第5章 统计决策与贝叶斯估计

合集下载

贝叶斯估计的计算过程

贝叶斯估计的计算过程

贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。

它将先验概率和样本数据结合起来,得到后验概率,从而进行参数估计或者预测。

具体的计算过程包括以下几个步骤:
1. 确定先验分布。

先验分布是指在观测到任何数据之前对参数的概率分布的猜测。

通常选择一个合适的先验分布是非常重要的,因为它会对后续的推断结果产生影响。

2. 计算似然函数。

似然函数是指在给定参数值的情况下,观测到数据的概率。

它是样本数据的函数,它描述了数据与参数之间的关系。

3. 计算后验分布。

后验分布是指在观测到数据后,对参数的概率分布的更新。

根据贝叶斯定理,后验分布等于先验分布和似然函数的乘积再除以标准化常量。

4. 计算后验分布的期望值。

后验分布的期望值是对参数的估计值。

它可以用来进行预测或者进行决策。

贝叶斯估计在许多领域中被广泛应用,比如机器学习、生物统计学、金融学、医学等。

它的优点是可以处理不确定性,同时也可以将经验信息纳入到统计推断中,从而得到更准确的结果。

- 1 -。

统计决策论

统计决策论

➢求解步骤
Step1 Step2
H1
计算似然函数、似然比,并写出判决表达式 (y) fY|H1(y| H1)
化简
fY|H0(y| H0)
H0
Step3 根据统计量计算 fY|H1(y| H1)和 fY|H0(y| H0)
Step4 在P D 1H 0fY|H 0yH 0d y约束下,计算判决门限
Chapter 5 Statistical Decision
Theroy
01 介绍
02 贝叶斯准则
03 极小化极大准则(Minimax)
04 Neyman-Pearson准则
05 复合假设检验
06 序列检测
2
Review
• 贝叶斯判决准则
最小平均 错误概率 判决准则
H1
fY|H1(y| H1) P0(C10C00)
•R对P1取导数
( C 1 C 1 0 ) 0 ( C 0 C 1 1 ) P M 1 ( C 1 C 0 0 ) P F 0 0
•当C00=C11=0
C01PMC10PF
•进一步C01=C10=1
PF PM
此时,平均代价最小即转化为平均错误概率最小。
C00=C11=0
C01=C10=1
(a)Find the dicision regions for which the probability of error is minimum.
P(ε)=P0PF+P1PM=PM(P0+P1)=Q(m/2δ)
例1:在闭启键控通信系统中,两个假设下的观察信号模型为:
H0: xn H1: xAn
若两个假设的先验概率未知,且 c00c110 c01c101

贝叶斯统计决策

贝叶斯统计决策

叶斯统计决策理论是指综合运用决策科学的基础理论和决策的各种科学方法对投资进行分析决策。

其应用决策科学的一般原理和决策分析的方法研究投资方案的比选问题,从多方面考虑投资效果,并进行科学的分析,从而对投资方案作出决策。

涉及到投资效果的各种评价、评价标准、费用(效益分析)等问题。

投资决策效果的评价问题首要的是对投资效果的含义有正确理解,并进行正确评价。

贝叶斯统计中的两个基本概念是先验分布和后验分布。

①先验分布。

总体分布参数θ的一个概率分布。

贝叶斯学派的根本观点,是认为在关于总体分布参数θ的任何统计推断问题中,除了使用样本所提供的信息外,还必须规定一个先验分布,它是在进行统计推断时不可缺少的一个要素。

