北京丰台区2013-2014届高三一模文科数学
丰台区2013-2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（文科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤，{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 （A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）已知等比数列{}n a 中，23a a +＝1，45a a +＝2，则67a a +等于 （A ）2 （B ）（C ）4 （D ）（3） 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138（4）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，它在[0,)+∞上是减函数. 则下列各式一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(3)(2)f f -> （C ）(1)(3)f f -> （D ）(2)(3)f f -<-（5）设向量a =()21x ,-，b =()14x ,+，则“3x =”是“a//b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （7） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（A） （B）（C）（D）主视图侧视图俯视图（8）在同一直角坐标系中，方程22ax by ab +=与方程0ax by ab ++=表示的曲线可能是（A ） (B) (C) (D)第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.（10）复数2ii+在复平面内对应的点的坐标是____________. （11） 以点（-1,1）为圆心且与直线0x y -=相切的圆的方程为____________________.（12）已知函数()2x f x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.（13） A ，B 两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务.A 机到达甲地 完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回.图中折线分别表示A ，B 两架直升机离甲地的距离s 与时间t 之间的函数关系. 假设执行任务过程中A,B 均匀速直线飞行，则B 机每小时比A 机多飞行 公里.（14）设不等式组40,40,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，不等式组,(04)04t x t t y t -≤≤⎧≤≤⎨≤≤-⎩表示的平面区域为N.在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率为P.①当1t =时，P=__________；② P 的最大值是_________.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本题共13分）已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.（16）（本题共13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人， 他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”。
（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的 健康指数不大于0的概率.（17）（本题共14分）如图，四边形ABCD 与四边形ADMN 都为正方形，AN AB ⊥，F 为线段BN 的中点，E 为线段BC 上的动点.（Ⅰ）当E 为线段BC 中点时，求证：//NC 平面AEF ； （Ⅱ）求证：平面AEF ⊥BCMN 平面； （Ⅲ）设BEBC=λ，写出λ为何值时MF ⊥平面AEF(结论不要求证明).（18）（本题共13分）已知曲线()x f x ax e =-(0)a >. （Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线；（Ⅱ）若存在实数0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围. （19）（本题共14分）如图，已知椭圆E: 22221(0)x y a b ab +=>>的离心率为，过左焦点(F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB 的中点为M,直线l ：40x ky +=交椭圆E 于C,D 两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）求证：点M 在直线l 上；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得四边形AOBC 为平行四边形?若存在求出k 的值，若不存在说明理由.（20）（本题共13分）从数列{}n a 中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{}n a 的一个子列.（Ⅰ）写出数列{31}n -的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）设{}n a 是无穷等比数列，首项11a =，公比为q .求证：当01q <<时，数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（文科）答案 2014.3二、填空题 9．13 10. 12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11.()()22112x y ++-= 12. 4 13. 20 14. 38;12三、解答题 （15）解：（Ⅰ）()cos 2sin 2)4f x x x x π=+=+22T ππ∴==.---------------------------------------------------------------7分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 52,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦sin(2)42x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦5244x ∴+=ππ即2x π=时，()f x 的最小值为1-,242x +=ππ即8x π=时，()f x . -------------------------13分（16）解：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为120133342871201333413300++=+++， 所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为287300.-----------5分（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人 共有70人，所以被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康 指数不大于0.设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为， 健康指数不大于0的老龄人为B .从这五人中抽取3人，结果有10种： ，，，，，，，，，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种： ，，，，，所以被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为. -----------------13分（17） （Ⅰ）证明：F 为线段NB 的中点, E 为线段BC 中点 所以又NC ⊄平面AEF , EF ⊆平面AEF所以//NC 平面AEF-----------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：四边形ABCD 与四边形ADMN 都为正方形 所以AD ⊥NA ,AD ⊥ABNA A B A =，所以AD ⊥平面NAB AF ⊆平面NAB ，故AD ⊥AF //AD BC ，所以BC AF ⊥由题意NA =AB ，F 为线段NB 的中点 所以AF NB ⊥ N B B C B =，所以AF ⊥平面BCMNAF ⊆平面AEF所以平面AEF ⊥平面BCMN .-------------------------------------------11分 （Ⅲ）12λ=--------------------------------------------------------------------14分 （18）解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）. ()x f x a e '=-，(0)1f a '=-，所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y =(a -1)x -1.---------------4分 （Ⅱ）因为a>0，由()0f x '>得，ln x a <，由()0f x '<得，ln x a >，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,)a +∞上单调递减，所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a=-. 因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥.----------13分 19. 解：（Ⅰ）由题意可知2c e a ==，c =2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22()14y k x xy ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)1240k x x k +++-=.所以，212241x x k -+=+，21202241x x x k +-==+，002(41y k x k =+=+，于是222(,)4141M k k -∴++.40k +=，所以M 在直线l 上.---------------------------9分 （Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M 为OC 中点设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =.2|41k k =+，解得218k =，即k =.所以，当k =时四边形AOBC的对角线互相平分，即当k =时四边形AOBC 是平行四边形.------------------------------------------------14分（20）解：（Ⅰ）212n n a -=（若只写出2,8,32三项.给满分）.----------------------------------5分 （Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列{}n b ，11,01a q =<<1(0,1]n n a q -∴=∈，且数列{}n a 是递减数列，所以{}n b 也为递减数列且n b ∈（0，1]，0d <, 令1(1)0b n d +-<，得111b n d>->， 即存在*(1)n N n ∈>使得0n b <，这与n b ∈（0，1]矛盾.所以数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.----------------------------13分。
