圆
z z 2 3
2
n 1 )n , fz (3 z ) c( ( z z n1) 0 n
n 0
n
z
z 1 .
例5
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 z 1
Taylor展开式的惟一性定理 定理 设 f ( z ) 是 D上的解析函数, z0 是
D内的点，且在 z z0 R 内可展成幂级数
n f ( z ) cn ( z z0 ) , n 0
则这个幂级数是 f ( z ) 在 z0 点的Taylor级数，即
f ( n ) ( z0 ) cn ( n 0,1, 2, n!
z 1 ,
y
所以
R1
ln(1 z )
1 z z2 (1)n z n
n 0
1
o
1
x
z 1 .
n
设幂级数 cn ( z z0 ) 收敛半径 根据定理，把上式逐项积分，得
( 1) n1 ln(1 zR ) , 并且在 zz z 0 R 内, 半径为 n 0 n 1
例1
利用
iz iz
本例利用直接方法也很简单
1 1 1 n n ( iz ) ( iz ) , 2 n 0 n ! n 0 n !
n n
e e cos z 2
以及 例题 和 定理
z 和 bn语句 z 的收 解得 运行下面的 MATLAB . 可(1) 设级数 an
).
注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接
将函数展开成Taylor级数
将函数展开为Taylor级数的方法: 1. 直接方法; 1. 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数
1 ( n) cn f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
n
1 , z 1 1 2
n 1 z 1 ( z 1) 1/4+1/4*z-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3 n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0
n ( 1)n z 1
1 z
n 0
z 1 , 1 2 z 3 z 2 (1 z )
( 1)n ( n 1) z n
z 1 .
例3
将 f (z)
1 z
2
1
2
展开为z的幂级数.
然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数, 通常比直接展开更为简 洁, 使用范围也更为广泛 .
根据例2，MATLAB语句. 解 运行下面的
>> syms 1 z;
n n ( 1) ( n 1) 2 (1 ) >> f=1/(1+z^2)^2; n 0
1 ,
2 >> taylor(f,z) z , 则 令
ans1= n 2n ( 1) ( n 1) z 1-2*z^2+3*z^4 (1 z 2 )2 n 0
成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.
解 运行下面的MATLAB语句.
1 1 >>zsyms z; 1 f (z) 1 1 1 z 1 z 1 ( z 1) 2 2 >> f=z/(z+1);
z >> 1 taylor(f,z,4,1) % 在z=1处展开4项 1, 即 z 1 2 时, 当 2 ans =
n n n ( a b ) z a z b z 并且收敛半径 R 同理 n n , n . >> n taylor(f)
,
( 1) z ans = sin z n a z b z a0bn a1bn1 an n 1)! n n n 0 (2 z-1/6*z^3+1/120*z^5 n 0 n 0 n 0 2 n 3 5 1 z z z n n z . z (2) 设级数 ( 1) >> taylor(g) f ( z ) c z 的收敛半径为 r n 3! 5! (2n 1)! n 0
n 0 n 2 n 1 n
n 0
n 0
1 点邻域内 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 (1 z ) 的Taylor级数.
解 z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例题 中，用z替换-z, 则
1 1 z z2 1 z
>> f=log(1+z);
y
R1
>> syms z;
因为 >> taylor(f)
ans = ln(1 z )
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5 并且由 例题 有
1 , 1 z
1
o
1
x
1 1 z z 2 ( 1)n z n 1 1 z z n z 1 .
n 0 n 0 2n
n 2n 2 4 >> syms z; ( 1) z z z n z n 2 n z z , 则在 cos z e z1 ( 1) z 半径分别为 R (2n )! 1 z R1 和 z . 2 4! 2! n (2n)! n 0 n 0 n ! 2! >> ! f=sin(z);g=cos(z);
1 2z 2 3z 4
( 1)n ( n 1) z 2 n
z 1 .
例4 求对数函数的主值 ln(1 z ) 在z=0点 的Taylor级数.
z ) 在复平面中割去从点 解 运行下面的 语句. 函数 ln(1MATLAB -1沿
负实轴向左的射线的区域内解析.
n
则 f ( z ) 是 z z0 R内的解析函数, 且在收敛圆
z z 2 3
2
n 1 )n , fz (3 z ) c( ( z z n1) 0 n
n 0
n
z
z 1 .
例5
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 z 1
Taylor展开式的惟一性定理 定理 设 f ( z ) 是 D上的解析函数, z0 是
D内的点，且在 z z0 R 内可展成幂级数
n f ( z ) cn ( z z0 ) , n 0
则这个幂级数是 f ( z ) 在 z0 点的Taylor级数，即
f ( n ) ( z0 ) cn ( n 0,1, 2, n!
z 1 ,
y
所以
R1
ln(1 z )
1 z z2 (1)n z n
n 0
1
o
1
x
z 1 .
n
设幂级数 cn ( z z0 ) 收敛半径 根据定理，把上式逐项积分，得
( 1) n1 ln(1 zR ) , 并且在 zz z 0 R 内, 半径为 n 0 n 1
例1
利用
iz iz
本例利用直接方法也很简单
1 1 1 n n ( iz ) ( iz ) , 2 n 0 n ! n 0 n !
n n
e e cos z 2
以及 例题 和 定理
z 和 bn语句 z 的收 解得 运行下面的 MATLAB . 可(1) 设级数 an