北京理工大学珠海学院概率论与数理统计2007(含参考答案)

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《概率论与数理统计》考试试题B(答案)

广东白云学院2007—2008学年第二学期期末考试《概率论与数理统计》B卷参考答案及评分标准适用专业及方向: 经济管理类各专业、土木工程层次: 本科年级: 07级限时: 120分钟考试形式: 闭卷考场要求: 笔试考试形式：闭卷考场要求：笔试.（×）2. 设、为两事件, 则.（×）3. 设, 则其一定是某连续型随机变量的密度函数.（√）4. 设随机变量～N（1, 9）, 则.（√）5．设, , 与相互独立, 则.二、填空题（请将正确答案填写在括号内。

每空3分,共30分）, 则（ 0.6 ）.7．设随机变量和都服从[0,2]上的均匀分布, 则( 2 ).8. 设为两个随机事件,且已知, , ,则条件概率（0.6）.则常数c=（0.1）,}5.15.0{<<-XP=（0.5）.10. 已知～,函数值,则=（0.9772）.11. 服从参数的泊松分布, 令, 则(13), (75).12. 设三次独立试验中, 事件出现的概率相等, 若已知至少出现一次的概率等1/3 ）.,则下列关系成立的是（ C ）A. B.C. D.15．同时抛掷3枚均匀的硬币, 则恰好有两枚正面朝上的概率为（ D ）A. 0.5B. 0.125C. 0.25D. 0.37516. 10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买一张,则第3个购买者中奖的概率为（ B ）A. B. 0.3 C. D.17. 设连续型随机变量服从参数为的指数分布,若方差,则数学期望（ B ）A. B. C. D.18. 如果离散型随机变量相互独立,且服从参数为的泊松分布,则当充分大时,离散型随机变量（ D ）近似服从标准正态分布.A. B. C. D.19. 设连续型随机变量的概率密度为,则（ A ）A. B. C.D.四、计算题（每小题8分,共32分）(1)若事件BA,互不相容,求α; (2)若事件BA,相互独立,求α.解 (1)因为BA,互不相容,所以φ=AB, (1分)所以)()()()(BPABPBPBAP=-= (2分)而)(1)()()()(APBAPBPAPBAP-=-+=(3分)所以α=0.3 (4分)(2)因为BA,相互独立,则A与B也相互独立, (5分))())(1)(()()()()()(BPBPAPBPAPBPAPBAP+-=-+=（7分）所以α=73（8分）21. 某产品主要由三个厂家供货.甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%,80%,5%,其次品率分别为0.02,0.01,0.03,试计算(1)从这批产品中任取一件是不合格品的概率;(2)已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品,问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大?解记=A{所取一件产品是不合格品},321,,BBB分别表示”产品来自甲、乙、丙厂” (1分) 依题意有:15.0)(1=BP, 80.0)(2=BP,05.0)(3=BP02.0)(1=BAP,01.0)(2=BAP,03.0)(3=BAP (2分) (1)由全概率公式0125.0)()()(31==∑=iiiBPBAPAP (5分) (2)由贝叶斯公式24.00125.002.015.0)()()()(111=⨯==APBAPBPABP, (6分)64.00125.001.080.0)()()()(222=⨯==APBAPBPABP, (7分)12.00125.003.005.0)()()()(333=⨯==A PB A P B P A B P (8分) 22.设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他020)(2x Ax x ϕ,求(1)常数A ;(2))(),(X D X E .解因为138)(202===⎰⎰∞+∞-A dx Ax dx x ϕ (2分) 所以 83=A (3分)所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他2083)(2x xx ϕ2383)()(203===⎰⎰∞+∞-dx x dx x x X E ϕ (5分) 51283)()(20422===⎰⎰∞+∞-dx x dx x x X E ϕ (7分) 20323512)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D (8分) 23. 已知电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开、关时间彼此独立, 试用切贝谢夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。

概率论与数理统计2007—2008学年第一学期期末考试试卷及参考答案与评分标准

2007-2008学年第一学期期末考试试卷考试科目：概率论与数理统计得分：学生所在系： _________ 姓名 ______________ 学号：______________________（考期：2008年1月22日，闭卷，可用计算器）一、（15分）一串0,1数字（独立同分布）组成的序列中1的概率p 代表了某种有用的信息，由于某种原因需要对其保密。

现对该串数字进行随机加密，对序列中的每一个数字抛一枚硬币（每次正面出现的概率为〃），若抛出的为正面，则原序列的数字不变，若抛出的为反面，则原序列中相应的数字由工变成1-工（即0变成1, 1变成0）。

加密后的序列可以公布，其中1的概率p*可以估计出来。

若知道〃的值，就可以从加密后的序列中的1的频率为〃*计算出原序列的p,所以〃称为“密钥”。

（1）现己知p = 0.7 ,如果“密钥” "=0.4,试求p ；（2）试说明为什么均匀硬币（7 = 0.5）不适合用来加密。

二、（15 分）设随机变量 X 满足：| X |< 1, P （X = -1） = 1/8, P （X = 1） = 1/4 ,而且, X 在（-1, 1）内任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。

试求：（1） X 的概率分布函数F （x ） = P （X < x ）；（2）X 取负值的概率；（3） X 的数学期望项X ）。

三、（20分）二维随机变量（X,F ）的密度函数为:（1）试求系数A = ? ；（2） X 与Y 是否独立?（3）试求Z = X + Y 的密度函数心（z ）；(4) 试求W (X|X + y = l)of(x, y)=（而-（35）3 > 0, > > 0)其他四、（20分）设样本（X“X2，・・・,X〃）抽自正态总体X ~N（", 1）,々为未知参数（1）试求0 = P（X>2）的极大似然估计0"（结果可用（D（.）的形式表示）;（2）写出日的（1一。

16秋北理工《概率论与数理统计》在线作业

B. B
C. C
D. D
正确答案：
38. 题目见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
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A. A
B. B
C. C
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正确答案：
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A. A
B. B
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A. A
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A. A
B. B
C. C
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A. A
B. B
C. C
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A. A
B. B
C. C
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A. A
B. B
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B. B
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B. B
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B. B
C. C
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A. A
B. B
C. C
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北理工《概率论与数理统计》在线作业
一、单选题（共 50 道试题，共 100 分。）
1. 题目见图片
A. A

2007级概率统计(理工类)考试试卷A答案

暨南大学考试试卷上分位数（除填空题外，其它题用到的分位数请详细列明）0025002582306, 92262..().().,t t == 00500581859, 91833..().().t t ==20.025(8)17.532χ=， 20.025(9)19.022=χ， 20.975(8) 2.18=χ， 20.975(9) 2.7=χ 108413().Φ= ，1645095(.).Φ=，1960975(.).Φ=， 2509938(.).Φ=得分评阅人二、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）答案填写在右表1. 设随机变量X 服从正态分布2(,) N μσ，则随着标准差σ的增大，概率{}P X μσ-<如何变化（ C ）(A) 单调增大; (B) 单调减少; (C) 保持不变; (D) 增减不定。

2. 离散型随机变量X 的概率分布为()kP X k A λ== (1,2,k =)的充要条教师填写 2008 - 2009 学年度第__二_ 学期课程名称：__概率论与数理统计（理工类）_ 授课教师姓名：_____刘中学______考试时间:____2009__年 7_月__15__日课程类别必修[√ ] 选修[ ]考试方式开卷[ ] 闭卷[√ ] 试卷类别(A ，B,…) [ A ] 共 7 页考生填写学院(校) 专业班(级)姓名学号内招[ ] 外招[ ]题号一二三四五六七八九十总分得分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A C B B A 得分件是（ A ）。

（A ）1(1)A λ-=+且0A >；（B ）1A λ=-且01λ<<；（C ）1A λ=-且1λ<；（D ）0A >且01λ<<. 3. 已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P AB =，则()P A B =（D ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6 ； (D) 0.75。

《概率论与数理统计》期末试卷(A)

第1页共3页北京理工大学珠海学院2013 ～ 2014学年第二学期《概率论与数理统计》期末试卷（A ）1.箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为（） A.15/28 B.13/28 C.5/28 D.3/282.设),(~2σμN X ，则随σ增加，概率(||)P X μσ-<（）A.单调增加B.单调减少C.保持不变D.与错误!未找到引用源。

μ有关3.设总体),(~2σμN X ，错误!未找到引用源。

是总体X 的样本，则以下μ错误!未找到引用源。

的无偏估计中，最有效的估计量是（）. A.12X X - B.321613221X X X -+ C.错误!未找到引用源。

D.321515452X X X -+ 4.设8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互斥，则=)(B P 5.设随机变量X 在（1,6）服从均匀分布，则=<<)42(X P 6.若总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，则对总体均值μ进行区间估计时选择的枢轴量为1.分别为20%、（1（22.设随机变量X （1）求)(X E ；3.设随机变量X （1）求常数c ；1. 求（1）X (2))1(22≤+Y X P2.（1）求错误!（2）判断错误!……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………………此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写3.设总体X 的概率密度为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

,n X X X ,,,21 是总体X 的样本，求未知参数θ的最大似然估计量.4.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布)108.0,55.4(2N ，现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。