他们认为先验分布不必有客观的依据,可以部分地或完全地基于主观信念。

②后验分布。

根据样本分布和未知参数的先验分布,用概率论中求条件概率分布的方法,求出的在样本已知下,未知参数的条件分布。

因为这个分布是在抽样以后才得到的,故称为后验分布。

贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据后验分布,而不能再涉及样本分布。

贝叶斯统计(Bayesian statistics),推断统计理论的一种。

英国学者贝叶斯在1763年发表的论文《有关机遇问题求解的短论》中提出。

依据获得样本(Xl,X2,…,Xn)之后θ的后验分布π(θ|X1,X2,…,Xn)对总体参数θ作出估计和推断。

它不是由样本分布作出推断。

其理论基础是先验概率和后验分布,即在事件概率时,除样本提供的后验信息外,还会凭借自己主观已有的先验信息来估计事件的概率。

而以R.A.费希尔为首的经典统计理论对事件概率的解释是频率解释,即通过抽取样本,由样本计算出事件的频率,而样本提供的信息完全是客观的,一切推断的结论或决策不允许加入任何主观的先验的信息。

以对神童出现的概率P的估计为例。

按经典统计的做法,完全由样本提供的信息(即后验信息)来估计,认为参数p是一个“值”。

贝叶斯统计的做法是,除样本提供的后验信息外,人类的经验对p 有了一个了解,如p可能取pl与户p2,且取p1的机会很大,取p2机会很小。

信号检测与估计理论第五章 统计估计理论 PPT课件

信号检测与估计理论第五章 统计估计理论 PPT课件

20世纪90年代
参数为随机变量-贝叶斯估计
p x, p x p()
5.1.2 数学模型和估计量构造
1
2
M
M
p(x )
x1
x
x2
M
xN
ˆ x g x g x1, x2,...xN
四个组成部分:参量空间、概率映射、观测空间和估计准则。 概率映射函数 p(x ) ,完整地描述了含有被估计矢量信息时观测 矢量的统计特性。
ˆ E(ˆ), 2ˆ Var(ˆ) E[(ˆ ˆ )2], 2ˆ E[( ˆ)2]
5.1.3 估计量性能的评估
例子:非随机未知单参量的估计
E(nk ) 0,
E(njnk ) n2 jk
xk nk , k 1, 2,L , N;
ˆ( x)
1 N
N
xk ;
k 1
E[ˆ(x)]
代价函数的选择常常带有主观性,而后验概率密度函数 p( | x)
也不一定能满足高斯型的要求。
希望能够放宽条件,也能获得均方误差最小的估计。
5.2.3 最佳估计的不变性
两种情况下最小均方误差估计所具有最佳估计不变性。
5.2.3 最佳估计的不变性
情况Ⅰ 情况Ⅱ
5.3 最大似然估计
最大似然估计常用来估计未知的非随机参量。
E
1 N
N k 1
xk
E
1 N
N
(
k 1
nk )
E[%2 ( x)] E[( ˆ( x))2 ]
E
1 N
N
(
k 1
nk
)
2
E
1 N
N
nk
k 1
2

《数理统计》课程教学大纲

《数理统计》课程教学大纲

《数理统计》课程教学大纲Mathematica1Statistics一、课程基本信息学时:48学分:3考核方式:考试。

期末成绩、平时成绩各占总成绩的70%和30%课程简介:数理统计是统计学专业的一门专业基础课,在教学计划中列为主干课程。

通过本课程的学习,可以使学生初步掌握处理随机现象的基本方法,掌握随机变量理论和基本的统计推断方法,提高学生分析问题解决问题的能力,为学生进一步学习数据分析、统计学原理等后续课程打下良好的基础。

二、课程性质与教学目的本课程是统计学专业学生必修的一门专业基础主干课程;数理统计是研究随机现象统计规律的学科,是培养学生掌握、解决、处理随机现象的一门课程。

本课程的教学目的为,通过本课程的学习,使学生初步掌握掌握随机变量四大理论,分布函数理论、分布律理论、概率密度理论和数字特征理论;掌握基本的统计推断方法,参数估计方法、假设检验方法和回归分析方法,提高学生分析问题解决问题的能力,拓展学生创新能力。

本课程将为后续课程的学习以及相关课程设计、毕业设计等奠定重要的基础。

三、教学方法与手段教学方法方面,本课程思维方式独特,还需要学生有一定的微积分基础。

教学中应注意概率意义的解释和学生基础情况的把握,处理好抽象与具体,偶然与必然、一维与多维,理论与实践的关系。

采用启发式教学,培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力;引导和鼓励学生通过自学获取知识,培养学生的自学能力;增加讨论课,调动学生学习的主观能动性,培养学生的创新能力。

