(新)江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)

2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）

一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614

34lim 4x x x 2. =+++∞→4

3

3321lim n n n 3. =⎰→x x tdt

t x x 32030sin sin lim

4.)1ln(x y -=，则=)(n y

5.=⎰

xdx x arctan 2 6.⎰=2

11arccos dx x

x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k

n

n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是 二．（6分*2=12分）

（1）求))(13(lim 31223

∑=∞→+-i n i n n n

（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x

x f x --→

三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分）

（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<

x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。

（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）

求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。

五．（12分）

过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。

（1）求切线L 的方程。

（2）求区域D 的面积。

（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

六．（12分）

点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。

（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。

（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面的方程。

（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心。

七．（12分） 求级数∑∞

=-++12)1()1(n n n

n n n 的和。

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（专科）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x

→-= 2.2arctan tan x y x e x =+，/y =

3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx

= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21x x e dx x -=⎰ 6.2

140

arctan 1x x dx x =+⎰ 7.圆222222042219

x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8. 级数11(1)!2!n n n n n ∞

=+-∑的和为 二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值

三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11

00()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ

=⎰. 四. （12分）求广义积分4211dx x

+∞

-⎰ 五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

六.（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 七（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-

()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1

n n x ∞

=∑的敛散性.

2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）

一．填空题（每题5分，共40分）

1.

a ，

b

时，

2lim arctan 2x ax x x bx

x 2. 11lim 2n n k k k 。

3.设12100f x

x x x x ，则100f

4. a ，b 时2()1x f x ax x bx 在0x 时关于x 的无穷小的阶数最高。

5.()2

2121x dx x +∞=+⎰

6.点()2,1,1-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为

7.通过点1,1,1与直线,2,2x

t y z t 的平面方程为 8.幂级数

1n n nx 的和函数为 ，收敛域为 。

二．（8分）设数列n x 为111,6(1,2,)n n x x x n ，证明：数列n x 收敛，

并求其极限 三．（8分）设()f x 在,a b 上连续()0a >，

()0b a f x dx ， 求证存在(),a b ξ∈，使得

()()a f x dx

f 。 四．（8分）将xoy 面上的曲线()()2220x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周

得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。

五．（8分）（8分）求25001lim sin()t t tx dt t

六．（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作直线Γ，使直线Γ过另一直线

221:343

x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面设∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程。