对于0.05α=，01: 4.55,: 4.55H H μμ=≠，试检验总体均值有无变化？李琳、许其州（0.050.0250.050.0251.645, 1.96,(5) 2.02,(5) 2.57z z t t ====）四、解答题（每小题6分，共12分）【得分：】 1.设随机变量)25,1(~N X ，)16,2(~N Y ，4.0-=XY ρ，求（1）),cov(Y X ；（2）)(Y X D +.2.某高校图书馆阅览室共有1332个座位，该校共有14400名学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为10%.试用中心极限定理计算阅览室晚上座位不够用的概率？（9987.0)3(,8413.0)1(=Φ=Φ错误!未找到引用源。

2007—2008学年概率论第一学期期终考试及参考答案

¯ ∼ N (0, 1), X ¯ − 1 ∼ N (−1, 1). (2) X 7. (1) E (X ) =
θ , θ +1
ˆ MM = θ
¯ X ¯; 1−X n i =1
(2) ln L(θ) = n ln θ + (θ − 1)
ln Xi , θ MLE = −
n i=1
n . ln Xi
1
上
专业
海
班级
海
事
姓名
大
学
学号
试
卷
得分
概率论与数理统计(卷A): 20080114
本试卷共8大题(第1, 2, 5, 6题每题10分, 第3, 4, 7, 8题每题15分) 可能用到的分位点表如下: z0.05 = 1.645 z0.0025 = 1.960 t0.025 (27) = 2.0518 t0.05 (27) = 1.7033 t0.025 (28) = 2.0484 t0.025 (29) = 2.0452 t0.05 (29) = 1.6991 t0.05 (13) = 1.7709 F0.025 (11, 16) = 211) = 3.28 F0.025 (7, 6) = 5.70 F0.025 (6, 7) = 5.12 1. 设A, B为两事件, 已知P(A) = 0.3, P( B) = 0.5, 计算: (1) 若A, B相互独立, 求P(A ∪ B); ¯ ). (2) 若P(A| B) = 0.4, 求P(A| B
3 8. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 从两条自动化流水线上分别抽取样本(X1 , · · · , X12 )与(Y1 , · · · , Y17 ), 观测后算得 x ¯ = 10.6(g), y ¯ = 9.5(g), s2 1 = 2.4, 2 s2 = 4.7, 假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量分别服从正态分 2 2 2 布N (µ1 , σ2 1 )与 N (µ2 , σ2 ), 且相互独立. µ1 , σ1 , µ2 , σ2 均未知. 求:

北京理工大学珠海学院《概率论与数理统计》历届真题一

A A B
解：A 和 B 相互独立 P（AB）=P(A)P(B)=0.42 该电路并联，所以线路正常工作的概率 P(AUB)=P （ A ） +P(B)-P(AB)=0.6+0.7-0.42=0.88
3、甲乙两名战士，据以往练习记录的总结，他们打靶命中环数 X，Y 的分布列如下： X P 6 7 8 9 0.2 0.2 0.2 0.2 10 0.2
个样本，得数据如下：1050，1250，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150， 1150，求参数的极大似然估计。三、综合应用题（每小题 7 分，共 28 分） 1、一种称之为酶连接免疫吸附测定的血液试验被用来诊断艾滋病，假设艾滋病病毒携带者经试验结果为阳性的概率 90%，非艾滋病病毒携带者的健康人经试验结果为阴性的概率 93%，在美国据估计大约每 1000 人中有一人是艾滋病病毒携带者，现进行普查若有一人经此血液试验结果呈阳性，问这人确为艾滋病病毒携带者的概率是多少？ 2、设线路由 A、B 两元件并联组成（如图），且各元件独立工作，A 正常工作的概率为 0.6，B 正常工作的概率为 0.7，求该线路正常工作的概率。
1
。。
7、设连续型随机变量 X 的密度为 f ( x ) ，则 P (a X b ) =
8 、设 ( x1 , x 2 , , x n ) 是取自总体 X 的样本，则总体期望的矩估计量为。 9、若 ~ N (0,1) ， ~ 2 ( n) ，且相互独立，则统计量 f 分布。 10、设总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ， 2 未知，随机抽样得到样本方差为
S 2 ，若要对进行检验，则采用

概率与数理统计08-09-2A

课程编号A073004 北京理工大学2008-2009学年第二学期2007级概率论与数理统计试题（A 卷）班级学号姓名（本试卷共8页，七个大题，满分100分；第2页空白纸及每张纸的背面为草稿纸，空白草稿纸不得撕下）附表：Φ（1）＝0.8413 7109.1)24(05.0=t ， 7081.1)25(05.0=t507.15)8(205.0=χ， 919.16)9(205.0=χ一、（12分）三门大炮对同一个目标轰击(每门一发炮弹)，已知它们的命中率分别是0.3，0.4，0.5，目标中弹1发，2发，3发而被摧毁的概率依此为0.2，0.5，0.8. 求(1)目标被摧毁的概率；(2)已知目标被摧毁，求目标中弹2发的概率.二、（14分）（1）设随机变量X 的分布函数为()0,0,0131,13321,36931,6x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎪≥⎪⎩且 ()23P X k >=，试求k 的取值范围；（2）设随机变量()~0,3X U ，求 52Y X =+ 的密度函数.三、（18分）设(X,Y )的联合密度为22, ,22(,)0, xAe x y f x y -⎧⎪-∞<<∞-<<=⎨⎪⎩其他（1）确定常数A ；（2）求X 与Y 的边缘密度)(),(y f x f Y X ；（3）判断X 与Y 是否相互独立，说明理由；（4）计算)0),(max(≤Y X P .四、（18分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,10,1),(y x y x f（1）求)(),(Y E X E ；（2）求协方差),cov(Y X ；（3）令Y X V Y X U 2,2-=+=,求协方差),cov(V U .五、（8分）设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，标准差为0.1kg，求100只零件的总质量超过51kg的概率.六、（18分）设X1,X2,……X n是来自总体X的一个样本，X~B(m,p)，其中m已知，试求参数p的矩估计和最大似然估计.七、（12分）某工厂对部件进行装配，设部件的装配时间服从正态分布，均值和方差均未知。

07年4月概率论与数理统计(经管类)试题答案

6．设二维随机变量
）
A． 1 4
由

f
(x,
y)dxdy

(X
1
c
,Y)
的概率密度为
B． 1 2
1 1
1
dxdy

4c
，得 4c
f
7．设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则下列结论中正确的是（ D ）
A． E( X ) 0.5 ， D( X ) 0.5
C． E( X ) 2 ， D( X ) 4
17．设 ( X ,Y ) ～ N (0,0;1,1;0) ，则 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘概率密度 f X (x) ___________．f Nhomakorabea (x)
1
2
x2
e 2．
18．设 X～ B 4, 1 ，则 E( X 2 ) ___________． 2
n 4, p 1 ， E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 np(1 p) n 2 p 2 5 ． 2

y
1 ，则常数
D．4
D．6
D．4
c
D． n 1(x 0 )

（ A
2
P( A B) P( A) P(B) P( A)P(B) 0.2 0.4 0.2 0.4 0.52 ． 12．从 0,1,2,3,4 五个数中任意取三个数，则这三个数中不含 0 的概率为___________．
07 年 4 月概率论与数理统计（经管类）试题答案
B． P( AB) P( A)P(B)
D． P( A B) 1
C． P(B)

自考概率论与数理统计(经管类)2007年至2013年历年真题及答案详解(按1-3章归纳)

