求圆的轨迹方程(专题一)师用

求圆的轨迹方程

教学目标：

1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；

2、 掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程

3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点：

1、 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；

2、 会求曲线的轨迹方程（圆）

教学过程：

第一部分 知识点回顾

一、圆的方程：

1．圆的标准方程：()()2

2

2

x a y b r -+-=。

2．圆的一般方程：2222

0(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>

特别提醒：只有当22

D E 4F 0＋－>时，方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22

D E -

-，

的圆 思考：二元二次方程2

2

0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ 答案： （0,A C =≠且0B =且2

2

40D E AF +->））； 3．圆的参数方程：{

cos sin x a r y b r θθ

=+=+（θ为参数）

，其中圆心为(,)a b ，半径为r 。圆的参数方程的主

要应用是三角换元：

222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤。

4．()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如 （1）圆C 与圆2

2

(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：2

2

(1)1x y ++=）；

（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(2

2

=-+-y x 或1)1()1(2

2

=++-y x ）；

（3）已知(P -是圆

{cos sin x r y r θθ

==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，

P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________

（答：2

2

4x y +＝；

23

π

；40x -+=）； （4）如果直线l 将圆：x 2

+y 2

-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是_ （答：[0，2]）； （5）方程x 2

+y ２

－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：2

1

<

k ）； （6）若{

3cos {(,)|

3sin x M x y y θθ

===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，

若φ≠N M ，

则b 的取值范围是_________（答：(

－）

二、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()2

2

2

C 0：x-a y b r

r +-=>，

（1）点M 在圆C 外()()2

22

00CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；

（2）点M 在圆C 内⇔()()22

2

00CM r x a y b r <⇔-+-<；

（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()2

2

0y b r +-=。如

点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２

＋y 2

=1的内部,则a 的取值范围是______（答：13

1

||<

a ）

三、直线与圆的位置关系：

直线:0l Ax By C ++=和圆()()2

2

2

C ：x a y b r

-+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几

何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：

设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如

（1）圆1222

2

=+y x 与直线sin 10(,2

x y R π

θθθ+-=∈≠

k π+，)k z ∈的位置关系为____

（答：相离）；

（2）若直线30ax by +-=与圆22

410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____

（答：2）；

（3）直线20x y +=被曲线2

2

62x y x y +--150-=所截得的弦长等于

（答：；

（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2

=1上的最短路程是

（答：4）； （5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆2

2

2

:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线

2:l ax by r +=，则

A ．//m l ，且l 与圆相交

B ．l m ⊥，且l 与圆相交

C ．//m l ，且l 与圆相离

D ．l m ⊥，且l 与圆相离

（答：C ）；

（6）已知圆C ：2

2

(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。①求证：对m R ∈，直线L 与圆C

总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.

（答：②60或120 ③最长：1y =，最短：1x =）

第二部分 直线与圆的典型例题

一、求圆的轨迹方程

1、用定义法求圆的轨迹方程

例1 设方程2

2

2

4

2(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

分析:配成圆的标准方程再求解

解：配方得：[]2

2

2

2

(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦

该方程表示圆，则有2

1670m m +->，得1

(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2

341x m y m =+⎧⎨=-⎩

， 消去m ，得2

4(3)1y x =--，由1

(,1)7

m ∈-得x =m +320,47⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

变式1 方程2

2

4(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

解：原方程可化为2

2222(1)24(22)()a a a x y a a a --+⎡⎤-++=⎢⎥⎣

⎦ 2220,a a -+>∴当a 0≠时，原方程表示圆。