分离常数参数法-高考理科数学解题方法练习题

方法四 分离（常数）参数法

1.练高考

1.【2016高考北京文数】函数()(2)1

x

f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1

()11121

f x x =+

≤+=-，即最大值为2. 2.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B

A B B A

+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

12

()∏由()I 知2

a b

c +=

, 所以 2

2

2

2222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫

+- ⎪+-⎝⎭=

=311842

b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.

故 cos C 的最小值为

12

. 3.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.

(Ⅰ)设2

2

*

1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；

(Ⅱ)设

()

22

*

11

,1,n

n

n n k a d T b n N ===

-∈∑，求证：2111.2n

k k

T d =<∑

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

4.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)x x

f x a b a b a b =+>>≠≠. 设1

2,2

a b ==

. （1）求方程()2f x =的根;

（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；

（3）若01,1a b <<＞

，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】

（1）因为12,2

a b ==

，所以()22x x f x -=+.

①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x

-⨯+=， 所以2

(21)0x

-=，于是21x =，解得0x =. ②由条件知2222(2)2

2(22)2(())2x

x x x f x f x --=+=+-=-.

因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，

所以2(())4

()

f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.

而

2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))4

4(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.

（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0

(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.

因为'

()ln ln x

x

g x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，

所以'

()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a

a

x b

=-

. 令'

()()h x g x =，则'

'

2

2

()(ln ln )(ln )(ln )x

x

x

x

h x a a b b a a b b =+=+，

从而对任意x R ∈，'

()0h x >，所以'

()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，

于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''

0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02

x

g g <=， 又log 2

log 2log 2(log 2)220a a a a g a

b a =+->-=，且函数()g x 在以

2

x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002

x

<，

所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾.

若00x >，同理可得，在0

2

x 和

log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =.

于是ln 1ln a

b

-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 5.【2016高考新课标3理数】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值

为A ．

（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．

【答案】（Ⅰ）'

()2sin 2(1)sin f x a x a x =---；（Ⅱ）2

123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧

-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪

-≥⎪⎪⎩

；（Ⅲ）见解析．

【解析】

（Ⅰ）'

()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．

（ⅰ）当1

05

a <≤

时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．

（ⅱ）当

115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a

-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a

--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．