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【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含 9区一模及上学期期末试题精选）专题12：算法、选择题5执行如图所示的程序框图，输出的结果是-，则判断框6（2 . （ 2013届北京丰台区一模文科） 执行右边的程序框图所得的结果是3. （2013届北京海滨一模文）某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的x 值为5,则输出的y 值为 （）1A .B . 1 C. 2 D . 121 . （ 2013届北京东城区一模数学文科）内应填入的条件是A.n 5? B. n 5? C. n 5? D.n 5?C. 5D . 64 . （2013届北京大兴区一模文科）执行如图所示的程序框图5 .（2013届北京西城区一模文科）执行如图所示的程序框图A. -42B. -21C. 11D. 43n A.- 6 B.nC.-3D..若n 4,则输出s的值是.若输出y .3,则输入角F y=审口1 f/输缶〃6 . （2013届房山区一模文科数学）执行如图所示的程序框图.若输出S 15,可以填入A. n4B. n8C. n16 则框图中①处（）D. n 167 .（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）3, 则可输入的实数X值的个数为A. 1B. 2C. 3执行右面的框图, 若输出结果为（）D. 48 .（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）执行如图所示的程序框图. 若输入x 3，则输出k的值是x=x+5f t*箱束QA. 3B. 4 c. 5 D. 69 .（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）执行如图所示的程序框图,（）输出10.11 .12. 的k的值为A. 4（北京市丰台区的S值为. A. 3（北京市海淀区序，若输入的/馆出七/B. 5C. 6 2013届高三上学期期末考试数学文试题）B. 6C. 7 2013届高三上学期期末考试数学文试题）p为24，则输出的n,S的值分别为A. n 4,S 30 C. n 5,S 30D. 7执行如图所示的程序框图,（）则输出D. 10某程序的框图如图所示，（）执行该程■开始n 1, S 0入PS =•n___S是' 1 r1 /输岀n，S /t ___结束B. n 4,SD. n 5,S4545（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）执行如图所示的程序框图, 输出的13.（北京市西城区2013S=S^C. 251 1D. 250 1届高三上学期期末考试数学文科试题）执行如图所示的程序框图, 则输/辑出占/. a•结東.A. 2、填空题B. 6C. 15D. 3114 . （2013届北京市延庆县一模数学文）执行如图的程序框图,如果输入p 6 ,则输出的15. （2013届北京门头沟区一模文科数学）如右图所示的程序框图，执行该程序后输出的结果是开始i 1，s 2| H = 74■厂16.（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）(7W5=97=1^=1 （文）试题）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n的值是S=S+T17.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知某算程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为___________ .TET 工—■］即=7¥+ H/输出邸/法的流18.（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版）运行相应的程序，则输出n的值为•）阅读右边的程序框图,【精品推荐】北京 2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题12：算法参考答案选择题 A A A C D ； B 【答案】Cx ? 1x2解：本程序为分段函数 y' ，当x 2时，由x 2 1 3得，x 2 4，所以log 2x, x 2x 2。
2014北京市丰台区高三(一模)数学(文)
2014北京市丰台区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x∈R|﹣1≤x≤1}，B={x∈R|x（x﹣3）≤0}，则A∩B等于（）A．{x∈R|﹣1≤x≤3} B．{x∈R|0≤x≤3} C．{x∈R|﹣1≤x≤0} D．{x∈R|0≤x≤1}2．（5分）已知等比数列{a n}中，a2+a3=1，a4+a5=2，则a6+a7等于（）A．2 B．2 C．4 D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数．则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（﹣3）＞f（2） C．f（﹣1）＞f（3） D．f（﹣2）＜f（﹣3）5．（5分）设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．18B．36C．12D．248．（5分）在同一直角坐标系中，方程ax2+by2=ab与方程ax+by+ab=0表示的曲线可能是（）A．B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanα=2，则的值为．10．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．11．（5分）以点（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为．12．（5分）已知函数f（x）=2x，点P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，那么f（a）?f（b）的最小值是．13．（5分）A，B两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务．A机到达甲地完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回．如图中折线分别表示A，B两架直升机离甲地的距离s与时间t之间的函数关系．假设执行任务过程中A，B均匀速直线飞行，则B机每小时比A机多飞行公里．14．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率为P．①当t=1时，P= ；②P的最大值是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值．16．（13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 34 1380岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．17．（14分）如图，四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，AN⊥AB，F为线段BN的中点，E为线段BC上的动点．（Ⅰ）当E为线段BC中点时，求证：NC∥平面AEF；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥BCMN平面；（Ⅲ）设=λ，写出λ为何值时MF⊥平面AEF（结论不要求证明）．18．（13分）已知曲线f（x）=ax﹣e x（a＞0）．（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）若存在实数x0使得f（x0）≥0，求a的取值范围．19．（14分）如图，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（﹣，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得四边形AOBC为平行四边形？若存在求出k的值，若不存在说明理由．20．（13分）从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）设{a n}是无穷等比数列，首项a1=1，公比为q．求证：当0＜q＜1时，数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】B={x∈R|x（x﹣3）≤0}={x∈R|0≤x≤3}，则A∩B={x∈R|0≤x≤1}，故选：D．2．【解答】设等比数列{a n}的公比为q，则q2==2，∴a6+a7=（a4+a5）q2=2×2=4故选：C3．【解答】由程序框图知：程序第一次运行i=0+1=1，x=1+=2；第二次运行i=1+1=2，x=1+=；第三次运行i=2+1=3，x=1+=；第四次运行i=3+1=4，x=1+=．满足条件i≥4，输出x=．故选：A．4．【解答】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数；∴当0＜6时，f（0）＞f（6），∴命题A错误；又∵f（﹣3）=f（3），且3＞2，∴f（3）＜f（2），命题B错误；又∵f（﹣1）=f（1），且1＜3，∴f（1）＞f（3），即f（﹣1）＞f（3），∴命题C正确；又∵f（﹣2）=f（2），f（﹣3）=f（3），且2＜3，∴f（2）＞f（3），即f（﹣2）＞f（﹣3），∴命题D错误；故选：C．5．【解答】当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A6．【解答】有茎叶图中的数据可知，甲的数据主要集中85以下，乙的数据主要集中在86以上，∴根据数据分布可知＜，乙比甲成绩稳定，故选：乙参加比较，故选：D．7．【解答】由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的高为6，底面三角形的底边长为3+3=6，高为3，∴几何体的体积V=××6××6=18．故选：A．8．【解答】方程ax2+by2=ab 即；方程ax+by+ab=0，即y=﹣x﹣a．考察A选项，椭圆的焦点在x轴上，即b＞a＞0，直线的斜率小于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，符合题意；考察B选项，椭圆的焦点在y轴上，即a＞b＞0，直线的斜率大于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，不符合题意；考察C选项，双曲线的焦点在y轴上，则a＞0，b＜0，直线的斜率大于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，但截距﹣a＜0，不符合题意；考察D选项，双曲线的焦点在x轴上，则b＞0，a＜0，直线的斜率小于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，不符合题意；故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵tanα=2，∴===，故答案为：．