小学奥数-求硬币旋转圈数问题

“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法

2004年《小学数学教师》第5期77页上有这样一个著

名的经典问题： 甲乙两枚大小相等的硬币。现将硬币甲固

定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回

到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？

这题的答案是2圈，对于文中的答案书上给出了两种解释。对于这两种方法，虽然都说明了为什么会转2圈的道理，但都显得比较抽象、难懂。而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。我认为还有更直观易懂的方法去解释它。

一、预备定理：“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。”

二、证明：“如右图，圆和这条直线相切

于A 点，这个圆从A 点开始沿着直线滚动

一周后再和这条直线相切于A 点，这时圆心

所经过路径长度为线段OO 的长度，圆周所

滚过的路径长度为线段AA 的长度，这两个

长度是一样的。

事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。

利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样

去理解的：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周

围自我滚动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点

时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币

的圆心为中心的圆，如右图，设这个大圆的半径为R ，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的

长度=2πR 。利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。所以当硬币乙沿硬币乙 甲

甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr（本圆的周长）。这儿R=2r，所以2πR是2πr的2倍，2πR÷2πr=2，即硬币乙一共旋转了2圈。

用这个方法去考虑这类问题的优点在于：只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数。

例1：取八个大小相同的硬币，摆成右图形状。最上端那个硬币（圆A）顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一圈。问硬币A自己一共转了

几圈？

分析与解答：设每个硬币直径为1，当圆A转至A位置（此

时圆A与圆B和圆C都相切）时，圆A始终以圆B的圆心为

圆心，1为半径旋转且旋转了60，这个轨迹的长度为2×π×1×= 。可以看出，圆A顺着6个硬币旋转一周，所滚过的路径长度为12×=4π，而硬币A自己转一圈经过路径的长度为2×π×0.5=π,因此硬币A一共转了4π÷π=4（圈）。

例2：如右图所示，如果圆O周长为20π厘米，

有两个同样大小的小圆A、B，其半径为2厘米，

小圆A沿圆O的内壁滚动，小圆B沿圆O的外壁

滚动，小圆B转动几圈后回到原来的位置？小圆B

转动几圈后回到原来的位置？小圆A转动几圈后

回到原来的位置？

分析与解答：圆O的半径为20π÷π÷2=10厘米，当小圆B沿圆O的外壁滚动再回到原来位置时，小圆B的圆心所经过的轨迹为“以O为圆心，以（10+2）厘米为半径的圆。”这个轨迹长度为2×12×π，而这个长度也等于小圆B的圆周滚过的长度，而小圆B自己转一圈的长度为2×2×π，（2×12×π）÷（2×2×π）=6圈。小圆A沿圆O内壁滚动再回到原来位置时，小圆A的圆心的运动轨迹为“以O为圆心，以（10－2）厘米为半径的圆。”所以小圆A的圆心

共经过了2×8×π厘米，（2×8×π）÷（2×2×π）=4圈。

推广到更一般的情况：当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲+ R乙）÷（2πR乙）=（R甲+ R乙）÷R乙，在圆甲的内圆周作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲- R乙）÷（2πR乙）=（R甲－R乙）÷R乙，（R甲＞R乙），用这种方法解题更直观简便且操作性强。

现在我们用新方法来解决一些近年来出现的数学竞赛题，最后所附其余题目可以自己思考。

1、一个小轮在一个大轮内不停地滚动，大轮的半径是小轮的直径。小轮滚动一周回到原来位置时，小轮自己旋转了几圈？（第9届全国华罗庚少儿数学邀请赛初赛题）

解答：R=2r，（R- r）÷r=1圈。

2、如右图，在一边长为8.28厘米的正方形内有一个半径为1厘米的小圆，

小圆紧贴正方形的内壁滚动一周，小圆自己要转几圈？

解答：小圆紧贴正方形的内壁滚动一周后，圆心经过

的轨迹为一个边长6.28厘米(8.28－1－1)的正方形，

其长度为6.28×4=25.12厘米，这个长度也等于小圆

的圆周一共所滚过的长度。小圆自己转一圈的长度为3.14×2=6.28厘米,

25.12÷6.28=4圈

拿两个5毛硬币，一个不动，另一个贴着第一个转，总共转1周，问第二个硬币转了几圈？

这个问题看似很无聊，自己拿硬币试试就知道了（当然我没有一次成功的转满一周，每次都打滑╮(╯▽╰)╭）。实际上，我的第一反应是：肯定不是1圈，2圈差不多，不过也太巧合了吧。然而，生活总是玩弄我们，这种巧合确实存在，事实上答案确实是两圈。然而，生活中的数学问题肯定是有依据的，我们试着从理论层面来分析这个问题。

一个圆绕着另一个圆旋转，这个问题有点复杂，我们不妨将问题化简一下：一个圆在一条线上运动，它运动的距离是多少？

答案很显然，就是圆心所走的距离！由此，我们容易知道，一个圆转动过程中，运动的路程等于圆心运动的路程。有趣的事情发生在一条折线上。

当圆运动到线段的尽头时，它会转向，而此时底部的点是静止不动的。至于怎么转向……我们知道，圆O与第一条线段相切，前进过程中圆始终保持这个状态，相当于以转折点为圆心、圆的半径为半径，做一条弧，运动到圆O’时，圆O’要与第二条线段相切。由此，我们易知：圆O在转折时，运动的距离就是弧O’O 的长度（注意，此时圆下面那个点不动，只是“重心转移”）。

说到这里，原来滚硬币的问题应该就很容易解决了。

我们推广到一般情况，两个圆，圆A和圆B半径分别是r和R，两圆切与C点，圆B绕着圆A转一周。则圆B运动的路程就是以A为圆心、(r+R)为半径的圆的周长，即2π(r+R)。我们要计算圆B转的圈数，实际上就是除以圆B的周长。