层流和湍流

A = AL + AR = P VL + P VR L R
②心脏作功等于血液流经心 脏前后的能量变化。
A = E L 2 EL1
' L ' AR = ER 2 ER1 ' ' A' = AL + AR = (EL 2 EL1 ) + (ER 2 ER1 )
进入心脏时的血流速度和血压都很小，可视为零， 并忽略血液进出心脏时的高度变化，则有
1 T P = ∫ P(t )dt T 0
注意：平均动脉压并不是收缩压和舒张压的平均值， 平时常用舒张压加上1/3脉压来估算。
3 ．全部血液循环系统的血压变化曲线 血压的高低与流量、流阻及血管的柔软程度有关。 由于血液是粘性流体，故血压在体循环过程中是 不断下降的。
作业： 习题三 3-12 、3-14 、3-16
1. 泊肃叶定律
实验证明：在水平均匀细圆管内作层流的粘性流体，其体积 流量与管子两端的压强差 p成正比。
即
πR P Q= 8ηL
4
η
R —— 管子半径
—— 流体粘度
L —— 管子长度 P —— 压强差
2. 定律的推导
（1）速度分布
dr
L
r
P >P 1 2
P 1
R
P2
取与管同轴，半径为 r ，长度为 L 的圆柱行流体元作为 研究对象，它所受的压力差为
实验证明： F ∝ S ，dv/dx 即：
dv F =η S dx
单位： SI中为
—— 牛顿粘性定律
η
—— 粘度系数（粘度） 粘度系数（粘度）
Pa s
泊(P ) 1P = 0.1Pa s
其值大小取决于流体的性质，并和温度有关， 一般 液： T η 气： T
η
压强对η 的影响不显著。 遵循牛顿粘性定律的流体叫牛顿流体 如：水、血浆 牛顿流体， 牛顿流体 不遵循牛顿粘性定律的流体叫非牛顿流体 如：血液 非牛顿流体， 非牛顿流体
三、血流速度分布
1．血液在血管中的流动基本上是连续的。 2．脉搏波：传播速度约为 8~10 m/s，它与血液 的流速不同。 说明： ①截面积S是指同类 血管的总截面积。 ②流速v是指截面上 的平均流速。
血压是血管内血液对管壁的侧压强。
四、血流过程中的血压分布
1．收缩压 - 舒张压 = 脉压 2．平均动脉压 P：一个心动周期中动脉血压的平均值。
血液是非牛顿流体，其粘度不是常数。
2、特性
① 具有屈服应力： 只有当切应力超过某一数值后，才发生流动， 低于这一数值则不发生流动。 能够引起流体发生流动的最低切应力值叫屈服应力 或致流应力。 ② 具有粘弹性 ③ 具有触变性
二、心脏作功
整个循环系统由体循环和肺循 环两部分组成。计算心脏作功 有两种方法： ①心脏作功等于左、右两心 室作功之和。
EL1 = PL1 + ρ v + ρghL = ρghL
1 2 2 1
2
E L 2 = PL + ρv L + ρghL
1 2
可得： 同理：
EL 2 EL1 = PL + ρv
1 2
2 L
ER 2 ER1 = PR + ρv
1 2
2 R
A = P + ρv + P + ρv L R
' 1 2 2 L 1 2
(
)
通过整个管横截面的流量
πP πR P 2 2 Q = ∫ dQ = ∫0 (R r )rdr = 8ηL 2 L η
R 4
或写成
P Q= Rf
其中
8 L η Rf = 4 πR
——流阻，其数值决定于管的长度、 流阻，
内径和流体粘度。
[例3-3]
成年人主动脉的半径约为 1.3×10-2 m ，问在一段 0.2 m 距离 内的流阻 Rf 和压强降落 P 是多少？设血流量为 1.00×10-4 m3/s ， η = 3.0×10-3 Pas 。
dγ dv γ& = = dt dx
切变率—— 切变率
dv ∴ F = η S 又可写为 dx
τ = ηγ&
对于牛顿流体，η 为一常量，与 而对于非牛顿流体，η 不是常量。
γ& 无关；
三、雷诺数 ★ 决定粘性流体在圆筒形管道中流动形态的因素：
速度v、密度ρ、粘度η、管子半径 r
★ 雷诺提出一个无量纲的数——雷诺数 雷诺数作为流体由层流向湍流转变的判据 雷诺数
应用： ① 在已知 R、 ρ、 σ的情况下，只要测得收尾速度便可以 求出液体的粘滞系数 η 。 ② 在已知 η 、 ρ、 σ 的情况下，只要测得收尾速度便可以 求出球体半径 R 。
2
§3.5 血液在循环系统中的流动
一、血液的组成及特性
1、组成
血浆 血液 血球 红细胞 白细胞 血小板 0.1% 99.9%
(
)
可见，管轴（r=0）处流速有 最大值，管壁（r=R）处流速 有最小值0，流速v沿管径方向 呈抛物线分布。
（2）流量 在管中取一与管共轴，内径 为 r ，厚度为 dr 的管状流层， 该流层横截面积
dS = 2πrdr
通过该流层横截面的流量
P 2 2 dQ = vdS = R r 2πrdr η 4 L
流体作湍流时所消耗的能量比层流多，湍流区别于层流的特点之一 是它能发出声音。
3.过渡流动 过渡流动: 过渡流动
介于层流与湍流间的流动状态很不稳定,称为~。