教学手段方面,本课程属于理论基础课,在教学中采用多媒体课件及多媒体教学系统等先进教学手段,以确保在有限的学时内,全面、高质量地完成课程教学任务。

五、推荐教材和教学参考斐源推荐教材:《概率论与数理统计教程》,蔚诗松、程依明、濮晓龙编著,高等教育出版社,2004教学参考资源1.沈恒范,《概率论与数理统计教程》,高等教育出版社,20052.盛骤等,《概率论与数理统计》,高等教育出版社,20083.华东师范大学数学系,《概率论与数理统计教程》,高等教育出版社,19804.张玉春、刘玉凤,《概率论与数理统计学习指导》,国防工业出版社,2008。

贝叶斯统计原理及方法优秀-2022年学习资料

贝叶斯统计原理及方法优秀-2022年学习资料

伽玛分布-如果随机变量X具有概率密度函数-e-D-Fa-x-1-x≥0-0,-x<0-则称X服从伽玛分布, 作X~Gaa,入.-其中a>0为形状参数,入>0为尺度参数,-6
EX=于-」e=iara,-Ta+11o-To2-aa+1-EX2=-22-C-VrX=EX2-[EX]2 -7
贝塔函数-Ba,b=[x"1-x-dx-称为贝塔函数,其中参数a>0,b>0-贝塔函数的性质:1Ba,b= b,a-TaTb-2Ba,b=-Ta+b-10
Bayesian Statistics-贝叶斯统计-1
贝叶斯统计-预修要求:已修过概率论与数理统计-基本教材:-茆诗松编,贝叶斯统计-中国统计出版社,2005年
[1]贝叶斯统计与决策.Berger J O.中国统计出版-社.1998-[2]现代贝叶斯统计.Kotz ,吴喜之.中国统计出版-社.1999-[3]贝叶斯统计推断.张尧庭、陈汉峰.科学出版-社.1991
经典统计学:基于以上两种信息进行的统计推断被-称为经典统计学。-•说明:它的基本观点是把数据(样本)看成是 自-具有一定概率分布的总体,所研究对象是这个总体而-不局限于数据本身。-据现有资料看,这方面最早的工作是高 和勒让德-德误差分析、正态分布和最小二乘法。从十九世纪末-期到二十世纪中叶,经皮尔逊、费歇和奈曼等人杰出工作创立了经典统计学。-²随着经典统计学的持续发展与广泛应用,它本身的-缺陷也逐渐暴露出来了。-23
贝叶斯方法Bayesian approach-贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系-统地阐述和解决统 问题的方法Samuel Kotz和-吴喜之,2000。-贝叶斯推断的基本方法是将关于未知参数的先-验信息与 本信息综合,再根据贝叶斯定理,得-出后验信息,然后根据后验信息去推断未知参数-茆诗松和王静龙等,1998年 -“贝叶斯提出了一种归纳推理的理论(贝叶斯定-理,以后被一些统计学者发展为一种系统的统计-推断方法,称为贝 斯方法.”一摘自《中国大百-科全书》(数学卷)-16

统计决策概论

统计决策概论
f (x, )对 作出推断。由于 f (x, ) =h( x1,x2 ,…,xn )m(x1,x2 ,…,xn),
其中m(x1,x2 ,…,xn) 是x1, x2 , …, xn 的边际概率函
数,它与 无关。因此能用来对 作出推断的仅 是条件分布h( x1, x2 , …, xn),它的计算公式是
(1) f ( ) 0,
(2) 0 gn (t | ) f ( )d