10．【解答】=．∴复数在复平面内对应的点的坐标是．故答案为：．11．【解答】设点（﹣1，1）为圆心的圆的半径为r，依题意知，圆心（﹣1，1）到直线x﹣y=0的距离d=r==，∴所求的圆的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．12．【解答】∵P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，∴b=，即ab=1，∴f（a）?f（b）==22=4，即f（a）?f（b）的最小值是4，故答案为： 413．【解答】设机场到甲地的距离为s，则A机的速度是（公里/小时），B机的速度是：（公里/小时），B机每小时比A机多飞行=20公里．故答案为：20．14．【解答】①不等式组表示的平面区域为M，则对应三角形的面积S M=．不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为矩形，则对应的矩形面积为2t（4﹣t）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8，当t=1时，对应的面积S1=2×3=6，此时对应的概率P=．②当t=2时，区域N的面积最大为8，此时区域N的最大面积为8，则由几何概型的概率公式可知P的最大值是，故答案为：①，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴函数的周期为T==π．（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣1，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为．16．【解答】（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵F为线段NB的中点，E为线段BC中点，∴NC∥EF，又NC不包含平面AEF，EF?平面AEF，∴NC∥平面AEF．（4分）（Ⅱ）证明：四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，∴AD⊥NA，AD⊥AB，NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，AF?平面NAB，故AD⊥AF，AD∥BC，∴BC⊥AF，由题意NA=AB，F为线段NB的中点，∴AF⊥NB，NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，∵AF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCMN．（11分）（Ⅲ）解：λ=时，MF⊥平面AEF．（14分）18．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣e x（a＞0），∴f（0）=﹣1，则切点为（0，﹣1）．f′（x）=a﹣e x，f′（0）=a﹣1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y=（a﹣1）x﹣1；（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，由f′（x）＜0得，x＞lna，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（lna）=alna﹣a．∵存在x0使得f（x0）≥0，∴alna﹣a≥0，∴a≥e．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，c=，于是a=2，∴．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y1），M（x0，y0），由，即．，，，于是．∵，∴M在直线l上；（Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M为OC中点，设点C的坐标为（x3，y3），则．∵，解得．于是，解得，即．∴当时四边形AOBC的对角线互相平分，即当时四边形AOBC是平行四边形．20．【解答】（Ⅰ）解：数列{3n﹣1}中的2，8，32是一个等比数列，∵，，a3=32=22×3﹣1，由此猜想，∴数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列为{22n﹣1}．（若只写出2，8，32三项．给满分）．（5分）（Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列{b n}，∵a1=1，0＜q＜1，∴，且数列{a n}是递减数列，∴{b n}也为递减数列且b n∈（0，1]，d＜0，令b1+（n﹣1）d＜0，得n＞1﹣，即存在n∈N*（n＞1），使得b n＜0，这与b n∈（0，1]矛盾．∴数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．（13分）。
北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案
北京市丰台区2012～2013学年度上学期期末考试高三数学（文科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 72．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)43(B)83(C) 4 (D) 83．“0x >”是“12x x+≥”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)13(B)12(C)23(D)565．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+(D) 72sin()216x y π=+6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为.(A)3(B)6(C) 7(D) 107．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0),B(0,1)，点C 在第一象限内，6A O C π∠=，且|OC|=2，若O C O A O B λμ=+，则λ,μ的值是(A)，1 (B) 1(C)3，1 (D) 138．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，则 (A) ()0,1,x ∀∈都有f(x)>0 (B) ()0,1,x ∀∈都有f(x)<0 (C) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)=0 (D) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)>0二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______． 10．不等式组2,0,1x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是___________.11．设1233,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， . 12．圆()221x a y -+=与直线y=x 相切于第三象限，则a 的值是 ．13．已知A B C ∆中，BC=1，，则AC 等于______.14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，____(3)m n a m =≥．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本题共13分 ）函数2()l g (23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()(04)g x x a x =-≤≤的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围．16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅ 的值.17．（本题共13分 ）如图，三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1;(Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．1A18．（本题共14分 ）已知函数2()()(0)x f x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值. 19．（本题共13分 ）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴．直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）． （Ⅰ）当m=2， 54A C =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若O C AN ⊥，求m 的值． 20．（本题共14分 ）已知曲线2:2(0)C y x y=≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n ni ii i b c==<∑∑，若存在，求出N 的最小值；若不存在，说明理由.丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案一、选择题9．20； 10.12； 11. 3； 12． （写3分）；13．2； 14．5,1612n m + (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x 的函数2()l g (23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分（Ⅱ）∵A B B = ，∴B A ⊆．..….…………………………………………… 9分 ∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求s i n ()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3c o s 5α=，12sin 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=-． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA - |32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………11分∴9224O A O B -⋅= ．∴18O A O B ⋅=- ． ……………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8O A O B AB AO B O A O B +-∠==-，………………10分∴OA OB ⋅ =1||||cos 8O A O B A O B ∠=- ．