四川版高等数学第三册课后习题 八 答案

n nr
27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将 球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从 罐中取出1球，求下列诸事件的概率。
解：设 A=“第一次取得黑球”，则 A =“第一次取得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 B =“第二次取得红球”
（3）第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球。
工艺(2)的废品率为
P2(废品) 1P(两道工序均不出)废品 1(10.2)(10.15) 0.32
显然，工艺(2)的废品率低。
22.射手 A,B独立地对靶进行射击，命中率分别为0.8,0.6， 射击后发现有一枪命中靶，求这是射手A命中的概率 解，设A：射手A命中；C：只有一枪命中。则
p ( A C ) p ( A C ) 0 .8 ( 1 0 .6 ) 0 .3 2 0 .7 3 p ( C ) 0 .8 ( 1 0 .6 ) ( 1 0 .8 ) 0 .60 .4 4
16. 设有M只晶体管，其中有m只废品，从中任取2只，求所取 晶体管有1只正品的条件下，另1只是废品的概率。
解：令 A=(取到1只正品)，B=(取到1只废品)
P(有一只正品的条件下另，一只是废品) P(B| A) P(AB) P( A)
CM1 mCm1
CM2
1
Cm2 CM2
CM1 mCm1 CM2 - Cm2
产的概率。
解：
P
C320C310 C630
38.1%
9. 设有0,1,…,9十个数字，若在此十个数字中有放回陆续抽取5 个，每次抽到任意数字的概率都是相同的，问抽到5个不同的数 字的概率是多少？
解：抽取结果的可能组合为 10×10×10×10×10 ，抽取到5个
不同数字的可能组合为
C
5 10
，
因此
P
23. 甲乙丙三机床所生产的螺丝钉，分别占总产量的25%、35% 和40%，而废品率分别为5%、4%、2%。从生产的螺丝钉中， 任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。
解：令 A1, A2, A3 分别表示甲乙丙三机床，B 表示废品，
根据 Bayes 公式：
P(该 废 品 是 甲 机 床)生 产
P ( A B ) P (S ( A ) B ) P ( B A ) q B r P ( A B ) P ( S A ( ) B ) P ( S A B ) 1 p r P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 p q r
12. 一个火力控制系统，包括一个雷达和一个计算机，如果这两 样中有一个操作失效，该控制系统便失灵。设雷达在100小时内 操作正常的概率为0.9，而计算机在操作100小时内失效的概率 为0.12，试求在100小时内控制系统失灵的概率。
解：有两面涂上颜色的小立方体共有12个
P
C112 C217
4 9
0.4
44
6. 号码锁一共三个圆盘，每一圆盘等分为10个带不同数字 0,1,…,9 的扇面。如果每一圆盘相对锁穴为一固定状态时，则 可打开。求在确定了任意的数字所构成的一个组合的情况下， 能打开锁的概率。
解：号码盘所有可能的组合为10×10×10种，其中只有一种可
分析得下图：
敌 军
主机被高 射炮击落
阵
地 P0.2
没
有
被 击 中
主机没有 被击落
P0.8
只有主机到达目 P0.20.20.6
的地，没有击中
目标
0.024
主机和僚机1到 P0.80.20.60.6
达目的，都没有
击中目标
0.0576
主机和僚机2到 P0.80.20.60.6
达目的，都没有
击中目标
0.0576
P (A)B P (C)B 0，P(AC)18， 求事件A,B,C至少有一
个发生的概率。
解： P ( A , B , C 至少一个发生 )
1 P(ABC )
1 P(A B C ) P(A B C )
P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( AC )
13 1
4
8
0 .625
以开锁， P1103 0.1%
7. 有50件产品，其中4件不合格，从中随机抽取3件，求至少一 件不合格的概率。
解： P（至少一件不合 1-P格（）所有都合格） 1C C543306 2 2.5%
8. 一个纸盒中混放着60只外形类似的电阻，其中甲乙两厂生产
的各占一半。现随机地从中抽取3只，求其中恰有一只是甲厂生
各元件停止工作与否是相互独立的，求系统S停止工作的概率。
解： P(系统S停止工作) P(3条支路均停止工作)
P(支路1停止工作)3
E1
E2
E3
E4
P(支路1停止工)作
E5
E6
1P(E1正常工)作 P(E2正常工)作 10.70.7
0.51
P (系S 停 统止 )0 工 .531 作 0.1327
解：设 A=“第一次取得黑球”，则 A =“第一次取得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 B =“第二次取得红球”
（1）第一次取出黑球。P(A) n nr
（2）第二次取出黑球。 P(B) P(A)P(B| A)P(A)P(B| A)
解：根据全概率公式，
n nc r n nr nrc nr nrc
P(A1 | B)
P(A1)P(B| A1)
P(A1)P(B| A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B| A3)
0.25 0.05
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02
0.3623
24. 播种时用的一等小麦种子中，混有2%的二等种子、1.5%的 三等种子、1%的四等种子，用一二三四等种子长出的麦穗含有 50颗以上的麦粒的概率分别是0.5、0.15、0.1、0.05，求这批种 子结穗含有50颗麦粒以上的概率。
A AB AB
A AB A
（3）( A B ) ( A B ) ( A B ) 解：原式 A ( A B )
AA AB AB
4. 一套书分4册，按任意顺序放到书架上，问各书自左到右恰好 按照1234顺序排列的概率是多少？