D f
gn (t | ) f ( ) ; n 1,2 gn (t | ) f ( )d
是共轭分布族
n
(其中 p(xi | ) gn (t | )h(x),因子分解定理) i 1
11/5/2020
参数估计
h( | x) f (x; ) q(x | ) ( )
m(x) q(x | ) ( )d
11/5/2020
参数估计
第19页
这个条件分布称为 的后验分布,它集中了总 体、样本和先验中有关 的一切信息。
后验分布h( x1, x2 , …, xn )的计算公式就是 用密度函数表示的贝叶斯公式。它是用总体和样
第26页
若后验分布h( x)与( )属于同一个分布族,则 称该分布族是 的共轭先验分布(族)。 二项分布b(n, )中的成功概率 的共轭先验分布
是贝塔分布Be(a,b);
➢ 泊松分布P( )中的均值 的共轭先验分布是伽玛 分布Γ(,);
指数分布中均值的倒数的共轭先验分布是伽玛分
布Γ(,); 在方差已知时,正态均值 的共轭先验分布是正
(3)凸损失函数 L( , d) ( )W (| d |) (4)多元二次损失函数 L( , d ) (d )T A(d )
11/5/2020

统计学ppt课件贾俊平完整版

统计学ppt课件贾俊平完整版

时间序列预测的评价指标
平均误差、均方误差、均方根误差和平均绝 对误差等。
08
统计计算与软件应用
统计计算基础
描述性统计
计算数据的中心趋势( 均值、中位数、众数) 和离散程度(方差、标 准差、四分位距)。
概率论基础
理解概率、期望、方差 等基本概念,掌握常见 概率分布(如正态分布 、t分布、F分布等)。
数据分布的图形表示
介绍直方图、箱线图等图形表示方法 ,用于直观展示数据的分布形态。
03
概率论基础
随机事件与概率
随机事件
在一定条件下,并不 总是发生,也不总是 不发生的事件。
概率
描述随机事件发生的 可能性大小的数值。
பைடு நூலகம்
概率的性质
非负性、规范性、可 加性。
条件概率
在给定另一事件发生 的条件下,某一事件 发生的概率。
专注于数据管理和统计分析,提供丰富的计量经济学方法,适 合经济学和金融学等领域。
开源且易学的编程语言,拥有强大的数据处理和可视化库(如 pandas、matplotlib等),适合数据科学和机器学习领域。
R语言在统计学中的应用实例
数据清洗和整理
使用R中的dplyr等包进行数据清洗、 筛选和变换。
02
统计学的研究方法
描述统计方法
描述统计方法是统计学中最基础 的方法,它通过对数据进行整理 、概括和可视化,帮助我们了解
数据的基本情况和分布特征。
推断统计方法
推断统计方法是统计学中更高级 的方法,它基于概率论和数理统 计的理论,通过对样本数据的分 析来推断总体数据的特征和规律

实验设计方法
实验设计方法是统计学中用于研 究因果关系的方法,它通过设计 和实施实验来控制和观察各种因 素的变化,从而揭示出因素之间
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

• 例 设X~N(,1), 未知,取先验密度h()1, 显然它不是通常意义下的密度函数,但可以 验证它是一个广义先验密度函数。
先验分布的确定
先验分布的确定方法有: (1) 客观法 以前的资料积累较多,对的先验分布能作 出较准确的统计或估计。在这种情况下, 分布的确定没有渗杂多少人的主观因素, 故称之为客观法。
dD dD
则称d*为参数的极小化极大估计量,也称为 Minimax决策函数.

注:这个使得最大风险达到最小的决策函数,是 考虑到最不利的情况而采取尽可能好的结果,这 样的一种策略,也就是通常所说的从最坏处着想 而争取最好的结果,因而是一种基于稳定而偏于 保守的考虑。
例 设总体X~B(1,p),p={1/2,1/4},样本 容量为1,即X1为样本,D= {1/2,1/4},损失 函数L(p,d)由下表给出,试求参数p的
风险函数R( , d ( x)) EL( , d ( x)), 而 R( , d )称为 决策函数当参数取值 时的风险。