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1;(Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴M N ∥BC 1．........................................................4分 ∵11111 , M N BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面，∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， B C ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分 又∵AB ⊥BC ，1AA AB A = ，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]x x x f x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0x e >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同． 又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f ee--=--=． ……………….…14分19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）． （Ⅰ）当m=2， 54A C =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若O C AN ⊥，求m 的值． 解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b+=（1,01a b ><<）． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分∴C 2的方程为2221a x y +=．当2A (22a -,C 1(22a．………………………………….……5分又∵54A C =,∴15224a a+=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214xy +=，2241x y +=． …………………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-,m) ．……………….……………9分∵OC ⊥AN ， 0OC AN ⋅=（*）． ……………………………............................................…10分 ∵O C =（），A N =（,-1-m)， 代入（*）并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ，∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n ni ii i b c==<∑∑，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y x y x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1（2，2），1(4,0)B ． ….…….…….…......3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可 得，11n n nnn n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*）…….………………………..5分 ∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上， ∴22112,2n n n n y x y x ++==， ∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222n n y x n ==， ….……………………………………………9分∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分 ∴422(1)(1)i b i i i i ==++，12iy i ic -==，∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111112(1)2231n n -+-++-+ =12(1)1n -+，…………….……..11分2111(1)11112211222212nni nni c =-=+++==--∑． …………………….……12分欲使11n ni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n-，只需1112nn n -<-+， ………………………………………………….…………13分*110(),012nn n N n -≥∈-<+，∴不存在正整数N ，使n≥N 时， 11nniii i bc==<∑∑成立．…………………….14分。
北京丰台区2012～2013学年度高三年级第一学期期末练习文科试题
丰台区2012〜2013学年度第一学期期末练习高三数学(文科)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1. 设全集U={1，3，5，7}，集合M={1 , a }， C u M {5，7}，则实数a 的值为2.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取 2个球，则恰有一个5.函数y 2sin( x )在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为.(A)3(B)6(C) 7(D) 10(A)1 (B) 3 (C) 5 (D) 7(A)(B)3.“ x 0”是“ x-2 ”的(A)充分但不必要条件 (C)充分且必要条件(C) 4(D)8(B)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件1 12 (A) -(B)-(C)-323(D)(A) y 2si n(2x 4) (B) y 2sin(2x；)(C) y 2sin(x(D) y 2si n (xI)红球的概率是2 167.在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0),B(0,1),点C 在第一象限内，AOC —,且6uuir uuu uuu |OC|=2 ,若 OC OAOB ,则,的值是(A) 3, 1(B) 1 ,3(C) -J, 13(D) 1 ,38.已知函数 2 f(x)= ax bx c ,且a b c, a b c 0，则 (A) x 0,1 ,都有 f(x)>0 (B) x 0,1 ,都有 f(x)<0 (C) X 。
0,1 ,使得 f(x 0)=0 (D) x 0,1，使得 f(x )>0二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9•某高中共有学生 900人，其中高一年级 240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采 用分层抽样法抽取容量为 45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ___________________ • X 2,10.不等式组 y 0,表示的平面区域的面积是 ________________ . y x 1 11•设 f(x) 3e x 1, x < 2,2log 3(x 1), X则f( f (2))的值为 2. 13.已知 ABC 中,AB- J 3 , BC=1 , tanC- J3 ,则 AC 等于 2 2 12.圆x a y 1与直线y=x 相切于第三象限，则 a 的值是 14•右表给出一个“三角形数阵” .已知每一列数成等差数列，从第三行 起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的 *数为 a j (i j,i, j N ),则 a 53等于 ____________________ , a mn __________ (m 3) • 14 1 1 2 ' 43 3 34 ' 8 ' 16三、解答题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.(本题共13分) 函数f(x) lg(x 2 2x 3)的定义域为集合A ,函数g(x) x a(0 x 4)的值域为(I)求集合A , B ；(H)若集合A , B 满足AI B B ,求实数a 的取值范围.17. (本题共13分)AB BC ，点M , N 分别为AC 1与AB 的中点.(I )求证：MN // 平面 BCC 1B 1； (II )求证：平面 A 1BC 平面A 1ABB 1.18. (本题共14分)已知函数f (x) (ax 2 bx c)e x (a 0)的导函数y f'(x)的两个零点为-3和0.(I)求f(x)的单调区间；(I)若f (x)的极小值为-1，求f (x)的极大值.19. (本题共13分)曲线G,C 2都是以原点o 为对称中心、离心率相等的椭圆•点M 的坐标是(0,1)，线段MN 是C 1的短轴，是C 2的长轴.直线l:y m(0 m 1)与G 交于A,D 两点(A 在D的如图，三棱柱ABC — A 1B 1C 1中，AA 1 平面ABC , C 116.(本题共13分)左侧)，与C 2交于B,C 两点(B 在C 的左侧).(H)若OC AN ，求m 的值.20. (本题共14分)已知曲线C:y 2 2x(y 0) , A(x i , %), AX, y 2), 人佃孑)，是曲线C 上的点，且满 足o X i X 2X n ，一列点B i (a i ,0)(i 1,2,)在x 轴上，且 B ii AB,B o 是坐标原点)是以A 为直角顶点的等腰直角三角形 •(I)求A 、B 的坐标;(H)求数列｛y n ｝的通项公式;4(川)令 b i, C i a i在，求出N 的最小值；若不存在，说明理由丰台区2012〜2013学年度第一学期期末练习高三数学(文科)参考答案、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACCBDAB二、填空题：9. 20;10. 1 ;11. 3 ;12. -、、2 (写 2 给 3 分)；25 m13. 2; 14., r (第一个空2分,第二个空3分)16 2n 1三•解答题215.(本题共13分)设关于 x 的函数f(x) lg(x 2x 3)的定义域为集合 A ，函数(I)当 m= 3 ,2AC 5时，求椭圆C i ,C 2的方程;4n N ，当n 》N 时，都有b ii 1nc i ,若存y i，是否存在正整数g(x) x a,(0 x 4)，的值域为集合B.(I)求集合A , B;（n）若集合A , B满足AI B B ,求实数a的取值范围解：(I) A={x|x2 2x 3 0},= {x|(x 3)( x 1) 0} = {x| x 1,或x 3}, ….................................. 4 分B {y | a y 4 a} . . .............................................................. •…...7 分(n)v AI B B ,••• B A ...… ............................ ................................................................. 9分••• 4 a 1 或a 3,•实数a的取值范围是{a|a 5或a 3}.…........... ......... .. ........... ..13分的终边在第一象限, sin• si n()=sin cos cos sin 4(531216 5+—13 =「65uuu uuu uuu3 n）方法（1)・.T ABI =| AB |=| OB OA|2, uuu uuu 2 uiW2 UJU2 uur uun 又|OBOA|2OB OA 2OA OB uuu uuu2 2OA OB,3分4分7分9分11分uuu uuu 9 •- 2 2OA OB —.4uuu uuu 1•- OA OB - ..........................................................................8 13分16.（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于A ,的终边在第二象限, cos13|OA |2 |OB |2| AB |2 2|OA||OB | 10分方法(2)v cos AOBuu uuu urn uju••• OA OB = |OA||OB|cos AOB 1 .........................8 ■13分17.(本题共13分)如图三棱柱ABC —AB i C i中，AA平面ABC, AB BC，点M , N 分别为A1C1与A1B的中点.(I )求证：MN// 平面BCC1B1；(n)求证：平面A1BC 平面A1ABB1.解：(I )连结BC1点M , N分别为A1C1与A1B的中点，••• MN // BC1 ......................................................................................................... 4 分•/ MN 平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1••• MN //平面BCC1 B1. ..................................... ....6 分(n ) • AA 平面ABC ,BC 平面ABC ,AA| BC ...................................................又• AB BC,AA, I AB A ,•BC 平面A ABB] .. ........................................ •BC 平面ABC ,•平面A BC 平面A ABB 12分13分2 x18.(本题共14分)已知函数f(x) (ax bx c)e (a 0)的导函数y f'(x)的两个零点为-3和0.(I)求f(x)的单调区间；(n)若f(x)的极小值为-1，求f(x)的极大值.解：(I) f (x) (2 ax b)e x(ax2 bx c)e x [ax2 (2 a b)x b c]e x.…2分令g (x) ax2(2a b)x b c ,T e x• •• y f '(x)的零点就是g(x) ax 2(2a b)x b c 的零点，且f (x)与g(x)符号相同.又•••a 0,•••当 X 3,或x 0 时，g(x) >0,即 f (x)0 ,当3x 0时，g(x) <0,即 f (x) 0 ,............................................ 6分f (X )的单调增区间是(-m , -3 ), ( 0, +m ),单调减区间是(-3 , 0). .............. 7分c 1, b c 0,9a 3(2a b) b c 0,解得 a 1,b1,c 1 .所以函数的解析式为 f(x) (X 2 X 1)e x .又由(I)知，f (X )的单调增区间是(-3 -3 ) , ( 0, +m),单调减区间是(-3 , 0)所以，函数f(X )的极大值为f( 3)(9 3 1)e 32 ..... ....................... .…14分e19.(本题共13分)曲线G,C 2都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆•点M 的坐标是(0,1),线段MN 是C 1的短轴，是C 2的长轴.直线l:y m(0 m 1)与C 1交于A,D 两点(A 在D 的左侧)，与C 2交于B,C 两点(B 在C 的左侧).肓5 (I)当m=——,AC —时，求椭圆G,C 2的方程；24(n) 若 OC AN ，求 m 的值.2 2解：设C 1的方程为 — y 2 1 ,C 2的方程为y 2 1 ( a 1,0 b 1).…..2分a b••• C 1 ,C 2的离心率相同,a 2 1(n)由(I )知,X =0是f (X )的极小值点，所以有11分二C 2的方程为a 2x 2 y 2 1.当 m T 时，A （a ，T ，c G 存）. .................................... .... …5 分又AC 41 a 51…，解得a=2或a=(舍), ............................................... .・・ ......... ..6分2a 2 4 22XC i ,C 2的方程分别为y 1 , 4x y 1 . ................................................. ..7分4(n)由(I)知 A(- a __,m),C( 1~,m) . ........................................... 9 分a•/ OC 丄 ANuuur UULT OC AN 0 (). .............................. .......................... …10 分1••• m—或 m=-1（舍负）,21• m= ............................................................................................ 13 分2220.（本题共14分）已知曲线C : y 2x （y 0） , 4（人，％）, A 2（X 2, 丫2）, 人风皿），是曲线 C 上的点，且满足0 X 1 X 2X n，一列点B （ a ,0）（ i 1,2,）在X 轴上，且 B i1AB i （B 。
丰台区2013年高三第二学期统一练习(文科答案0417)
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（文科）一、选择题选择题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2x -y+2=0；10.0.9； 11.25； 12. 34； 13. 116或21； 14. (0,0). 三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 解: （Ⅰ） 22sin ()2.B C A +=22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分 sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴∴ ……………………….4分 60,0=∴<<A A π °. …………………….6分 （Ⅱ）在ABC ∆中,60cos 2222⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC == ,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分 31023852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆ AC AB S ABC . …………………….13分 16.解: （Ⅰ）11(168168169170171171175175181182)17310x cm =+++++++++=,………………………….3分 ()()()()()222222211168173168173169173...18117318217323.610S cm ⎡⎤=-+-+-++-+-=⎣⎦;………………………….6分 答: 第一组学生身高的平均值为173cm ,方差为23.62cm 。
（Ⅱ）设“甲、乙在同一小组”为事件A ， ………………………….7分 身高在180以上的学生别记为a,b,c,d,e,其中a,b 属于第一组，c,d,e 属于第二组。
15 16 17 18 9 8 8 5 5 1 1 0 2 1 96 9 2 3 47 2 3 5 第一组 第二组从五位同学中随机选出两位的结果是如下10种：(a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e).其中两位同学在同一小组的4种结果是：(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) . ……….11分 ∴52104)(==A P . 答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为25. ………………………….13分 17. 解：（Ⅰ）设N 为BC 中点，连结MN ，AN ,M 为BE 中点,∴MN//EC ，且MN=21EC , AD //EC ，且AD =21EC , ∴四边形ANMD 为平行四边形, ……………………….3分∴ AN //DMDM ⊄平面ABC ，AN ⊂平面ABC ,∴ DM //平面ABC ; ……………………….6分（Ⅱ） CE BC AC BC ⊥⊥,,C CE AC = ,∴⊥BC 平面ACED ,⊂DE 平面ACED ,∴⊥BC DE , ……………………….9分 ∵DE ⊥DC ,又 ⊥DE BC ,C DC BC = ,∴ DE ⊥平面BCD . ……………………….12分 ⊂DE 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD . ……………………….13分18.解：（Ⅰ）∵P (2,0)在函数f (x )的图象上，∴f (2)=0∴02)1(22ln =++-a a ,即(ln 22)0,a -=,ln 220,0a -≠∴= . ……………………….2分 ∴f (x )=212x x -，∴()1f x x '=-, ∴(2)1f '=, ……………………….4分 ∴直线l 的方程为y =x -2，即x -y -2=0 . ……………………….5分 （Ⅱ）()f x 的定义域为{|0}x x >, ……………………….6分 (1)()()(1)a x x a f x a x x x--'=-++=, ………………………7分由()0f x '=得1,x x a ==或,①当1a =时,()0f x '≥在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x=1时，()0f x '=，∴()f x 的单调递增区间是（0，+∞）； ………………………8分 ②当a =0时，,()01f x x '>⇔>，()001f x x '<⇔<<，∴()f x 的单调递增区间是（1，+∞），()f x 的单调递减区间是（0，1）；……9分 ③当01a <<时,()001f x x a x '>⇔<<>，或，()01f x a x '<⇔<<，∴()f x 的单调递增区间是（0，a ）和（1，+∞），()f x 的单调递减区间是（a ，1）； ………………………11分 ④当1a >时,()001f x x x a '>⇔<<>，或，()01f x x a '<⇔<<，∴()f x 的单调递增区间是（0，1）和（a ，+∞），()f x 的单调递减区间是（1，a ）.19.