中考数学微专题六中点四边形

3.如图,依次连接第1个矩形各边的中点得到1个菱形, 再依次连接菱形各边的中点得到第2个矩形,按照此方 法继续下去.已知第1个矩形的面积为1,则新得到第n个 矩形的面积为_(_14__)n_1_.
4.(2019·苏州相城区期末)如图,在四边形ABCD 中,AB=DC,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点. (1)证明:EG=EH. (2)证明:四边形EHFG是菱形.
类型三 中点四边形是矩形 【例3】(2019·龙岩模拟)如图,在四边形ABCD 中,AD=CD,AB=CB,E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点. 求证:四边形EFGH是矩形.
【自主解答】如图,连接AC,BD,
∵E,F为AD,AB的中点,
∴EF∥BD且EF=1 BD,
2
同理HG∥BD且HG1= BD,
【自主解答】结论:四边形EFGH是菱形; 理由:连接AC,BD,
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,EF= 1AC,
2
同理可得:HG∥AC,HG=1 AC,EH∥BD,EH1= BD,
2
2
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形, 又∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD, ∴EH=EF, ∴四边形EFGH是菱形.
2
同理:HG∥AC,且HG=1 AC,
2
∴EF∥HG,且EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当BD=AC且BD⊥AC时,四边形EFGH是正方形,
同(1)得到四边形EFGH为平行四边形,且EH=GH1=
2
1BD,∠EHG=90°,
2
∴平行四边形EFGH为正方形.
AC=
5.如图,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD, DA的中点. 世纪金榜导学号 (1)判断四边形EFGH的形状,并证明 你的结论. (2)当BD,AC满足什么条件时,四边形EFGH是正方形.(不 要求证明)
【解析】(1)四边形EFGH是平行四边形.
∵E,F分别是边AB,BC的中点, ∴EF∥AC,且EF= 1AC,
微专题六 中点四边形
【主干必备】 1.定义: 依次连接四边形各边___中__点____所得的四边形称为中点 四边形.
2.形状: (1)一般情况:中点四边形的形状一定是_平__行__四__边__形__.
(2)特殊情况: ①如果四边形对角线互相垂直,则中点四边形为 __矩__形___. ②如果四边形对角线相等,则中点四边形为___菱__形____. ③如果四边形对角线互相垂直且相等,则中点四边形 为___正__方__形____.
【自主解答】四边形EFGH是平行四边形,理由是: 如图所示,连接BD,
∵E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,
∴HE∥BD,HE=1 BD,GF∥BD,GF=1 BD,
2
2
∴HE=GF且HE∥GF;
∴四边形EFGH是平行四边形.
类型二 中点四边形是菱形 【例2】(2019·重庆渝中区期中)如图,在矩形ABCD 中,E,F,G,H分别是四条边的中点.试判断四边形EFGH的 形状,并证明你的结论.
【微点警示】 1.中点四边形的形状与原四边形两条对 角线的数量与位置有关. 2.判定中点四边形的形状主要应用三角形的中位线的 性质.
【核心突破】 类型一 一般四边形的中点四边形 【例1】(2019·自贡期末)如图,将四边形ABCD的四边 中点E,F,G,H依次连接起来,能得到四边形EFGH是平行 四边形吗?请说明理由.
【题组过关】 1.如图,E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点,则四边 形EFGH是___正__方____形.
2.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边 上的中点,连接AC,BD,回答问题 世纪金榜导学号
(1)对角线AC,BD满足条件___A_C_⊥__B_D___时,四边形EFGH 是矩形. (2)对角线AC,BD满足条件___A_C_=_B_D___时,四边形EFGH是 菱形. (3)对角线AC,BD满足条件___A_C_⊥__B_D_且__A_C_=_B_D___时,四边 形EFGH是正方形.
【证明】(1)∵在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是
AD,BC,BD,AC的中点,
∴EG是△ABD的中位线,EH是△ADC的中位线,
∴EG= 1 AB,EH=1 CD,
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∵AB=CD,∴EG,F,G,H分别是 AD,BC,BD,AC的中点, ∴FG∥CD,HE∥CD,FH∥AB,GE∥AB, ∴GE∥FH,GF∥EH; ∴四边形GFHE是平行四边形, 又EG=EH,∴四边形EHFG是菱形.
【明·技法】 1.中点四边形的性质 (1)中点四边形的每条边都是原四边形相应对角线的一 半,且与相应对角线平行. (2)中点四边形的面积为原四边形面积的一半.
2.矩形、菱形、正方形的中点四边形 (1)矩形的中点四边形是菱形(矩对菱). (2)菱形的中点四边形是矩形(菱对矩). (3)正方形的中点四边形是正方形(正对正).
【自主解答】四边形EFGH的形状是正方形,
理由如下:
在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,
故可得:EF= 1AC,
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同理EH=1 BD,GH=1 AC,FG=1 BD,
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在四边形ABCD中,AC=BD, ∴EF=FG=GH=HE, ∴四边形EFGH是菱形. 在△ABD中,E,H分别是AB,AD的中点, 则EH∥BD, 同理GH∥AC, 又∵AC⊥BD,∴EH⊥HG,∴四边形EFGH是正方形.
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∴EF∥HG,且EF=HG,
∴四边形EFGH为平行四边形, ∵AD=CD,CB=AB,∴BD垂直平分AC, ∴EH⊥BD, ∴EF⊥EH,即∠FEH=90°, ∴四边形EFGH是矩形.
类型四 中点四边形是正方形 【例4】(2019·恩施期末)如图,已知 四边形ABCD的两条对角线AC和BD互相 垂直且相等,顺次连接该四边形四边 的中点E,F,G,H.试判断四边形EFGH的形状并证明.