例1 设总体服从参数为的泊松分布, >0,选取二次损失函数L(,d)=(d- )2,考 虑的估计量的风险函数 定义 若存在一个决策函数d*(X),使得对 任何决策函数d(X),都有
n
n
这说明贝努里分布 B(1, p )中 p 的共轭先验分布为 分 布,其后验密度为:
a xi 1 b n xi 1 a b n i 1 i 1 p (1 p ) 0 p 1 n n a xi b n xi h ( p | x) i 1 i 1 0 其它



(3) 同等无知原则

这一原则称为Bayes假定。以产品的废品率 p为例,当我们对p一无所知时,我们只好 先验地认为,p以同等机会取 (0,1) 内各种值, U作为 (0,1) p的先验 因而以 内均匀分布 (0,1) 分布。这一先验分布称为无信息先验分布。


(4)共轭分布方法 H.Raiffa, R.Schlaifer提出了先验分布应取共轭分布 才合适。 定义 设样本分布族为q(x | ) : ,若先验分 布 与后验分布 h | x 属于同一分布类型,则 先验分布 称为关于 q(x | ) 的共轭分布。确切 地说,若 F 为的 一个密度函数族,若任 取 ( ) F ,得到样本观测值 x 后,由 及 q(x | ) 确定的后验密度函数 h | x F ,则称 F 是关于 q(x | ) : 的共轭先验分布族,或称为 参数 共轭先验分布族。



(2) 主观概率法
按照Bayes学派的说法,这是一种通过“自我反省” 去确定先验分布的方法。就是说,对参数取某某 值的可能性多大,通过思考,觉得该如何,而定 下一个值。 主观先验分布反映了个人以往对的了解,包括经 验知识和理论知识,其中有部分可能是通过他人 获取的,也可能是他人对的了解。对过去的经验 和知识,必须经过组织和整理。 这样提出的先验分布,在主观上是正确的,但不 能保证合乎某种客观标准。

记F(x| )= F(x;)表示给定时总体的条件分 布,从而(X, )的联合分布函数(密度函数)为
F(x, )=π()F(x| )
f(x, )=π()q(x| )

在联合分布下X的边缘分布f(x, )d 是对 的一种“平均”,与无关。

的条件分布 定义 在的条件 X = x 下, (或条件概率密度) 称为后验分布,后验分布 由后验密度函数 h( | x) : 描述,其计 算公式为:

R( ,d*) R( , d ),
对任何 。
则称d*为此决策问题的一致最优解。

前面的点估计的优良性的均方误差即是
取二次损失函数,来寻求决策问题的一
致最优解(未知参数的最优估计)。如
果限定在无偏估计类中,也得到了比较
好的结果。即:如果未知参数存在充分
完备统计量,且有无偏估计,则存在唯
n n
二 贝叶斯统计推断原则

原则: 对参数所作的任何推断必须基 于且只能基于的后验分布。 由上面原则,对的推断不依赖样本分
布和先验分布,因此估计的无偏性就没 有意义了。


矩估计不适合Bayes推断原则。

极大似然估计适合Bayes推断原则。

贝叶斯估计
原则: 找后验分布的某个有代表性的特征
的条件分布。
• 后验分布的分母与 无关,因此在计算后
验分布的极值点时,不需要计算分母。
• Bayes统计推断的原则就是对参数所作的
任何推断(参数估计、假设检验等)必须基
于且只能基于的后验分布,即后验密度函
数族
h( | x) :
• 例 X~N(,2), 2已知, 的先验分布为
§2 极小化极大 (Minimax)估计
记为参数空间,R( , d )为d的风险函数, 则M (d )=sup R( , d )表示当采取决策函数d