解：（Ⅰ）依题意知2a =,3=c ,23=∴e ; ………… 3分 （Ⅱ） )1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ………………………4分 ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭………………………8分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ………………………10分 （Ⅲ）据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +- …………………12分∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, ………………13分 令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ………………14分20. 解：（Ⅰ）设等比数列{}n b 的公比为q ，11431,18b a b a ===+=，则q 3=8，∴q =2，∴b n =2n -1， ………………………3分 （Ⅱ）根据数列{a n }和数列{}n b 的增长速度，数列{}n c 的前50项至多在数列{a n }中选50项，数列{a n }的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，由2n -1<148得，n ≤8,数列{b n }的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a n }中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a 46=136>128，故数列{c n }的前50项应包含数列{a n }的前46项和数列{b n }中的2，8，32，128这4项. …………………6分所以S 50=14646()28321282a a +++++=3321; ………………………8分 （Ⅲ）据集合B 中元素2，8，32，128∉A ，猜测数列{}n d 的通项公式为d n =22n -1. …9分 d n =b 2n ，∴只需证明数列{b n }中，b 2n-1∈A ，b 2n ∉A （n N *∈） ……………………11分 证明如下：b 2n +1-b 2n-1=22n -22n -2=4n -4n -1=3×4n -1,即b 2n +1=b 2n -1+3×4n -1，若∃m ∈N *,使b 2n -1=3m -2，那么b 2n +1=3m -2+3×4n -1=3(m +4n-1)-2，所以，若b 2n -1∈A ，则b 2n +1∈A .因为b 1∈A ，重复使用上述结论，即得b 2n -1∈A （n N *∈）。
北京市2013高考数学 一模试题解析分类汇编系列五 2 函数 文
【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】2：函数1．（2013（ ）A ．9B ．91C ．9-D ．91-B2 ．（2013届北京大兴区一模文科）设0.70.45 1.512314,8,()2y y y -===,则（ ）A ．312y y y >> (B )213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>A0.7 1.4142y ==，0.45 1.35282y ==， 1.5 1.531()22y -==，所以312y y y >>，选A.3．（2013届北京市朝阳区一模数学文）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++= ，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 B由题意知0000212(1)12()1(1)(21)63x x x n n x n ++++++++=+++= ，因为0,x n N ∈ ，所以12n +≥，021+1x n n ++>。
因为79=321=63⨯⨯，所以当13n +=时，00212321x n x ++=+=，此时解得02,9n x ==，生成点为(9,2)。
当17n +=时，0021279x n x ++=+=，此时解得06,1n x ==，生成点为(1,6)。
所以函数()f x 的“生成点”共有2个，选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知函数)(2)()(2b a ab x b a x x f <+++-=的两个零点为)(,βαβα<,则实数βα,,,b a 的大小关系是（ ）A ．b a <<<βαB ．b a <<<βαC ．βα<<<b aD ．βα<<<b a A2()()2()()2f x x a b x ab x a x b =-+++=--+，所以()()20f a f b ==>，且)(,βαβα<是函数的两个零点，所以a b αβ<<<，选A.5．（2013届北京东城区一模数学文科）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -(k ∈Z )上有零点,则k 的值为（ ）A ．2或7-B ．2或8-C ．或7-D ．或8-A当3x ≥-时，由()230xf x =-=，解得2log 3x =，因为21log 32≤≤，即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以2k =。
【解析】北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学文试题
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 【答案】B解：因为{5,7}U C M =，所以3a =，选B.2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)43(B)83(C) 4 (D) 8【答案】A解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以114222323C B CD V -=⨯⨯⨯⨯=，选A.3．“0x >”是“12x x+≥”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】C解：当0x >时，12x x +≥=。
若因为1,x x 同号，所以若12x x +≥，则10,0x x>>，所以0x >是12x x+≥成立的充要条件，选C.4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)13(B)12(C)23(D)56【答案】C解：从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率1122244263C C P C ===，选C.5．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A) 2sin (2)4y x π=- (B) 2sin (2)4y x π=+ (C) 32sin ()8y x π=+ (D) 72sin ()216x y π=+【答案】B 解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。
所以2sin(2)y x ϕ=+，又()2s i n (2)288y f ππϕ==⨯+=，所以sin ()14πϕ+=，即2,42k k Z ππϕπ+=+∈，所以24k πϕπ=+，所以2sin (2)4y x π=+，选B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为.(A)3 (B)6 (C) 7 (D) 10【答案】D解：第一次循环，0S =，不满足条件，1n =；第二次循环，1S =，不满足条件，2n =；第三次循环，123S =+=，不满足条件，3n =；第四次循环，336S =+=，不满足条件，4n =；第五次循环，6410S =+=，此时满足条件，输出 10S =，选D.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0),B(0,1)，点C 在第一象限内，6A O C π∠=，且|OC|=2，若O C O A O B λμ=+，则λ,μ的值是(A)1 (B) 1(C)3，1 (D) 13【答案】A解：因为6A O C π∠=，所以,6O A O C π<>= 。
2014年北京高考文科数学试题及答案(Word版)
2014 年一般高等学校招生全国一致考试北京卷文科数学本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长120 分钟，。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的 4 个选项中，选出切合题目要求的一项。
1.若会合A 0,1,2,4 ， B 1,2,3 ，则A B （）A. 0,1,2,3,4B. 0,4C. 1,2D. 32.以下函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A. y e xB. y xC. y ln xD. y x3.已知向量a 2,4 ， b 1,1 ，则 2a b （）A. 5,7B. 5,9C. 3,7D. 3,94.履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A. 1B. 3C. 7D. 15开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“ a b ”是“ a2 b2”的（）A. 充分而不用要条件B. 必需而不用要条件C.充分必需条件D. 既不充分不用要条件6.已知函数f x 6log 2 x ，在以下区间中，包括 f x 零点的区间是（）xA. 0,1 1,2 2,4 D. 4,B. C.7.已知圆C : x2 21和两点A m,0 ， B m,0 m 0 ，若圆C上存在点3 y 4P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”at 2 . 咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）学科网知足的函数关系 p bt c （ a 、b、 c 是常数），以下图记录了三次实验的数据. 依据上述函数模型和实验数据，能够获得最正确加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟p0.80.70.5O 3 4 5 t第 2 部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
北京市丰台区高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案.pdf
