1998年北京市中学生数学竞赛

1998年北京市中学生数学竞赛

初中二年级初赛试题

（1998年4月5日8：30～10：30）

一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）

1．已知如下数组

3，32-

③12402，12240，1998 ④1998，640，2098

其中可作为直角三角形三边长度的数组是（）

A．①④B．②④C．②③D．③④

2．在下面时间段内，时钟的时针与分针会出现重合的是（）

A．5：25～5：26 B．5：26～5：27

C．5：27～5：28 D．5：28～5：29

3．已知()

=---A为正数的自然数x有（）

A x

25

A．1个B．2个C．多于2的有限个D．无限多个

4．将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么不全等的三角形的个数是（）A．5 B．6 C．8 D．10

5．在ABC

∠=°，12

△的面积等于（）

A

C

∠=°，15

△中，90

AB=．则ABC

A．16 B．18 C．D．

6．已知432

c=，324

b=，423

a=，342

d=，则a，b，c，d，e的大小关系是（）A．a b d e c

===>

===

C．e d c b a

<<<

<<<<

2．P为正方形ABCD内一点，10

PA PB

==，并且P点到CD边距离也等于10．求正方形ABCD 的面积．

D C

P

A

B 3．已知a为整数，2

--是质数，试确定a的所有可能值的和．

a a

41227

4．如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线交平行四边形于E ，F ，G ，H 四点．若3AHPE S =，5PFCG S =．求PBD S △．

H

C

A

5．实数a ，b ，x ，y

满足2

1y a =-，231x y b -=--，求2

2

x y

a b

+++之值．

6．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-．试确定a b +的值．

7．梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5厘米，梯形的高等于4厘米．此梯形的面积是多少平方厘米？

8．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后达到楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙、登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上．问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？

初中二年级复赛试题

（1998年5月3日8：30～10：30）

一、填空题（满分40分）

1

．若x y +

x y -，则xy = ．

2．等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别为腰AC 、BC 上（异于端点）的点，DE DF ⊥，10AB =，设x DE DF =+，则x 的取值范围是 ．

F

E D

C

B

A

3．实数a ，b

1032b b -+--，则22a b +的最大值为 ． 4．若y ，z 均为质数，x yz =，且x ，y ，z 满足

113

x y z

+=，则199853x y z ++= ． 5．黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作．每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0，等等．如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是 ． 二、（满分15分）

今有浓度为5%，8%，9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7%的盐水100克．问：甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？

三、（满分15分）

矩形ABCD中，20

AB=厘米，10

BC=厘米．若在AC、AB上各取一点M，N（如右图），使BM MN

+的值最小，求这个最小值．

N M

D C

B

A

四、（满分15分）

国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分．今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手手电分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和．问：前三名选手各得多少分？说明理由．

五、（满分15分）

正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定HAF

∠的大小并证明你的结论．

P H

G

F E D

C

B A

1998年北京市中学生数学竞赛

初中二年级初赛试题答案

（1998年4月5日8：30～10：30）

一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）

1．D

验算

2

2

2

+≠，排除A ．

)(((22

31913+=-+- (2

3232=--，排除B ，C ．

又()()2212402122401240212240124021224024642162-=+-=⨯ ()2

22231111998=⨯⨯=

()()2222098199820981998209819984096100640-=+-=⨯= 所以③，④合于要求．选D ．

2．C

设5点x 分时，时针与分针重合．

因为分针速度是时针速度的12倍，5点钟时，时针在分针前面25格，所以可得方程

2512x

x -=

解得3

2711x =．

因此5点3

2711

分时时针与分针重合．选C ．

算术解法：分针速度是时针速度的12倍，所以时针指到26格时，分针指到12格（即5点12分）．时针指到27格时，分针指到24格，分针落后于时针．当时针指到28格时，分针指到36格，此时分针已超过时针．所以在27格到28格之间时针与分针重合．

3．C

因为()25

32A x x =--

--++

由320x -++>，解得 3.02x <

． 所以满足条件的自然数是1，2，3． 故选C ．

4．C

设三角形三边a ，b ，c 满足a b c ≤≤

因为a b c +>，所以22010c a b c c <++=⇒<．

又因为320c a b c ++=≥，所以2

673

c c ⇒≥≥．因此79c ≤≤．

当7c =时，7b =，6a =．