第一章随机事件与概率 2007041．设A 与B 互为对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列各式中错误．．的是（ B ） A ．)(1)(B P A P -= B ．)()()(B P A P AB P = C ．1)P(=ABD ．1)(=B A P0)()(=∅=P AB P ，0)()(>B P A P ，)()()(B P A P AB P ≠．2．设A ，B 为两个随机事件，且0)(>A P ，则=)|(A B A P （ D ） A ．)(AB PB ．)(A PC ．)(B PD ．1A 发生时，B A 必然发生，所以1)()|(=Ω=P A B A P ．11．设事件A ，B 相互独立，且2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P ___________．52.04.02.04.02.0)()()()()(=⨯-+=-+=B P A P B P A P B A P ．12．从4,3,2,1,0五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为___________．4.01043534==C C ． 13．设31)(=A P ，21)(=B A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P ___________．由)()()(B P A P B A P += ，得)(3121B P +=，61)(=B P ．14．一批产品，由甲厂生产的占31，其次品率为5%，由乙厂生产的占32，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________．记A 1={取到甲厂产品}，A 2={取到乙厂产品}，B ={取到次品}，则121%1032%531)|()()|()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．27．设4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，且3.0)|(=B A P ，求)(AB P ．解：由)(1)()()(1)(1)(1)()()|(B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P -+--=--==，即5.01)(5.04.013.0-+--=AB P ，得05.0)(=AB P ．2007071．从标号为101,,2,1 的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（ A ） A ．10150 B ．10151 C ．10050 D ．10051 2．设事件A 、B 满足2.0)(=B A P ，6.0)(=A P ，则=)(AB P （ B ） A ．0.12B ．0.4C ．0.6D ．0.8由A AB B A = ，得)()()(A P B A P B A P =+，即6.0)(2.0=+AB P ，4.0)(=AB P ． 4．设每次试验成功的概率为p （10<<p ），则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ A ） A ．3)1(1p --B ．2)1(p p -C ．213)1(p p C - D ．32p p p ++330033)1(1)1(1)0(1p p p C P --=--=-．11．设事件A 与B 互不相容，且4.0)(=A P ，7.0)(=B A P ，则=)(B P ___________．由)()()(B P A P B A P += ，即)(4.07.0B P +=，得3.0)(=B P ，所以7.0)(=B P ． 12．设5.0)(=A P ，4.0)(=B A P ，则=)|(A B P ___________．由)|()()(A B P A P B A P =，即)|(5.04.0A B P =，得8.0)|(=A B P ，所以2.0)|(=A B P ． 13．设3.0)(=A P ，2.0)()(==C P B P ，且事件A ，B ，C 两两互不相容，则=)(C B A P ___________．3.02.02.03.01)()()(1)(=---=---=C P B P A P C B A P ．14．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于___________．设i A 表示“第i 次取得红球”，则所求概率为5512114106)|()()(12121=⋅==A A P A P A A P ． 26．某用户从两厂家进了一批同类型的产品，其中甲厂生产的占60%，若甲、乙两厂产品的次品率分别为5%、10%，今从这批产品中任取一个，求其为次品的概率．解：设A 表示“取到甲厂产品”，B 表示“取到次品”，则6.0)(=A P ，4.0)(=A P ，05.0)|(=A B P ，1.0)|(=A B P ，所求概率为07.004.003.01.04.005.06.0)|()()|()()(=+=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P2007101．设A 与B 互为对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列各式中错误．．的是（ A ） A ．0)|(=B A PB ．0)|(=A B PC ．0)(=AB PD ．1)(=B A P因为B A =，所以01)()|()|(≠=Ω==P B B P B A P ．2．设A ，B 为两个随机事件，且0)(>AB P ，则=)|(AB A P （ D ） A ．)(A PB ．)(AB PC ．)|(B A PD ．1AB 发生时，A 必然发生，所以1)()|(=Ω=P AB A P ．11．设事件A 与B 互不相容，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，则=)(B A P ____________．5.03.02.01)()(1)(=--=--=B P A P B A P ．12．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为____________．3518105962151916=⨯==C C C P ． 13．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为____________．设A 表示“甲击中”，B 表示“乙击中”，则所求概率为7.05.04.05.04.0)()()()()(=⨯-+=-+=B P A P B P A P B A P ．14．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为____________．设i A 表示“第i 次取到正品”，则所求概率为109191820219172018)|()()|()()(1211212=⨯+⨯=+=A A P A P A A P A P A P ． 2008011．设事件A 与B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列等式成立的是（ B ） A ．∅=ABB ．)()()(B P A P B A P =C ．)(1)(A P B P -=D ．0)|(=A B PA 与B 独立，则A 与B 也独立，)()()(B P A P B A P =．2．设A 、B 、C 为三事件，则事件=C B A （ A ） A ．C B AB ．C B AC ．C B A )(D ．C B A )(C B A C B A = ．11．连续抛一枚均匀硬币5次，则正面都不出现的概率为 ___________．321215=⎪⎭⎫⎝⎛． 12．袋中有红、黄、蓝球各一个，从中任取三次，每次取一个，取后放回，则红球出现的概率为___________．设X 表示红球出现的次数，则X ～⎪⎭⎫⎝⎛31,3B ，所求概率为2719278132311}0{1}1{3003=-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=≥C X P X P ． 13．设61)|(=B A P ，21)(=B P ，41)|(=A B P ，则=)(A P ___________．由)(1)|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P -==，即211)(4161-=A P ，得31)(=A P ．14．设事件A 、B 相互独立，6.0)(=B A P ，4.0)(=A P ，则=)(B P ___________．由)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= ，即)(4.0)(4.06.0B P B P -+=，得31)(=B P ． 26．100张彩票中有7张是有奖彩票，现有甲、乙两人且甲先乙后各买一张，试计算甲、乙两人中奖的概率是否相同？解：设A 表示“甲中奖”，B 表示“乙中奖”，则1007)(=A P ，1007997100939961007)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ，可见)()(B P A P =，即甲、乙两人中奖的概率相同．2008041．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（ D ） A ．601 B ．457 C ．51 D ．1571573101228==C C C P ． 11．设A 与B 是两个随机事件，已知4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)(B A P ___________．3.04.07.0)()()()(=-=-=-=A P B A P A B P B A P ．12．设事件A 与B 相互独立，且3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P _________．58.04.03.04.03.0)()()()()(=⨯-+=-+=B P A P B P A P B A P ．13．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率=p ________．设i A 表示“第i 次取得红球”，则所求概率为21.0103107)()()(2121=⨯==A P A P A A P ． 30．设有两种报警系统I 与II ，它们单独使用时，有效的概率分别为0.92与0.93，且已知在系统I 失效的条件下，系统II 有效的概率为0.85，试求：（1）系统I 与II 同时有效的概率；（2）至少有一个系统有效的概率．解：记=A {系统I 有效}，=B {系统II 有效}，则92.0)(=A P ，93.0)(=B P ，85.0)|(=A B P ．（1）由)(1)()()(1)()()()|(A P AB P B P A P A B P A P B A P A B P --=--==，得92.01)(93.085.0--=AB P ，系统I 与II 同时有效的概率为862.0)(=AB P ；（2）至少有一个系统有效的概率为988.0862.093.092.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P2008071．设随机事件A 与B 互不相容，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)|(A B P （ A ） A ．0B ．0.2C ．0.4D ．1A 与B 互不相容，则0)()(=∅=P AB P ，从而0)()()|(==A P AB P A B P ． 2．设事件A ，B 互不相容，已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则=)(B A P （ A ） A ．0.1B ．0.4C ．0.9D ．11.0)5.04.0(1)]()([1)(1)(=+-=+-=-=B P A P B A P B A P ．3．已知事件A ，B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列等式成立的是（ B ） A ．)()()(B P A P B A P += B ．)()(1)(B P A P B A P -= C ．)()()(B P A P B A P =D ．1)(=B A PA 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立，所以)()(1)(1)(B P A P B A P B A P -=-= ． 4．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ D ） A ．0.002B ．0.04C ．0.08D ．0.104命中次数X ～)8.0,3(B ，104.0)2.0()8.0()2.0()8.0(}1{21133003=+=≤C C X P ． 11．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________________．53251213=C C C ． 12．已知2/1)(=A P ，3/1)(=B P ，且A ，B 相互独立，则=)(B A P ________________．313221)()()(=⨯==B P A P B A P ． 13．设A ，B 为随机事件，且8.0)(=A P ，4.0)(=B P ，25.0)|(=A B P ，则=)|(B A P ______________．5.04.025.08.0)()|()()|(=⨯==B P A B P A P B A P ．26．某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？解：记=i A {取到第i 个厂的产品}，3,2,1=i ，=B {取到合格品}，则所求概率为（1）)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=100818.0100156.0100259.010060=⨯+⨯+⨯=；（2）1961008111.010060)()|()()|(111=-⨯==B P A B P A P B A P 2008101．设A 为随机事件，则下列命题中错误的是（ C ） A ．A 与A 互为对立事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=⋃A AD ．A A =2．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （ D ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.811．有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为__1/16_____.12．某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为_0.25_26．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率；（2）该件次品是由甲车间生产的概率.2009011．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ A ）A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.5正面朝上的次数X ～)5.0.3(B ，125.0)5.0()5.0(}3{0333===C X P ． 2．设A 、B 为任意两个事件，则有（ C ） A ．A B B A =-)( B ．A B B A =- )( C ．A B B A ⊂-)(D ．A B B A ⊂- )(A B A B B A ⊂-=-)( ，而B A B B A =-)(．11．连续抛一枚均匀硬币6次，则正面至少出现一次的概率为___________．正面出现的次数X ～⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6B ，6463641121211}0{1}1{6006=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=≥C X P X P ． 12．