时,可能遭受到的最大风险,我们希望找到 一个d , 使M (d )尽可能小。
定义 设D是决策空间, 若有d*D,使得对任一 dD,都有M(d*)M(d),即 * M (d ) inf M (d ) inf sup R( , d ),
Minimax估计。
L( p, d )
p
d
d1*=1/4
d2*=1/2
p1=1/4
p2=1/2
1
3
4
2
对X1有两种取值,对应di的不同情况,列出下表
X1
D
d1 1/4 1/4
d2 1/2 1/2
d3 1/4 1/2
d4 1/2 1/4
0 1
对四种决策函数di,计算其风险函数:(以d1为例)
R(p1,d1)=Ep1(L(p1,d1)) =Pp1(X=0) L(p1,1/4)+ Pp1(X=1) L(p1,1/4) =1
h( p)
b 1
p i1 (1 p)

n
xi
n

i 1
n
xi
p
a

i 1
n
xi 1
(1 p)
bn
xi 1
i 1
n
即 p 的后验分布是 分布 B(a xi , b n xi ) 的核,
i 1 i 1
ˆ E ( x) h( x)d
称为θ 的条件期望估计。
例 假设总体 X ~ N (, 2 ) ( 2 已知) , X1 , X 2 , , X n 为 来自总体 X 的样本,假定 的先验分布为正态分布
1 2 ( ) exp 2 ( 0 ) 2 2 2 1
第四章 统计决策与贝叶斯估计
1950年,统计学家瓦尔德(A.Wald)出版了
题为《Statistical Decision Function》的一书,建
立了一种统一处理各种统计问题的决策理论。
这个理论已不同程度地渗透到了数理统计的各
个分支中,对数理统计的发展产生了很大影响, 应用非常广泛。 贝叶斯估计是贝叶斯统计的主要部分,它 是运用统计决策理论研究参数估计问题。
§3 贝叶斯(Bayes)估计

迄今为止,我们所研究的统计推断用了两 种知识:一是模型,即总体的样本族;另 一种是由样本所提供的包含了有关未知参 数的信息。 但还有一种信息,即在获得估计之前,对 总体情形的一些了解,称为附加信息。下 面所要介绍的Bayes估计就是把附加信息 也利用上的一种估计。

数字去估计。例如后验分布的均值、中位
数,或使后验密度达到最大的值等去估计。
通常将最后这个估计称为广义极大似然估计。
在Bayes估计中,区间估计也完全依赖于后
验密度。
1、条件期望(后验均值)估计

用后验分布的期望去估计参数,得到参数 的条件期望估计。 定义 设θ 的后验密度为 h( x) ,则后验分 布的期望:
一、 先验分布与后验分布

定义 参数 的参数空间 上的一个概率分 布称为 的先验分布,其密度族记 为 ( ) : ;样本 X X1, X 2 , , X n 的条 件密度函数族 q(x | ) : 称为样本分布族; 先验分布与样本分布族 构 成Bayes参数统计模型。
• 实际上, 在我们前面所讲的置信区间理论
里面所涉及到的置信区间也是在无偏置信
区间的意义下,它们是最好的。
定义 如果一个置信区间满足,对每个和′,有
P(aq() b)P(a q(′) b)
则称其为一个无偏置信区间. • 上述定义是说,这种区间必须至少以盖住其 它值的可能性盖住q()的真正值. • 一般来说,在水平为1-的区间类中不存在一 个区间,它对所有参数值具有最小期望长度. • 对于假设检验也有无偏检验类.
( 已知)
2
样本分布为
1 1 n 2 q(x ) n ( xi ) n exp 2 2 (2 ) 2 i 1
§1 统计决策的三要素

样本空间和分布族 {F ( x) : }, X ( X1, X 2 , , X n )
决策空间(和决策函数) d ( X ) d ( X1, X 2 , , X n ), d D 损失函数(与风险函数) 损失函数 L( , d )是非负实值函数

~N(,2),求的后验分布。
• 注:前述反映的先验信息的函数h()应是一 密度函数。但有时h()却非密度函数,但满 足条件:1. h()非负;2. 对任何样本x,后验 密度h(|x)仍然满足密度函数的条件。这时, 可形式地把h()看成是的一个“先验密度”, 称为广义先验密度。最有意义的广义先验密 度是满足 h( )d =的那种。
相关文档
最新文档