二、牛顿粘滞定律
着 色 甘 油 流体作层流时，各层之间有 相对滑动，沿管轴流动速度 最大，距轴越远流速越小， 在管壁上甘油附着，流速为 零。 色 甘 油
4 3 f浮 = πR σg 3
f = 6πηvR
当三力达到平衡时，小球将以匀速度
vT下落，
4 3 4 3 v 由 G = f浮 + f 即 πR ρg = πR σg + 6πη T R 可得 3 3
2gR (ρ σ ) —— 收尾速度（沉降速度） vT = 9η
2
2gR (ρ σ ) vT = 9η
若令
取通过轴线的一个纵截面，如图， abcd 表示 t=0 时截面上 的长方形的流体元，经 时间 t ，产生切变，变 为 ab’c’d ， 则
F τ= S
—— 切应力 切应力，表示作用在流体层单位面积上的内摩擦力。
b
dx
c
v + dv
b
b′
c
c′
bb′ = tdv
a
d
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a
d
切应变—— 切应变
bb′ dv =t γ = tg = ab dx
ρvr Re = η
★ 实验证明：
Re < 1000
层流 过渡流 湍流
1000 < Re < 1500 Re > 1500
§3.4 粘性流体的运动规律
一、粘性流体的伯努利方程
在讨论粘性流体的运动规律时，可压缩性仍可忽略，但其粘 性必须考虑。 采用与推导伯努利方程相同的方法，考虑流体要克服粘性力 做功，其机械能不断减少并转化为热能，可以得到
v1 = v2
P = P + E 1 2
因此，若使粘性流体在水平等粗管中作稳定流动， 细管两端必须维持一定的压强差。 ⅱ若粘性流体在开放的等粗细管中作稳定流动， ∵ ∴
P =P =P 1 2 0
v1 = v2
ρgh1 ρgh2 = E
因此，细管两端必须维持一定的高度差。
二、泊肃叶定律
不可压缩的牛顿流体在水平等粗圆管中作稳定流动时，如 果雷诺数不大，则流动的形态是层流。要想维持液体的稳 定流动，管子两端必须维持一定的压强差。
1 2 1 2 P + ρv1 + ρgh1 = P + ρv2 + ρgh2 + E 1 2 2 2
粘性流体作稳定流动时的伯努利方程
E —— 单位体积的不可压缩的粘性流体流动时，
克服粘性力所做的功或损失的能量。
两种特殊情况： ⅰ若粘性流体在水平等粗细管中作稳定流动， ∵ ∴ ∴
h = h2 1
P >P 1 2
η 8 L 8×3.0×103 ×0.2 解： f = R = = 5.97×104 Pa s m3 πR4 3.14× 1.3×102 4
(
)
(
)
P = Q f =1.0×104 ×5.97×104 = 5.97(Pa) R
三、斯托克斯定律 斯托克斯定律
1、斯托克斯定律
固体在粘性流体中运动时将受到粘性阻力作用，若物体 的运动速度很小，它所受的粘性阻力可以写为
f = kηvl
比例系数 k 由物体形状决定。 对于球体，若半径为 R ，则 k = 6 π ，
∴
f = 6πηvR
—— 斯托克斯定律
2、收尾速度（沉降速度）
当半径为 R 、密度为 ρ 的小球在粘度为 η 、密度为 σ （ ρ> σ ） 的粘性流体中竖直下落时，它所受力
4 3 G = πR ρg 3
F = (P P )πr2 = Pπr2 1 2 dv 流体元侧面所受粘性力大小 f = 2 rL η π dr F= f 应有
即
P ∴ ＝ dv rdr 2 L η 0 P R ＝ 两边取定积分 ∫ dv ∫r rdr v 2 L η
dv Pπr = 2πrηL dr
2
∴
P 2 v＝ R r2 4 L η
1. 粘性力 内摩擦力）： 粘性力（内摩擦力 内摩擦力 相邻两流层之间因流速不同而作相对运动时，在切线方向 上存在着的相互作用力。 2. 牛顿粘性定律
若x方向上相距dx的两液层的速度差为dv，则 dv/dx 表示在垂直于流速 方向单位距离的液层间的速度差叫做速度梯度，一般不同x处，速度梯 速度梯度， 速度梯度 度不同，距管轴越远，速度梯度越大，其单位为 1/s 。
§3.3 粘性流体、层流、湍流 粘性流体、层流、
一、层流和湍流
粘性流体的流动形态：层流、湍流、过渡流动 1.层流： 层流： 层流 流体分层流动，相邻两层流体间只作相对滑动，流 层间没有横向混杂。 2.湍流： 湍流： 湍流 当流体流速超过某一数值时，流体不再保持分层流 动，而可能向各个方向运动，有垂直于管轴方向的 分速度，各流层将混淆起来，并有可能出现涡旋， 这种流动状态叫湍流。
2 R
PL代表血液离开左心室时的平均压强(即主动脉 平均血压)， PR则代表肺动脉平均血压。 ∵ ∴
PR ≈ 1 PL 6
' 1 2 2 L
vL = vR
1 6 1 2 2 L 7 6 2 L
A = P + ρv + P + ρv = P + ρv L L L
故测出主动脉血压及血液流速，就可求出 心脏作功多少，从而了解心功能的情况。