北京第十三中数学 二次函数单元测试卷(解析版)
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北京第十三中数学二次函数单元测试卷（解析版）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x
﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值
为4；（3）Q的坐标为（5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），进而根据S
＝S△PHB+S△PHC＝1
2
PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝1
2
x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即1
2
x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为y＝
1
2
x2
﹣
3
2
x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x，
1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），则点H（x，
1
2
x﹣2），
S＝S△PHB+S△PHC＝
1
2
PH•（x B﹣x C）＝
1
2
×4×（
1
2
x﹣2﹣
1
2
x2+
3
2
x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝
OC
OB
＝
1
2
＝tan∠ROC＝
RC
BC
，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22
(2)
x x
5＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝
1
2
×QR•BC＝
1
2
BR•QK，即
1
2
2x•2x＝
1
2
5，
解得：KQ
5
∴sin∠RBQ＝
KQ
BQ
5
5x
＝
4
5
，则tanRBH＝
4
3
，
在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×4 3
＝
16
3
，则点H（0，﹣
16
3
），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝
4
3
（x﹣4）②，
联立①②并解得：x＝4（舍去）或
5
3
，
当x＝
5
3
时，y＝﹣
28
9
，故点Q（
5
3
，﹣
28
9
）；
②当点Q在BC上方时，
同理可得：点Q的坐标为（﹣
11
3
，
92
9
）；
综上，点Q的坐标为（
5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
2．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1
2
36
25
S
S
时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+
2
3
E'B的最小值．
【答案】（1）抛物线y＝﹣
3
4
x2+
9
4
x+3，直线AB解析式为y＝﹣
3
4
x+3；（2）P（2，3
2
）；（3）
410
3
【解析】