设事件A ，B 相互独立，且5.0)(=A P ，2.0)(=B P ，则=)(B A P ___________．6.02.05.02.05.0)()()()()(=⨯-+=-+=B P A P B P A P B A P ．13．某人工作一天出废品的概率为0.2，则工作四天中仅有一天出废品的概率为_________．出废品的天数X ～)2.0.4(B ，4096.08.02.0}1{3114=⨯⨯==C X P ． 14．袋中有5个黑球3个白球，从中任取4个球中恰有3个白球的概率为___________．141705483315==C C C ． 26．设A ，B 是两事件，已知3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，试在下列两种情形下：（1）事件A ，B 互不相容；（2）事件A ，B 有包含关系．分别求出)|(B A P ．解：（1）A 与B 互不相容，则∅=AB ，0)()()()()|(=∅==B P P B P AB P B A P ；（2）A 与B 有包含关系，由于)()(B P A P <，必有B A ⊂，A AB =，216.03.0)()()()()|(====B P A P B P AB P B A P ． 2009041．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ C ） A ．0)(=AB P B ．)()()(B P A P B A P += C ．)()()(B P A P AB P =D ．)()(B P A B P =-2．设事件A ，B 相互独立，且31)(=A P ，0)(>B P ，则=)|(B A P （ D ） A ．151 B ．51C ．154D ．31A ，B 相互独立时，31)()|(==A P B A P ．11．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P _____________．18.06.03.0)()()(=⨯==B P A P B A P ．12．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________．31242222=+C C C ． 2009071．设事件A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则有（ A ） A ．1)(=AB PB ．)(1)(B P A P -=C ．)()()(B P A P AB P =D ．1)(=B A P1)(1)(1)(=∅-=-=P AB P AB P ．2．设A 、B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列等式成立的是（ B ） A ．0)(=AB PB ．)()()(B P A P B A P =-C ．1)()(=+B P A PD ．0)|(=B A P)()()()(B P A P B A P B A P ==-．3．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ C ） A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.50375.05.035.05.03223=⨯=⨯⨯C ．11．将三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为____________．基本事件总数：每个球都有3种放法，共有27种放法．“出现两个空盒”所含基本事件数：三个球放入同一个盒中，有3种放法．所求概率为91273=． 12．袋中有8个玻璃球，其中蓝、绿颜色球各4个，现将其任意分成2堆，每堆4个球，则各堆中蓝、绿两种球的个数相等的概率为____________．每堆4个球，蓝、绿个数相等就是2蓝2绿．若一堆2蓝2绿，则另一堆也是，故只需考虑一堆．基本事件总数：48C ．“2蓝2绿”所含基本事件数：2424C C ．所求概率为3518482424=C C C ． 13．已知事件A 、B 满足：)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P ____________．由)()(B A P AB P =，得)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，所以0)()(1=--B P A P ，p A P B P -=-=1)(1)(．26．某种灯管按要求使用寿命超过1000小时的概率为0.8，超过1200小时的概率为0.4，现有该种灯管已经使用了1000小时，求该灯管将在200小时内坏掉的概率．解：设A 表示灯管的使用寿命超过1000小时，B 表示灯管的使用寿命超过1200小时，则8.0)(=A P ，A B ⊂，4.0)()(==B P AB P ．所求概率为5.08.04.01)()(1)|(1)|(=-=-=-=A P AB P A B P A B P ． 2009101．某射手向一目标射击两次，i A 表示事件“第i 次射击命中目标”，2,1=i ，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则=B （ B ） A ．21A AB ．21A AC ．21A AD ．21A A2．某人每次射击命中目标的概率为p （10<<p ），他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ D ） A ．2pB ．2)1(p -C ．p 21-D ．)1(p p -3．已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，且B A ⊂，则=)|(B A P （ C ） A ．0B ．0.4C ．0.8D ．1由B A ⊂，得8.05.04.0)()()()()|(====B P A P B P AB P B A P ． 4．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ D ） A ．0.20B ．0.30C ．0.38D ．0.5757.06.095.0%60%95=⨯=⨯．11．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________．设X 为正面向上的枚数，则X ～⎪⎭⎫⎝⎛21,3B ，所求概率为21838121212121}1{21133003=+=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=≤C C X P ．12．设随机事件A 与B 互不相容，且2.0)(=A P ，6.0)(=B A P ，则=)(B P ________．由)()()(B P A P B A P += ，即)(2.06.0B P +=，得4.0)(=B P ．13．设事件A 与B 相互独立，且6.0)(=B A P ，2.0)(=A P ，则=)(B P ________．由)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= ，即)(2.0)(2.06.0B P B P -+=，得5.0)(=B P ． 14．设3.0)(=A P ，6.0)|(=A B P ，则=)(AB P ________．7.03.01)(1)(=-=-=A P A P ，42.06.07.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P ．15．10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________．第一次取得正品后，还剩8件正品1件次品，在这个条件下取得次品的概率为91． 16．某组有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，其中恰有1名女工的概率为_______．所求概率为1582101416=C C C ． 2010011．若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是（ C ） A ．Ω=)(B A P B ．)()()(B P A P AB P = C ．)(1)(B P A P -=D ．∅=)(AB P因为A B =，所以)(1)(1)(B P A P A P -=-=．2．将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（ C ） A ．81 B ．41 C ．83 D ．21设X 为正面向上的次数，则X ～⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3B ，所求概率为832121}1{2113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X P ． 3．设A ，B 为两事件，已知31)(=A P ，32)|(=B A P ，53)|(=A B P ，则=)(B P （ A ） A ．51B ．52 C ．53D ．54由)()|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P ==，即)(5313132B P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，得51)(=B P ． 11．设4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=B A P ，则=)(B A P ___________．由)()()()(AB P B P A P B A P -+= ，即)(3.04.04.0AB P -+=，得3.0)(=AB P ，所以1.03.04.0)()()()(=-=-=-=AB P A P B A P B A P ．12．设A ，B 相互独立且都不发生的概率为91，又A 发生而B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率相等，则=)(A P ___________．由)()()()(B P A P B P A P =，即)()](1[)](1)[(B P A P B P A P -=-，得)()(A P B P =；代入91)()(=B P A P ，得91)](1[2=-A P ，31)(1=-A P ，32)(=A P ． 26．飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求明天飞机晚点的概率．解：设=A {明天有雨}，=B {明天飞机晚点}，已知8.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，4.0)(=A P ，则6.0)(=A P ，明天飞机晚点的概率为44.02.06.08.04.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．2010041．设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（ D ） A ．)(1)(B P A P -= B ．)()(B P B A P =- C ．)()()(B P A P AB P =D ．)()(A P B A P =-A 与B 互不相容，则∅=AB ，)()()()()()(A P P A P AB P A P B A P =∅-=-=-． 2．设A ，B 为两个随机事件，且0)(,>⊂B P A B ，则=)|(B A P （ A ） A ．1B ．)(A PC ．)(B PD ．)(AB PA B ⊂，则B AB =，1)()()()()|(===B P B P B P AB P B A P ． 11．设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，且6.0)(=A P ，则=)(AB P _______．由B A ⊂，得A AB =，=)(AB P 6.0)(=A P ．12．设A 与B 相互独立，且7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(B P _________．=)()(B P A P 3.0)()(=-=B A P B A P ，即3.0)(7.0=⨯B P ，73)(=B P ． 13．己知10件产品中有2件次品，任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于_______．1573102812=C C C ． 14．某地区人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于_________．设A 表示“吸烟”，B 表示“患这种疾病”，则所求概率为0024.0001.08.0008.02.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．27．设一批产品中有95％的合格品，且在合格品中一等品的占有率为60％．求：（1）从该批产品中任取1件，其为一等品的概率；（2）在取出的1件产品不是一等品的条件下，其为不合格品的概率．解：设A 表示“任取1件为合格品”，B 表示“任取1件为一等品”．（1）注意到A B ⊂，所以B AB =，所求概率为57.06.095.0)|()()()(=⨯===A B P A P AB P B P ；（2）注意到B A ⊂，所以A B A =，所求概率为1163.043.005.057.0195.01)()()()()|(≈=--===B P A P B P B A P B A P2010071．已知21)(=B P ，=)(B A P 32，若事件A 与B 相互独立，则=)(A P （ C ）A ．91B ．61C ．31 D ．21因为A 与B 独立，所以)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= ，即)(2121)(32A P A P -+=，可得31)(=A P ．2．对于事件A 与B ，下列命题正确的是（ D ）A ．如果A ,B 互不相容，则B ,A 也互不相容 B ．如果B A ⊂，则B A ⊂C ．如果B A ⊃，则B A ⊃D ．如果A ,B 对立，则B ,A 也对立如果A 与B 对立，则B A =且A B =，所以A 与B 对立（就是B 与A 对立）．3．每次试验成功率为p （10<<p ），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为（ B ） A ．3)1(p - B ．31p -C ．)1(3p -D ．)1()1()1(223p p p p p -+-+-设X 是试验成功的次数，则X ～),3(p B ，所求概率为303331)1(1}3{1}3{p p p C X P X P -=--==-=<．11．设7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ________．由)()()(AB P A P B A P -=-，即)(7.03.0AB P -=，得4.0)(=AB P ，所以6.04.01)(1)(=-=-=AB P AB P ．12．袋中有5个黑球，3个白球，从中任取的4个球中恰有3个白球的概率为________．141483315=C C C ． 13．设A ，B 相互独立，=)(B A P 251，=)(B A P )(B A P ，则=)(A P ________．由)()()()(B P A P B P A P =，即)](1)[()()](1[B P A P B P A P -=-，得)()(A P B P =；又由251)()(=B P A P ，即251)]([2=A P ，得51)(=A P ． 14．某地一年内发生旱灾的概率为31，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为__________．设X 为今后连续四年内发生旱灾的年数，则X ～⎪⎭⎫⎝⎛31,4B ，所求概率为816532132311}0{1}1{44004=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=≥C X P X P ． 26．100张彩票中有7张有奖，现有甲先乙后各买了一张彩票，试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同．解：设A 表示“甲中奖”，B 表示“乙中奖”，则1007)(=A P ， 1007997100939961007)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ，甲、乙两人中奖中概率相同．