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习 高三数学（文科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是 (A) (B) (C) 4 (D) 8 3．“”是“”的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 (A) (B) (C) (D) 5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是 (A) (B) (C) (D) 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为. (A)3 (B)6 (C) 7(D) 10 7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是 (A) ，1 (B) 1， (C) ，1 (D) 1， 8．已知函数f(x)=,且，则 (A) 都有f(x)>0 (B) 都有f(x)0 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______． 10．不等式组表示的平面区域的面积是___________. 11．设 . 12．圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是 ． 13．已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______. 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本题共13分 ）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B． （）求集合A，B； （）若集合A，B满足,求实数a的取值范围． 16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点． （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 17．（本题共13分 ） 如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点. ()求证：MN平面 BCC1B1; ()求证：平面A1BC平面A1ABB1． 18．（本题共14分 ） 已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间； （）若的极小值为-1，求的极大值. 19．（本题共13分 ） 曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴．直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）． （）当m=， 时，求椭圆的方程； （）若，求m的值． 20．（本题共14分 ） 已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. （）求、的坐标； （）求数列的通项公式； （）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由. 丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习 高三数学（文科）参考答案 一、选择题 题号12345678答案BACCBDAB二、填空题： 9．20； 10.； 11. 3； 12．- （写给3分）； 13．2； 14． (第一个空2分,第二个空3分) 三．解答题 15．（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B. （）求集合A，B； （）若集合A，B满足,求实数a的取值范围. 解：（）A=, ==， ….…………………..……4分 B. ..……………………………………………….…...7分 （），．..….…………………………………………… 9分 或， 实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…………………..13分 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点． （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 解：（）根据三角函数的定义得， ， ，……………………………………………………2分 的终边在第一象限，． ……………………………………3分 的终边在第二象限， ． ………………………………4分==+=．………7分 （）方法（1）AB=||=||，……………………………9分 又， …………11分 ． ． ……………………………………………………………13分 方法（2），………………10分=．…………………………………13分 17．（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点. ()求证：MN平面 BCC1B1; ()求证：平面A1BC平面A1ABB1. 解：()连结BC1 点M , N分别为A1C1与A1B的中点， ∥BC1．........................................................4分 ， MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分 ()∵， 平面， ．...................................................................................................... 9分 又ABBC， ， ．....................................................................................... 12分 ∵， 平面A1BC平面A1ABB1．............................................................................... 13分 18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间； （）若的极小值为-1，求的极大值. 解：（）．…2分 令， ， 的零点就是的零点，且与符号相同． 又， 当时，>0,即， 当时，<0,即， ………………………………………6分 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （）由（）知，=0是的极小值点，所以有 解得． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为． 又由（）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数的极大值为． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）． （）当m=， 时，求椭圆的方程； （）若，求m的值． 解：设C1的方程为,C2的方程为（）． …..2分 C1 ,C2的离心率相同， ,∴，………………………………..……………………3分 C2的方程为． 当m=时，A,C．………………………………….……5分 又, ∴，解得a=2或a=(舍)， ……………………………...………..6分 C1 ,C2的方程分别为，． …………………………..7分 （）由（）知A(-,m),C(,m) ．……………….……………9分 OC⊥AN， （）． ……………………………............................................…10分=（,m），=（,-1-m)， 代入（）并整理得2m2+m-1=0， ………………………………………………12分 ∴m=或m=-1(舍负) ， m=． ……………………………………………………………………13分 20．（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. （）求、的坐标； （）求数列的通项公式； （）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由. 解：（）?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B0A1的方程为y=x． 由 得，，得A1（2，2），． ….…….…….…......3分 （）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得， ，即 ．（*）…….………………………..5分 和均在曲线上， ， ，代入（*）式得， ()．………………… …………………………..…..….…..7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 故其通项公式为() ． …………....…………………………...……..8分 （）由（）可知，， ….……………………………………………9分 ，……………………..……………………………….…10分 ，， ==，…………….……..11分 ． …………………….……12分 欲使，只需3? n=n+1 输出S S=0, n=0 结 束 开 始。
北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题(word版)
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学〔文科〕一、选择题：共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)43 (B) 83(C) 4 (D) 8 3．“0x >”是“12x x+≥”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)13 (B)12 (C) 23 (D) 565．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如下图，则此函数的解析式是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+(D) 72sin()216x y π=+ 6．执行如下图的程序框图，则输出的S 值为.(A)3(B)6(C) 7(D) 107．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0),B(0,1)，点C 在第一象限内，6AOC π∠=，且|OC|=2，假设OC OA OB λμ=+，则λ,μ的值是(A)3，1 (B) 1，3S S n =+开 始 结 束S =0, n =0输出S n =n +1 n >3? 否是(C)3，1 (D) 1，38．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，则 (A) ()0,1,x ∀∈都有f(x)>0 (B) ()0,1,x ∀∈都有f(x)<0 (C) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)=0 (D) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)>0 二、填空题：共6小题，每题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．不等式组2,0,1x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是___________.11．设1233,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， . 12．