复变函数的导数与解析性

f ( z) g( z) , f ( z) g( z) , f ( z) ( g ( z ) 0) 在 z0 处解析。 g( z)
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h ( z ) 在 区域D内解析, 且 ( D) G , 则复合函数 w f [ ( z )] 在 区域D内解析, 且
此极限值称为 f ( z ) 在点 z0 处的导数。 记作 f ( z0 ) 或 w z z 0或
dw . dz z z0
即
f ( z0 ) lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) w lim z 0 z z 0 z
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
(3) [ f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) ] g( z) g 2 (z) ( g ( z ) 0) ;
(4) { f [ ( z)]} f (w) ( z) 其中 w ( z) ;
(5) f ( z ) 1 其 中 w f ( z ) 和 z ( w )是 (w)
第八模块
第三节
复变函数
复变函数的导数与解析性
一、复变函数的导数 二、复变函数的解析性
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
当变量 设函 w f ( z)在包含 z0 的某区域 D 内有定义， z 在点 数 z0 处取得增量时，相应地，函数 f ( z ) 取得增量
w f ( z0 z) f ( z0 ) w lim 如果极限 存在。 则称 f ( z ) 在点 z0 处可导。 z 0 z
例1 例2
2 求函数 f ( z) z 的导数。
证明 w z
在复平面内处处连续，但它在复平面
内处处不可导。
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
求导法则：(1) [ f ( z) g( z)] f ( z) g( z) ;
(2) [ f ( z) g( z)] f ( z) g( z) f ( z) g( z) ;
2. 函数解析性的判别
函数 f ( z) u( x, y) i v ( x, y) 在 区域D内解析的充要条件是: u( x, y) 、v ( x, y) 在D内处可微 , 且满足柯西 黎曼条件 。
二、复变函数的解析性
例 5 判断下列函数是否解析
x (1) f ( z) z , (2) f ( z) e (cos y i sin y) , (3) f ( z) z Re(z) .
（二）函数解析性与可导性的关系
函数在区域D内解析
函数在区域D内可导。
函数 f ( z ) 在 z0 处解析 函数 f ( z ) 在 z0 处可导。
函数 f ( z ) 在 z0 处可导, 则 f ( z ) 在 z0 处不一定解析。
（三）解析函数的运算性质
（1） 若函数 f ( z ) 与 g ( z ) 在 z0 处解析, 则
两个互为反函数的单值函数，且 ( w ) 0 . 求导公式： (1) (C ) 0 ,
(2) ( z n ) nz n1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i ) . 1 z
例4
设 f ( z) ( z 2 2z 4)2 , 求 f (i ) .
2 2 。 例 6 讨论函数 f (z) x i y 的可导性和解析性
例7
设 f ( z) u( x, y) i v( x, y)在区域 D内解析 ,
且 f ( z) 0 ( z D), 则 f ( z) C (常数)。
d f [ ( z )] d f (h) d ( z ) . dz dh dz
（3） 所有多项式函数在全复பைடு நூலகம்面内处处解析。
P (z) 任意分式有理函数 Q ( z ) 在不含分母为0的点的区域内解析。
（四）解析函数的判定
1. 函数可导性的判别
设 f ( z) u( x, y) i v ( x, y) 在 区域D内有定义, z x i y 是D内任意一点，则 f ( z ) 在点 z 处可导的充要条件是：
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i ) . 1 z
例4
设 f ( z) ( z 2 2z 4)2 , 求 f (i ) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i ) . 1 z
例4
设 f ( z) ( z 2 2z 4)2 , 求 f (i ) .
二、复变函数的解析性
（一）解析函数的概念
如果函数 f ( z ) 不仅在 z0 处可导，而且在 z0 的某邻域 内的每一点都可导， 则称 f ( z ) 在 z0 处解析。称 z0 为 f ( z ) 的解析点。 则称 f ( z ) 如果函数 f ( z ) 在区域D内的每一点 处都解析， 在区域D内解析。 区域D称为 f ( z ) 的解析区域。 如果函数 f ( z ) 在 z0 处不解析， 但在 z0 的任意邻域内总 存在解析点， 则称 z0 为 f ( z ) 的奇点。
(1) u( x, y) 、v ( x, y) 在点( x, y) 处可微 ;
u v u v (2) 满 足 柯 西 黎曼条件 : , . x y y x u v v u 且 f (z) 的 导 数 为 : f (z) i i . x x y y
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
如果函数 w f ( z) 在区域 D 内每一点都可导，则称
w f ( z ) 在 D 内可导。
函数 w f ( z) 在 D 内任意点 z 处的导数记为：
w f ( z z ) f ( z ) z f ( z) 或 w 或 dw 即 f ( z ) lim lim , z 0 z z 0 z dz