2010101．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则（ A ） A ．0)|(=A B P B ．0)|(>B A P C ．)()|(A P B A P =D ．)()()(B P A P AB P =0)()()()()|(=∅==A P P A P AB P A B P ． 11．设随机事件A 与B 相互独立，且31)()(==B P A P ，则=)(B A P _________． 9732313231)()()()()(=⨯-+=-+=B P A P B P A P B A P ．12．设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_________．41310121315=C C C C ． 13．设A 为随机事件，3.0)(=A P ，则=)(A P _________．7.03.01)(1)(=-=-=A P A P ．28．设随机事件321,,A A A 相互独立，且4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ．求：（1）321,,A A A 恰有一个发生的概率；（2）321,,A A A 至少有一个发生的概率．解：（1）)(321321321A A A A A A A A A P)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；（2）91.03.05.06.01)()()(1)(321321=⨯⨯-=-=A P A P A P A A A P2011011．袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，其恰为一红一白一黑的概率为（ A ）A ．41 B ．31 C ．21 D ．43 41310121315=C C C C ． 2．设A 、B 为两事件，已知3.0)(=A P ，则有（ C ） A ．1)|()|(=+A B P A B P B ．1)|()|(=+A B P A B P C ．1)|()|(=+A B P A B PD ．7.0)(=B P1)()()()()()()()()|()|(===+=+A P A P A P B A AB P A P B A P A P AB P A B P A B P ．也可用特例进行排除：事件A B =时，(A)(D)不成立；事件∅=B 时，(B)(D)不成立． 3．设0)(>A P ，0)(>B P ，则由事件A 、B 相互独立，可推出（ B ） A ．)()()(B P A P B A P += B ．)()|(A P B A P = C ．)()|(A P A B P =D ．B A =11．盒中有十个球，分别编有1至10的号码，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码小于5}，则=B A _________．=B A {取得球的号码是不小于5的奇数}={取得球的号码是5或7或9}．12．已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P _________．由)()()(AB P A P B A P -=-，即)(7.03.0AB P -=，得4.0)(=AB P ，从而6.0)(1)(=-=AB P AB P ．13．设A 、B 为两事件，已知31)(=A P ，32)(=B A P ，若A 、B 相互独立，则=)(B P _______．由)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= ，即)(31)(3132B P B P -+=，得21)(=B P ．26．某一地区患有癌症的人占005.0，患者对一种试验反应是阳性的概率为95.0，正常人对这种试验反应是阳性的概率为04.0，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？解：设=A {抽查了一人，患有癌症}，=B {抽查了一人，试验反应是阳性}，则所求概率为)|()()|()()|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P +==1066.00398.000475.000475.004.0995.095.0005.095.0005.0≈+=⨯+⨯⨯=．2011041．设C B A ,,为随机事件，则事件“C B A ,,都不发生”可表示为（ A ） A ．C B AB ．BC AC ．ABCD ．ABC2．设随机事件A 与B 相互独立，且51)(=A P ，53)(=B P ，则=)(B A P （ B ） A ．253 B ．2517 C ．54 D ．2523251753515351)()()()()(=⨯-+=-+=B P A P B P A P B A P ． 11．设B A ,为随机事件，6.0)(=A P ，3.0)|(=A B P ，则=)(AB P ______．18.03.06.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P ．12．设随机事件A 与B 互不相容，6.0)(=A P ，8.0)(=B A P ，则=)(B P ______．由)()()(B P A P B A P += ，即)(4.08.0B P +=，得4.0)(=B P ．26．盒中有3个新球、1个旧球，第一次使用时从中随机取一个，用后放回，第二次使用时从中随机取两个，事件A 表示“第二次取到的全是新球”，求)(A P ．解：第二次使用时盒中仍有3个新球、1个旧球，所以21)(2423==C C A P ． 2011071．设B A ,为随机事件，且B A ⊂，则=B A （ B ） A ．AB ．BC ．B AD ．AB由B A ⊂，得A B ⊂，所以B B A =．2．对于任意两事件B A ,，=-)(B A P （ C ） A ．)()(B P A P - B ．)()()(AB P B P A P +- C ．)()(AB P A P -D ．)()()(B A P A P A P --=-)(B A P )()(AB P A P -．11．100件产品中有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一个产品，则第二次取到次品的概率为_________．设A 表示“第一次取到次品”，B 表示“第二次取到次品”，则10199101009099910010)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P ． 12．设B A ,为随机事件，且8.0)(=A P ，4.0)(=B P ，25.0)|(=A B P ，则=)|(B A P ______．5.04.025.08.0)()|()()()()|(=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P ． 13．某射手命中率为32，他独立地向目标射击4次，则至少命中1次的概率为_________．设命中次数为X ，则X ～⎪⎭⎫⎝⎛32,4B ，至少命中1次的概率为818031321}0{1}1{404=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥C X P X P ． 26．设4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，且3.0)|(=B A P ，求)(AB P ．解法一：15.03.05.0)|()](1[)|()()()(=⨯=-===B A P B P B A P B P B A P B A P ，所以85.015.01)(1)(=-=-=B A P B A P ，由)()()()(AB P B P A P B A P -+= ，即)(5.04.085.0AB P -+=，得05.0)(=AB P ．解法二：由)(1)()(1)(1)(1)()(1)|(1)|(B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P B A P ---=---=-=-=，即5.01)(4.013.0---=AB P ，得05.0)(=AB P ．2011101．设B A ,为随机事件，则B B A )(-等于（ D ） A ．AB ．ABC ．B AD ．B A=-B B A )(B A ．2．设B A ,为随机事件，A B ⊂，则（） A ．)()()(A P B P A B P -=- B ．)()|(B P A B P = C ．)()(A P AB P =D ．)()(A P B A P =A B ⊂⇒A B A = ⇒)()(A P B A P = ．3．设A 与B 互为对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列各式中错误．．的是（ C ）A ．1)(=B A P B ．)(1)(B P A P -=C ．)()()(B P A P AB P =D ．)(1)(AB P B A P -=A 与B 互为对立事件，则∅=AB 且Ω=B A ．4．已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为96.0，则该射手每次射击的命中率为（ C ） A ．04.0B ．2.0C ．8.0D ．96.0命中次数X ～),2(p B ，由96.0}1{=≥X P ，得04.0}0{==X P ，即04.02=q ，2.0=q ，8.0=p ，11．设随机事件A 与B 相互独立，且4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则=)(AB P ___________．A 与B 相互独立，所以2.05.04.0)()()(=⨯==B P A P AB P ．12．从10,,2,1 中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为___________．10出现的次数X ～)1.0,4(B ，所求概率为0486.0)9.0()1.0(}2{2224===C X P ． 26．设B A ,为随机事件，2.0)(=A P ，4.0)|(=A B P ，5.0)|(=B A P ，求：（1）)(AB P ；（2）)(B A P ．解：（1）08.04.02.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P ；（2）由)()()|(B P AB P B A P =，即)(08.05.0B P =，得16.05.008.0)(==B P ，从而 28.008.016.02.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P ．2012011．从一批产品中随机抽两次，每次抽1件．以A 表示事件“两次都抽得正品”，B 表示事件“至少抽得一件次品”，则则下列关系中正确的是（ A ） A ．B A =B ．B A =C ．B A ⊂D ．A B ⊂2．某人射击三次，其命中率为8.0，则三次中至多命中一次的概率为（ D ） A ．0.002B ．0.04C ．0.08D ．0.104命中的次数X ～)8.0,3(B ，所求概率为104.0)2.0()8.0()2.0()8.0(}1{}0{}1{21133003=+==+==≤C C X P X P X P ．3．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)|(B A P （ D ） A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8A 与B 也相互独立，8.0)(1)()|(=-==A P A P B A P ．11．若5,4,3,2,1号运动员随机站成一排，则1号运动员站在正中间的概率为___________．515544=A A ． 12．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是___________．53251213=C C C ． 28．设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为4:1，假设高速客车因发生故障需要停驶检修的概率为002.0，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为01.0．（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能性有多大？解：设{=A 高速客车}，=B {需要停驶检修}，则2.051)(==A P ，002.0)|(=AB P ，01.0)|(=A B P ．（1）0084.001.08.0002.02.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ；（2）2110084.0002.02.0)()|()()()()|(=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P ． 2012041．设A,B 为B 为随机事件，且A B ⊂，则AB 等于( C ) A ．AB B.B C.AD.A2．设A ，B 为随机事件，则()P A B -= ( B ) A.()()P A P B - B.()()P A P AB - C.()()()P A P B P AB -+D.()()()P A P B P AB +-11．在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为__1/15____．12．设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5,()0.3P A P AB ==，则()P B =_0.4____． 13．设A ,B 为随机事件，()0.5,()0.4,()0.8P A P B P A B ===，则()P B A =_0.64_____． 14．设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是_16/25_____．30．某生产线上的产品按质量情况分为A ，B ，C 三类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行抽检，若发现其中两件全是A 类产品或一件A 类一件B 类产品，就不需要调试设备，否则需要调试．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品、B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．求：(1)抽到的两件产品都为B 类品的概率1P ；(2)抽检后设备不需要调试的概率2P ．2012071. 设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ C ） A. P （AB ）=0B. P （A∪B）=P （A ）+P （B ）C. P （AB ）=P （A ）P （B ）D. P （B-A ）=P （B ）2. 设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=31，P （B ）>0，则P （A|B ）=（ D ） A. 151 B. 51 C.154 D. 3111. 一口袋中装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是_____ 0.6__________.12. 设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则 P （A B ）=______0.18________..13. 设A,B,C 为三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=P(AC)=P(BC)=61,P(ABC)=0,则P(A B C)=_____41______. 26. 设某地区地区男性居民中肥胖者占25%，中等者占60%，瘦者占15%，又知肥胖者患高血压病的概率为20%，中等者患高血压病的概率为8%，瘦者患高血压病的概率为2%，试求：（1）该地区成年男性居民患高血压病的概率；（2）若知某成年男性居民患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？ 26. 解：(1)设C B A ,,分别表示肥胖者、中等者和瘦者。