圆()221x a y -+=与直线y=x 相切于第三象限，则a 的值是 ．13．已知ABC ∆中，BC=1，AC 等于______. 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a 〔*,,N j i j i ∈≥〕，则53a 等于 ，____(3)mn a m =≥． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．〔此题共13分 〕函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()(04)g x x a x =-≤≤的值域为集合B ．〔Ⅰ〕求集合A ，B ； 〔Ⅱ〕假设集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围．16．〔此题共13分 〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．〔Ⅰ〕假设点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值； 〔Ⅱ〕 假设∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值. 17．〔此题共13分 〕如图，三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1; (Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1． 18．〔此题共14分 〕已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0. 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值. 19．〔此题共13分 〕曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M 的坐标是〔0,1〕，线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴．直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点〔A 在D 的左侧〕，与2C 交于B,C 两点〔B 在C 的左侧〕．〔Ⅰ〕当m=54AC =时，求椭圆12,C C 的方程；〔Ⅱ〕假设OC AN ⊥，求m 的值． 20．〔此题共14分 〕已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点〕是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形.1A〔Ⅰ〕求1A 、1B 的坐标； 〔Ⅱ〕求数列{}n y 的通项公式；〔Ⅲ〕令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，假设存在，求出N 的最小值；假设不存在，说明理由.丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学〔文科〕参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.12； 11. 3； 12．〔写3分〕； 13．2； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．〔此题共13分〕设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.〔Ⅰ〕求集合A ，B ； 〔Ⅱ〕假设集合A ，B 满足A B B =,求实数a 的取值范围.解：〔Ⅰ〕A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分〔Ⅱ〕∵A B B =，∴B A ⊆．..….…………………………………………… 9分∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分16．〔此题共13分〕如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．〔Ⅰ〕假设点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；〔Ⅱ〕 假设∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：〔Ⅰ〕根据三角函数的定义得， 3cos 5α=， 12sin 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分 ∵β的终边在第二象限，∴ 5cos 13β=- ． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分〔Ⅱ〕方法〔1〕∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………11分 ∴9224OA OB -⋅=． ∴18OA OB ⋅=-． ……………………………………………………………13分方法〔2〕∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，………………10分∴OA OB ⋅=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-．…………………………………13分 17．〔此题共13分〕如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1; (Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴MN ∥BC 1．........................................................4分∵11111,?MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面， ∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分 又∵AB ⊥BC ，1AA AB A =，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分18．〔此题共14分〕已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：〔Ⅰ〕22()(2)()[(2)]x x xf x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同． 又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是〔-∞，-3〕，〔0，+∞〕，单调减区间是〔-3，0〕．……7分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由〔Ⅰ〕知，()f x 的单调增区间是〔-∞，-3〕,〔0，+∞〕，单调减区间是〔-3，0〕. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f ee --=--=． ……………….…14分 19．〔此题共13分〕曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是〔0,1〕,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点〔A 在D 的左侧〕，与2C 交于B,C 两点〔B 在C 的左侧〕．〔Ⅰ〕当m=54AC =时，求椭圆12,C C 的方程；〔Ⅱ〕假设OC AN ⊥，求m 的值．解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=〔1,01a b ><<〕． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=2时，A (22a -,C 1(,22a ．………………………………….……5分 又∵54AC =, ∴15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分 ∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． …………………………..7分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知A(-．……………….……………9分 ∵OC ⊥AN ，0OC AN ⋅=〔*〕． ……………………………............................................…10分 ∵OC =〕，AN =〔,-1-m)， 代入〔*〕并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ， ∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．〔此题共14分〕已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点〕是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. 〔Ⅰ〕求1A 、1B 的坐标； 〔Ⅱ〕求数列{}n y 的通项公式；〔Ⅲ〕令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，假设存在，求出N 的最小值;假设不存在，说明理由.解：〔Ⅰ〕∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1〔2，2〕，1(4,0)B ． ….…….…….…......3分〔Ⅱ〕根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可得，11n n nnn n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．〔*〕…….………………………..5分∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入〔*〕式得22112()n n n n y y y y ++-=+， ∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知，2222nn y x n ==， ….……………………………………………9分 ∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分 ∴422(1)(1)i b i i i i ==++，12iy i i c -==， ∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111112(1)2231n n -+-++-+ =12(1)1n -+，…………….……..11分2111(1)11112211222212nn i n ni c =-=+++==--∑． …………………….……12分 欲使11nni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n -， 只需1112n n n -<-+， ………………………………………………….…………13分*110(),012n n n N n -≥∈-<+ ， ∴不存在正整数N ，使n≥N 时， 11n niii i b c ==<∑∑成立．…………………….14分。