【精品】2017-2018年北京市海淀区高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．D．1
2．（4分）双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C．D．
3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．
4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）
A．32 B．34 C．36 D．40
5．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣
|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）
A．90°B．105°C．120° D．150°
6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．
C．D．
8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：
①对任意的点Q，A 1Q∥平面B1BCC1；
②存在点Q，使得A1Q∥B1P；
③对任意的点Q，B1Q⊥A1C
则上面推断中所有正确的为（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．
10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为，点（4，4）到其准线的距离为．
11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）
12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．
13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．
x04
y﹣2
14．（4分）曲线W的方程为
①请写出曲线W的一条对称轴方程；
②请写出曲线W上的两个点的坐标；
③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是．
三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．
16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BC⊥PA．
17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．
（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；
（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．
18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上
顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．
（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；
（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．D．1
【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，
则在y轴上的截距为1．
故选：D．
2．（4分）双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C．D．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±x．
故选：A．
3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，
则实数m=﹣1，
故选：B．
4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积
为（）
A．32 B．34 C．36 D．40
【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：
长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，
如图，
∴该零件的体积：
V=10×2×2﹣2×2×1=36．
故选：C．
5．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣
|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）
A．90°B．105°C．120° D．150°
【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|
﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，
所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．
故选：A．
6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．
∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．
故选：C．
7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．
C．D．
【解答】解：由两条直线m，n，两个平面α，β，知：
在A中，相交、平行或异面，故A错误；
在B中，相交、平行或异面，故B错误；
在C中，相交、平行或m⊂β，故C错误；
在D中，，由面面平行的性质定理得D正确．
故选：D．
8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：
①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；
②存在点Q，使得A1Q∥B1P；
③对任意的点Q，B1Q⊥A1C
则上面推断中所有正确的为（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【解答】解：对于①，平面A1ADD1∥B1BCC1，A1Q⊂平面A1ADD1，∴对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1，①正确；
对于②，平面A1ADD1∥B1BCC1，
过点A1、B1、B作平面A1B1B，交直线AD1于Q，
则交线A1Q∥B1P，如图1所示，
∴②正确；
对于③，由正方体的性质知，
B1D1⊥A1C，AD1⊥A1C，且B1D1∩AD1=D1，
∴A1C⊥平面AB1D1，如图（2）所示；
∴对任意的点Q，B1Q⊥A1C，③正确；
综上，上面推断中正确的是①②③．
故选：D．
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．
【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，
倾斜角为α=135°，
经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：
y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
故答案为：135°，x+y﹣2=0．
10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），点（4，4）到其准线的距离为5．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，
点（4，4）到其准线的距离为：5．
故答案为：（1，0）；5．
11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，
∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，
构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．
故答案为：A1、A、C、D．
12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，
故直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=．
故答案为：．
13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每
条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．
x04
y﹣2
【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．
设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
则，解得．
∴，．
则e=．
故答案为：．
14．（4分）曲线W的方程为
①请写出曲线W的一条对称轴方程x=0；
②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，2），（0，﹣2）；
③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是[﹣2，2] ．
【解答】解：曲线W的方程为
即为[x2+（y+1）2][x2+（y﹣1）2]=9，
即有[（x2+y2+1）+2y][（x2+y2+1）﹣2y]=9，
可得（x2+y2+1）2﹣4y2=9，
即有x2+y2+1=，
①将x换为﹣x，y不变，方程不变，
可得曲线的一条对称轴为x=0；
②令x=0，可得y=2或﹣2，可得曲线上两点的坐标为（0，﹣2），（0，2）；
③由x2=﹣（y2+1）≥0，
即为≥y2+1，
平方可得9+4y2≥y4+2y2+1，
即为y4﹣2y2﹣8≤0，
解得﹣2≤y2≤4，
解得﹣2≤y≤2，
则曲线上点的纵坐标的范围是[﹣2，2]．
故答案为：x=0；（0，2），（0，﹣2）；[﹣2，2]．
三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，
∵．
∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．
则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，
则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，
此时满足直线和圆相切，
若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k=0，
∵直线和圆相切，
∴圆心到直线的距离d===1，
即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，
即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，
则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．
16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BC⊥PA．
【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．
∴DE∥PC，
∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴DE∥平面PAC．
（Ⅱ）∵PB=PC，AB=AC，且点D是BC的中点，
∴PD⊥BC，AD⊥BC，
∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，
17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．
（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；
（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCF是等腰梯形，
点O 为FC的中点，点G是AB的中点，
∴OG⊥FC，
又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，
∴OG⊥平面FCDE．
解：（Ⅱ）F、D点为所求的点．
∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，
又ED FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，
∴FD⊥EO，
∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．
（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，
由ED OC，得EOCD是平行四边形，
∴EO∥DC，
∵EO⊂平面EOG，∴DC∥平面EOG，
又BH∩DC=H，∴平面EOG∥平面BCD，
∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，
∴不存在点H，使得BH∥平面EOG．
18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上
顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．
（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；
（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，
∴a=2，b=c=，
∴椭圆标准方程为+=1．
（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=x+m代入椭圆+=1中，消y可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，
∵△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，解得m2＜6，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴|PQ|=•=•=•，
（i）当m=1时，|PQ|=，
（ii ）原点到直线y=x +m 的距离d=
，
∴S
△
POQ
=|PQ |
•d=
×
•
×
=，
整理可得m 4﹣6m 2+8=0， 解得m 2=4，或m 2=2， 解得m=±2，或m=±
故m 的值存在，为±
，±2
赠送—高中数学知识点
二次函数
（1）一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令
2()f x ax bx c =++，
从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2b
x a
=-
③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔
x y
1
x 2x O
∙
a
b x 2-
=k
<a 0
)(<k f
②x 1≤x 2＜k ⇔
③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0
④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔
x
y
1
x 2
x 0
>a O ∙
∙
1
k
2k 0)(1>k f 0
)(2>k f a
b x 2-
=
x
y
1x 2
x O
∙
<a 1
k ∙
2
k 0
)(1<k f 0
)(2<k f a
b x 2-
=
⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合
x
y
1
x 2
x 0
>a O ∙
∙
1
k
2
k 0)(1>k f 0
)(2<k f
x
y
1x 2
x O
∙
<a 1k
∙
2
k 0
)(1>k f 0
)(2<k f
⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01
()2
x p q =
+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -
<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a
->，则()m f q =
①若02b x a -
≤，则()M f q = ②02b x a
->，则()M f p =
(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -
<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a
->，则()M f q =
①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a
->，则()m f p =．
x
>
O
-
=f (p)
f (q)
()2b f a
-0
x x
>O -=f
(p) f
(q)
()2b f a
-0x x
<O
-=f (p) f (q) ()2b
f a
-x
<
O
-=f (p)
f
(q)
()
2b f a
-x
<
O
-=f (p)
f
(q)
()2b
f a
-
x x
<
O
-
=f (p)
f (q)
()2b f a
-
x
<
O
-
=f (p)
f (q)
()2b f a
-
x。