07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准

07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准海南师范大学物理、电子、自动化、地理、城规、计算机专业《概率论与数理统计》2008—2009学年度第一学期期末考试（A ）卷答案与评分标准注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷4. 本试卷共五大题，满分100分，考试时间100分钟一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1、设A,B 为随机事件,若P(A ∪B)=P(A)+P(B),且P(A)>P(B)>0,则( D ); A: A,B 互不相容; B: A,B 非互不相容; C: A,B 相互独立; D: A,B 相互不独立;2、设随机变量X 只能取3,4,5, …,17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则概率P{0<="" 2A ：1514; B ：157; C ：152; D ： 154 ;3、己知二维随机向量(X,Y)具有联合密度:),,(,)1)(1(1),(22+∞<<-∞+∞<<-∞++=y x y x C y x f 则常数C=( D )A:1 ; B:π ; C:2π D: π2 4、己知随机变量X 服从二项分布B(5,0.2), 则D(X)/E(X)=（ B ）; A ：1 ; B 0.8; C: 0.2; D: 1.25; 5、己知随机变量X 的期望E(X)=20, 方差D(X)=8, 则( A );; A: P(|X-20|≥6)≤2/9 ; B: P(|X-20|≤6)≥2/9 ; C: P(|X-20|≤6)≤2/9 ; D: P(|X-20|≥6)≥2/9 ;6、设4321,,,X X X X 是来自正总体N(μ,σ2)的简单随机样本，下列四个μ的无偏估计量中, 最有效的是( B );A: )(313211X X X ++=μ; B: )(4143212X X X X +++=μ;C: 13X =μ,; D: 6233214X XX ++=μ;二、填空题（本题共6小题，每小题 3分，共18分。

北京理工大学珠海学院概率统计小测验

《概率论与数理统计》小测验
1.管理学院由07级、08级部分学生组成一支代表队参加北京理工大学珠海学院长跑活动，代表队的构成如下表：
从代表队中任选一人作为旗手
(1) 求旗手为女生的概率；
(2) 已知该旗手为女生，求她是08级学生的概率.
（8 +8 =16分）
（1）求X和Y的边缘分布律；
（2）X和Y是否独立？
（3）求P{X+Y=2}；
（4）求Z=X+Y的分布律.
（4 ⨯4=16分）
3. 设X 的概率密度为,02()0,A x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.
(1)求常数A; (2) X 的分布函数F(x);
(3)求P(X ≤1) （4+10+4=18分）
4. 设(X,Y)的联合概率密度为
2,01,0(,)0,x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.
(1) 求X 及Y 的边缘密度(),();X Y f x f y （8分）
(2) 指出X 与Y 的独立性，并说明理
由；（4分）
(3) 求P(Y ≤X/2) （8分）
(2)设X 的概率密度为
,0()0,x e x f x -⎧>=⎨⎩其它，求2Y =X 的概率密度. （10分）
6.设X,Y 相互独立，且X 服从数学期望100，方差为9的正态分布，Y 服从数学期望120，方差为16的正态分布。

（1）求Z=2X-Y, W=(X+Y)/2的分布；
（2）求{218.5}P X Y +<，
{1105}2X Y
P +->
已知：(2)0.9772,(0.3)0.6179Φ=Φ= （6+10=16分）。

07级本科《概率论与数理统计》A卷

上海立信会计学院2008～2009学年第二学期2007级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器）共8页学院班级学号姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1．设B A ,为两个事件，且A B ⊂，则（） A .)()()(B P A P B A P += B .)(1)(A P B A P -= C .)()()(B P A P B A P += D .1)(=-A B P2．某学习小组有4名男生2名女生共6个同学，从中任选2人作为学习小组长，设随机变A B C D3．下列各函数可作为随机变量分布函数的是（）A .⎩⎨⎧≤≤=其他0102)(1x x x F B .⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F C .⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=111111)(3x x x x x F D .⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1210200)(4x x x x x F4．下列结论不一定正确的是（） A .总体未知参数的估计量一定是统计量B .无论总体服从什么分布，∑==ni i X n X 11是总体均值的无偏估计量C .无论总体服从什么分布，∑=--=n i i X X n S 122)(11(2≥n )是总体方差的无偏估计量 D .若21ˆ,ˆθθ是θ的两个估计量，如果)ˆ()ˆ(21θθD D <，则1ˆθ比2ˆθ有效 5．假设检验是根据样本统计量的观测值是否落入0H 的否定域而对原假设0H 作出拒绝或接受的推断，因此推断结论（）A .只可能犯第Ⅰ类（弃真）错误B .只可能犯第Ⅱ类（取伪）错误C .两类错误均可能犯D .不可能犯错误二、填空题（每题2分，共10分）1．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布)(λπ，1}0{-==e X P ，则=λ2．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其他0111)(2x x Cx f ，则常数=C3．设)21,10(~b X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ4．设),(Y X 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其他042,20,)6(81),(y x y x y x f ，且区域=D {}3|),(≤+y x y x ，则概率=∈}),{(D Y X P 5．设总体X 服从]2,0[θ上的均匀分布（未知参数0>θ），),,,(21n X X X 为取自总体X的样本，则θ的矩估计=θˆ 三、计算题（共5题，共44分，解答各题必须写出必要步骤）1．（本题6分）为了解甲、乙两种报纸在青年学生中的影响，经调查，某校学生中订阅甲报的有30﹪，订阅乙报的有25﹪，同时订阅两种报纸的有10﹪，记事件{1=A 学生订阅甲报}，{2=A 学生订阅乙报}。