解：P
1 A44
1 24
5. 将正立方体的表面涂上颜色，然后锯成27个同样大小的正立 方体，混合后从中任取一块，问取得有两面涂上颜色的小立方 体的概率是多少？
则 P(B|A)P(A)B0.870.9255 P(A) 0.94
18. 五管收音机，每只电子管的寿命达到2000小时的概率为0.9， 问收音机的寿命达到2000小时的概率为多少。（假设只要有一 只电子管烧坏收音机就不能用，且每只电子管的寿命都是彼此 独立的。）
解： P0.950.59
20. 设元件 E 1,E 2,E 3,E 4,E 5,E 6停止工作的概率均为0.3，且
（4）第二次取出黑球的条件下，第一次取出红球。 根据Bayes公式，
P(A| B)
P(A)P(B| A)
P(A)P(B| A)P(A)P(B| A)
r
r n nr nrc n n nc
P (A |B ) P (A B ) P (A A ) B 0 .4 0 .2 8 0 .2 P (B ) P (B ) 1 0 .4
P (B |A ) P (A B ) P (B A ) B 0 .4 0 .2 8 0 .2 P (A ) P (A ) 1 0 .4
14. 设事件 A,B,C 满足 P (A ) P (B ) P (C ) 14，
解：令 A1,A2,A3,A4分别表示一二三四等种子，B 表示结穗含
有50颗麦粒以上，根据全概率公式：
P(这 批 种 子 结50穗 颗含 麦有 粒)以 上 P(B)
4
P(Ai)P(B| Ai)
i1
(10.020.0150.01)0.50.020.150.0150.10.010.05 0.4825
C150 105
0.2
5%
10. 电报的密码由0,1,…,9十个数字可重复任意4个数字组成，试 求密码最右边的一个数是偶数的概率。 解：在密码的所有组合中，出现偶数和奇数的概率是相同且均 等的，都是 50% 。
11. 设事件 A、B、AB的概率分别为p、q、r，求：
P (A B ) P (A ) 1 B r
解：P(100小 时 内 系 统) 失 效 1P(100小 时 内 系 统) 正 常 1P(100小 时 内 雷 达)正P(常 100小 时 内 计 算 机 ) 10.9(10.12) 20.8%
13. 设 P (A )P (B )0.4，P(AB )0.28，求：
解：
P (A |B ) P (A B ) P (B A ) B 0 .4 0 .2 8 0 .3 P (B ) P (B ) 0 .4
21. 制造某种零件可以采取两种工艺，(1)三道工序，每道工序 出废品的概率分别为0.2，0.1，0.1；(2)两道工序，每道工序出 废品的概率分别为0.2，0.15 。问哪种工艺的废品率低？（两种 工艺中，每道工序是彼此独立的。）
解：工艺(1)的废品率为
P1(废品) 1P(三道工序均不出)废品 1(10.2)(10.1)(10.1) 0.352
主机和两架僚机 P0.80.80.60.60.
到达目的地，都
没有击中目标。 0.13824
P(敌军阵地没) 有被击中 0.20.8(0.0240.05706.05706.138)24 0.421952
P(敌军阵地被击中) 1- P(敌军阵地没有被击中 ) 1 0.421952 0.578
26. 设有5个袋子，有两个内装有2个白球1个黑球，一个内装10 个黑球，另外两个内装3个白球1个黑球。现任选一个袋子，由 其中任取1个球，求取得白球的概率。
解：用 A i 表示选到第 i 个袋子，B 表示取得白球。
由全概率公式，
5
P(B) P(Ai )P(B| Ai ) i1
1 5
2 3
1 5
2 3
1 5
0
1 5
3 4
1 5
3 4
0.567
27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将 球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从 罐中取出1球，求下列诸事件的概率。
来自百度文库
25. 三架飞机中有一架主机和两架僚机，被派出轰炸敌人阵地， 飞机缺少无线电导航设备时就达不到目的地，这种设备装置在 主机上。飞机到达目的地后，各机独立进行轰炸，每一架击中 目标的概率为0.4，在到达目的地之前，飞机需通过敌军高射炮 阵地，每机被击落的概率为0.2 。求敌军阵地被击中的概率。
解： P(敌军阵地被击中 ) 1- P(敌军阵地没有被击)中
P(B| A) r nrc
27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将 球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从 罐中取出1球，求下列诸事件的概率。
解：设 A=“第一次取得黑球”，则 A =“第一次取得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 B =“第二次取得红球”
3. 化简下列各式：
（1）(A B ) (B C )
解：原式 ( A B ) ( B C ) AB AC BB BC AC B AB BC
AC BS AB BC AC B ( S A C )
AC B
（2）(A B ) (A B ) 解：原式 AA AB AB BB
(M m) m M(M 1) m(m1)
2m(M m) M2 M m2 m
2
2
M2
2m(M m) m2 (M m)
(M
2m(M m) m)(M m) (M
m)
2m M m1
17. 某种电子元件，使用到2000小时还能正常工作的概率是 0.94，使用到3000小时还能正常工作的概率是0.87，求已经工 作了2000小时的元件工作到3000小时的概率。 解：令 A=(使用到2000小时)，B=(使用到3000小时)，
四川版高等数学第三册课 后习题（八）答案
1. 试将下列事件用A、B、C间的运算关系表出。
（1）A 出现，B、C不出现：ABC （2）A 、B、C都出现：ABC （3）A 、B、C至少一个出现：ABC （4）A 、B、C都不出现：ABC （5）不多于一个事件出现：A B C A B C A B C A B C （6）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现 ABC （7）A、B、C中至少二个出现：A B B C AC