概率论与数理统计习题参考答案

概率论与数理统计参考答案（附习题）第一章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度.解：所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 和C 不发生；（2）A 与B 都发生，而C 不发生；（3）A 、B 、C 都发生；（4）A 、B 、C 都不发生；（5）A 、B 、C 不都发生；（6）A 、B 、C 至少有一个发生；（7）A 、B 、C 不多于一个发生；（8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解：所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B CA B C A B C A B CA B C AB CA B B C A CA BB CC A3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则（1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC =C 成立？（3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？（4）在什么条件下A B =成立？解：所求的事件表示如下（1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB解由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3, 所以 P (AB )=0.4, 故 ()P AB = 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=18求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 1111500044488=++---+=6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A ＝{两球颜色相同}，B ＝{两球颜色不同}.解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B的事件数为1111112ab b a a b A A A A A A +=, 则 2211222()()a b a ba b a bA A A A P A PB A A +++==7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解（1）设A={取得三件次品} 则333333101016()()120720或者====C A P A P A C A . （2）设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率.解设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2) ()()()P ABC P AB P ABC =-()01()P A B P A B =+-=-+ 1()()()P A P B P AB =--+433532541100100100100=--+=9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C . (3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.74=-=P C P A . (4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则500500364()1()10.746365=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312⨯⨯==C C P B11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.解由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为77A ，因此有2222770.000794A A p A ==12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有⋅4452C 中取法. 设A={4只手套都不配对}，则有⋅==445410280()210C P A C13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？解设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+ 所以 ()11i i i P A p i=-=+ 123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =11112111311,(2)23423423424P x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},C={产品中次品不超两件}, 由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303=========P B A C C P B A C C C P B A CC C P B A C C C P B A C由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 40()()(|)0.196===∑i i i P B P A P B A 由Bayes 公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()======P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 故20()(|)0.588===∑i i P C P A B16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05.因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624===⨯+⨯+⨯=∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624⨯===⨯===⨯===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率α；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解设H i ={箱中实际有的次品数}, 0,1,2=i , A={通过验收}则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：042314244222424(|)1,5(|),695(|)138P A H C P A H C C P A H C =====(1)由全概率公式20()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H(2)由Bayes 公式得00()(|)0.81(|)0.83()0.96β⨯====i P H P A H P H A P A18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C (2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？解在三局两胜时, 甲队获胜的概率为332213333(2)(3)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.648=+=+=A P P P C C在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为55533244155555(3)(4)(5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.682=++=++=B P P P P C C C因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大.20. 4次重复独立试验中事件A 至少出现一次的概率为6581，求在一次试验中A出现的概率.解设在一次独立试验中A 出现一次的概率为p, 则由题意00444465(0)(1)181==-=-P C p q p 解得p=1/3.21.（87，2分）三个箱子，第一个箱子中有4只黑球1只白球，第二个箱子中有3只黑球3只白球，第三个箱子有3只黑球5只白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为解设=B “取出白球”，=i A “球取自第i 个箱子”，.3,2,1=i 321,,A A A 是一个完全事件组，.3,2,1,3/1)(==i A P i 5/1)|(1=A B P ，2/1)|(2=A B P ，8/5)|(3=A B P ，应用全概率公式与贝叶斯公式,12053)852151(31)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P.5320)()|()()|(222==B P A B P A P B A P22.（89，2分）已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A ⋃的概率=⋃)(B A P 解 7.0)|()()()()()()()(=-+=-+=⋃A B P A P B P A P AB P B P A P B A P .23.（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件B A ⋃的概率分别是4.0，3.0和6.0. 若B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P解 B A 与B 互不相容，且.B B A B A ⋃=⋃ 于是.3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P24.（92，3分）已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ，则事件A ，B ，C 全不发生的概率为解从0)(=AB P 可知，0)(=ABC P .)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +--++=⋃⋃.8501611*********=+---++=25.（93，3分）一批产品共有10件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为解设事件=i B “第i 次抽出次品”，.2,1=i 则,12/2)(1=B P 12/10)(1=B P ，.11/2)|(,11/1)|(1212==B B P B B P 应用全概率公式)|()()|()()(1211212B B P B P B B P B P B P +=.611121210111122=⨯+⨯=26.（94，3分）已知A ，B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P解 ).()()(1)()(AB P B P A P B A P B A P +--=⋃=因)()(B A P AB P =，故有.1)(1)(,1)()(p A P B P B P A P -=-==+27.（06，4分）设A ，B 为随机事件，且0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（） A ．)()(A P B A P >⋃ B ．)()(B P B A P >⋃ C ．)()(A P B A P =⋃ D ．)()(B P B A P =⋃解选（C ）28.（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个数，记为Y ，则==)2(Y P 解填.481329.（96，3分）设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为%1和%2，现从由A 和B 的产品分别占%60和%40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品属A 生产的概率是解设事件=C “抽取的产品是次品”，事件=D “抽取的产品是A 生产的”，则D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”. 依题意有.02.0)|(,01.0)|(,40.0)(,60.0)(====D C P D C P D P D P应用贝叶斯可以求得条件概率.7302.04.001.06.001.06.0)|()()|()()|()()|(=⨯+⨯⨯=+=D C P D P D C P D P D C P D P C D P30.（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黄球，30只是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是解设事件=i A “第i 个人取得黄球”，2,1=i . 根据题设条件可知.4920)|(,4919)|(,5030)(,5020)(121211====A A P A A P A P A P 应用全概率公式.524920503049195020)|()()|()()(1211212=⋅+⋅=+=A A P A P A A P A P A P31.（87，2分）设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

北理珠概率

Z123P0.10.50.4概率论与数理统计综合检测（一）参考答案一、填空与选择题1. .2. p= 1/3 . 3.4. P(A ∪B)= 0.88 .5.【 D 】6.【 B 】7.【 A 】8.【 C 】二、解答下列各题1.YX－10110.20.100.320.30.30.10.70.50.40.1解 (1) (见上表)(2)不独立。

由于P(X=1,Y =－1)=0.2≠P(X=1)P(Y =－1)=0.15 (3) (X,Y)(1,－1)(1,0)(2,－1)(2,0)(2,1)P 0.20.10.30.30.121323Z 的分布律为EX=0.3+1.4=1.7,EY =－0.5+0+0.1=－0.4，E(XY)=－0.2－0.6+0.2=－0.6 2. 解分别记A 、B 、C 为取到甲、乙、丙厂的产品，D 为取到次品。

(1)P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=20%×1%+25%×1.5%+55%×2%=P(C|D)==三、解答下列各题1. 解 P(第10次才命中)=P(前9次不中，第10次中)= P(恰好命中8次)==0.1209323522. 解 (1) 当x<0或x>1时，=0，当0≤x ≤1时，所以，；当y<0或y>1时，=0，当0≤y≤1时，所以，；(2) 不独立，由于在内，3. 解随机变量Y=3X－1的分布函数其概率密度函数四、解答下列各题1. 解(1) 总体X的数学期望由E X=得，，解得θ的矩估计量：；(2) 似然函数L=，对数似然函数由，得，解得θ的极大似然估计量 .2. 解P(超载)=。

2007~2010年概率论试卷答案

2007级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB)()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故 2. C 3. B 注释：参考课本86页 4.B 2sin 1A xdx π=⎰注释： ?5.6. B A 项参见课本64页，D 项参见课本86页二、 1. 2 注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。

（课本84页） 2. 12 注释：cov(X,Y)= r XY DX DY ⋅⋅。

（参考课本86页）3. 1/5 注释：运用等比求和公式S=1(1)1n a q q--4. 38.4 注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+==对于5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2 注释：类似2006级试卷填空题第6题7.2/5三、（1）1/20; (2)14/15注释：（1）P(A)=224431078910C C C ，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6” 四、（1）C=4; (2)112()-20{1}41-3e ;xx y P dx e dy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)22220022112,2221()41124x x E x e dx E x e dx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，，五、 0.9979 注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题六、 0.9525100(100,0.9),))85{85)1)1( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为，则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EXP{a<X<b}((DX DX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-1500故需满足P{15001}99%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=50010M-2-1500即（）（）1500解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理（2）22222n 11221222211()0(1)()0()()[()]()211_____0(1)()()211,2,3,,()()0112)()2n n n n n n n k n k k k n n k k E n n n n nD E E E n n n n nk E E n n D n nn nξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-+⋅+-⋅==-==⋅-+⋅+-⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n 0,2()|}1lim ()|}1}n n n n n E n E εξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|故有P{|即{服从大数定律2008年概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1.D 1(1)()X uu uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C 注释：参考课本第8页3.A 注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确？B 项是否正确4.B 注释：参考课本86页5.A 二、 1. 1.33(或者填13591024) 2．25 注释：参考课本86页 3. 0.25 4. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)设（X+Y ）～B(n,P),则有E(X+Y)=7p=nPD(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p 5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6. 0.3522(35)112(35),9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X DX DX X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关三、四、1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯= 五、10022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)(2211(322_____012xx xx x x x e x f x e x e x F x e x P X e ex e dx x e dx EX x e dx x ---∞--∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅===⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=2021211___[22][22(2x x x x e dxx e xe e x DX EX ∞--∞=-++-=-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.02520005020000{50}{i ii i i i i ii X i X U EX DX b X U a b EX DX b a Y X Y Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=-⨯<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则.025020000.02}(25.8)20000.00007520000.000075-⨯<=Φ⨯⨯A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”；取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A ) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行七、____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b a b aba x ab y b a x ax ab y by bEX x dx EY y dy a b ππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f 其它222222222222,2424,3344()25,()4335332(3),22()()a b a b a b EX x dx EY y dy a b a b DX EX EX DY EY EY a b a x a b y b x y a b πππππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得，时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(x z z Z dx ze dx e e F z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>12009年2学分参考答案一、解：设i A ＝｛第i 枚弹道导弹击沉航空母舰｝，i B ＝｛第i 枚弹道导弹击伤航空母舰｝ i C ＝｛第i 枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i ＝1，2，3，4 D ＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝()31=i A P ，()21=i B P ，()61=i C P ，i ＝1，2，3，4 43214321432143214321B C C UC C B C UC C C B UC C C C UB C C C C D =()()()()()()434432143214321432143216132161461=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=B C C C P C B C C P C C B C P C C C B P C C C C P D P()()461311-=-=D P D P = 0.99 二、解：（1）A ＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝()55255236)413(4C C A P =-⨯=（只要说明顺子的构成，分子40也算对）（2）A ＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝()5522411234113C C C C C A P = （3）A ＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝()552141421234113C C C C C C A P = 三、解：（1）设A ＝｛被查后认为是非危险人物｝， B ＝｛过关的人是非危险人物｝，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=9428.005.004.098.096.0=⨯+⨯=()()()()998.0==A PB A P B P A B P（2）设需要n 道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i 关危险人物被误认为非危险人物}，{}n n C C P 05.01= ，所以999.005.01≥-n ，05.0ln 0001.0ln ≥n ，即1005.0ln 0001.0ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n =[3.0745]+1 = 4 四、解：当1=a 时，1=Y ，则()⎩⎨⎧>≤=1110y y y F Y当10<<a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y 当0>y 时，()()()y a X P y a P y F XY ln ln <=<=()⎪⎭⎫ ⎝⎛>=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=a y a y X P ln ln 1ln ln 1()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅-==a yY Y e a y dy y dF y f当1>a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y 当0>y 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=a y ln ln ()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅==a yY Y e a y dy y dF y f五、解：（1）E(X+Y)=6.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023=+--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯--=b a b a174.015.014.013.012.003.002.001.014.0=++=+++++++++b a b a 联立解得：17.0=a ，09.0=b（2）X 的概率分布函数：-2-110.17 0.23 0.06 0.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯六、解：95.01.0≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-p n m P ，因()()1,0~1N np p p n m-- ()()95.011.01≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--n p p n p p p n m P ，()96.111.0975.0=≥-u np p ?不是u0.95吗？()()p p n -≥16.192；因为()4/11≤-p p ，取()4/6.192≥n =96.04即97=n七、解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=others by a x ab y x f ,00,0,/1),( 边缘概率密度：⎩⎨⎧<<=others a x a x f X ,00,/1)(，⎩⎨⎧<<=others by b y f Y ,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22====b DY a DX ，312,12==b a （3）随机变量X 与Y 相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X =八、解： 3330||33||33||||)(||)(||)()|(|t ct E x dF tx x dF t x x dF t P x t x t x ==≤≤=>⎰⎰⎰≥>>ξξ 九、解：（1）dx Axydy dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞∞-+∞∞-1010),(4A =＝1，A ＝4 （2）P(X<0.4，Y<1.3)＝16.044.0010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx xydyX（3）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=++10104dx xydy e Eesy tx sYtX ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101014dx dy e s sye x e sy sytx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222114t t e t e s s e s e t t s s （4）32410102=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ，214101032=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ()91942122=-=-=EX EX DX ，()=XY E 944101022=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx dy y x ()0323294,=⨯-=⋅-=EY EX EXY Y X Cov十、解：（1）设ξ表示该观众答对题数， ,2,1,0=ξ 则第ξ+1次解答答错（即首次出错）。

北理工《概率论与数理统计》题库复习资料

北理工《概率论与数理统计》FAQ （一）一、【古典概型】把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算：（1）无空盒的概率；（2）恰有一个空盒的概率.解：4个球任意投入4个不同的盒子内有44种等可能的结果. （1）其中无空盒的结果有A 44种，所求概率P =4444A =323. 答：无空盒的概率是323. （2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有C 14种，选两个球放入一盒有C 24A 13种，其余两球放入两盒有A 22种.故恰有一个空盒的结果数为C 14C 24A 13A 22,所求概率P （A ）=4221324144A A C C =169. 答：恰有一个空盒的概率是169. 二、【条件概型】盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。

解设Ai 为第 i 次取球时取到白球，则 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =52)(1=A P 73)|(213=A A A P 63)|(12=A A P 84)|(3214=A A A A P求得：3 / 70三、【条件概型＋全概型】市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。

解设B 买到一件次品，A1为买到甲厂一件产品 A2为买到乙厂一件产品 A3为买到丙厂一件产品可得：)()|()()|()()|(332211A P A B P A P A B P A P A B P ++= ＝ ≈⨯+⨯+⨯2103.04101.04102.00.00225 四、【贝叶斯公式】商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解设A :从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B 0, B 1, B 2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P (B 0)=0.8, P (B 1)=0.1, P (B 2)=0.11)|(0=B A P 54)|(4204191==C C B A P 1912)|(4204182==C C B A P由Bayes 公式:∑==2111)|()()|()()|(i iiB A P B P B A P B P A B P 0848.019121.0541.018.0541.0≈⨯+⨯+⨯⨯=五、【伯努利概型】在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择哪个对自己更有利解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P 5(3)+P 5(4)+P 5(5) =0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P 3(2)+P 3(3) =0.648 甲应选择五局三胜制。

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概率论与数理统计综合检测（一）
（时间120分钟）
一、填空与选择题
1. 设袋中有5个红球，6个白球，从中任取两个，则取出两个红球的概率为 .
2. 设随机变量X ～B(n, p)，E(X)=3, D(X)=2, 则p= .
3. 设随机变量X 的分布函数为201,
()0
0,x x e F x x ->⎧-=⎨
≤⎩
，
则X 的概率密度函数().f x =
4. 设事件A 和B 相互独立，且P(A)=0.7, P(B)=0.6, 则P(A ∪B)=____________.
5. 设随机变量X~π(λ)(即X 服从参数λ的泊松分布)，且P(X=5)=P(X=6), 则
λ的值为【】（A ）5/6 (B) 4 (C) 5 (D) 6
6. 设E(X)=E(Y)=1,D(X)=D(Y)=1, 1XY ρ=-,则下列选项中正确的是【】 (A) D(X+Y)=2 (B) D(X+Y)=0 (C) D(X-Y)=0 (D) E(XY)=1
7. 设1X ,2X ,3X 为总体X 的样本，E(X)=μ，则参数μ的无偏估计量为【】 (A)
13
(1X +2X +3X ) (B)
()1231X X X 2
+
+ (C) 1X -2X -3X (D)
123
111X X X 2
3
4
+
+
8. 设1X ，2X ，…,16X 为正态总体X~N(1, 2σ)的样本，样本均值为X ，已知Y=a X +b ～N(0,1), 则有【】 (A) a=b=
4σ
(B) a=σ，b=-σ (C) a=
4σ
，b=4-
σ
(D) a=b=σ
二、解答下列各题
1. 设二维随机变量（X,Y
(1) 求X 和Y 的边缘分布律（填入右边表格中）；
(2) X 与Y 是否独立，为什么？
(3) 求2Z=X+Y 的分布律;
(4) 求E(X)、E(Y)、E(XY).
2. 设有一批同类产品，由甲、丙三厂制造，所占比例分别为甲厂20%，乙厂25%，丙厂55%，且甲、乙、
丙三厂产品的次品率分别为1%，1.5%，2%. 现在从这批产品中任取一件。

(1) 求取出的产品为次品的概率；
(2) 已知所取的产品为次品，求该产品是丙厂生产的概率。

三、解答下列各题
1. 某人向某一目标射击10次，每次命中率为0.6，且每次射击结果相互独立.
求下列事件的概率：
(1) 第10次才命中； (2) 恰好命中8次。

2. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数
2,
0,01
(,)0,
y x x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其他
(1)分别求X 和Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ; (2)随机变量X 和Y 是否独立？为什么？
3. 设随机变量X 的概率密度函数为20
2,()0
0,x x e f x x -≥⎧=⎨<⎩，求Y =3X -1的概率密
度函数。

四、解答下列各题
1. 设1,2,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，且设总体X 的概率密度函数为
01
(1),()0,x x f x θθ<<⎧+=⎨⎩
其他，其中参数θ>-1为待估参数。

(1) 求θ的矩估计量; (2) 求θ的极大似然估计量。

2. 现有一批袋装化肥，第i 袋重量为随机变量(1,2,,196)i X i = , 它们独立同
分布，且其数学期望为25(kg)μ=, 方差2
2
207σ
⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 如用一辆载重量为
5000(kg)的卡车一次运走这批化肥，试用中心极限定理计算超载的概率。

2
t
x -
概率论与数理统计综合检测（一）参考答案
一、填空与选择题 1.
25
2
11
211
C C =
.2. p= 1/3 . 3.
22,
0().0,
x e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩
4. P(A ∪B)= 0.88 .
5.【 D 】
6.【 B 】
7.【 A 】
8.【 C 】二、解答下列各题 1.
解 (1) (见上表)
(2)不独立。

由于P(X=1,Y =－1)=0.2≠P(X=1)P(Y =－1)=0.15
EX=0.3+1.4=1.7, EY =－0.5+0+0.1=－0.4，E(XY)=－0.2－0.6+0.2=－0.6 2. 解分别记A 、B 、C 为取到甲、乙、丙厂的产品，D 为取到次品。

(1)P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
=20%×1%+25%×1.5%+55%×2%=167.5
0.0167510000
= P(C|D)=
P(CD)P(C)P(D|C)P(D)P(D)
=
=55%2%110.65670.0167516.75⨯=≈ 三、解答下列各题
1. 解 P(第10次才命中)=P(前9次不中，第10次中)=90.40.60.000157286⨯=
P(恰好命中8次)=882282
10
100.60.40.60.4C C ⨯=⨯=0.120932352 2. 解 (1) 当x<0或x>1时，()X f x =0，当0≤x ≤1时，0
()2d 2x X f x x x =
=⎰
所以，
2,
01
()0,
X x x f x others
≤≤⎧=⎨
⎩；
当y<0或y>1时，()Y f y =0，当0≤y ≤1时，1()2d 2(1)Y y
f y y y ==-⎰
所以， 2(1
),0()0,
Y y y f y others
-≤≤⎧=⎨
⎩；
(2) 不独立，由于在0,01y x x <<<<内，(,)()().X Y f x y f x f y ≠ 3. 解随机变量Y=3X －1的分布函数
()P ()P (31)Y F y Y y X y =≤=-≤11P 33X y y X F ++⎛⎫⎛⎫
=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其概率密度函数
11()33Y X y f y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭2
(1)3
2,1.30,1
y e
y y -+⎧≥-⎪=⎨
⎪
<-⎩
四、解答下列各题
1. 解 (1) 总体X 的数学期望1
11
2
11E (1)2
2
X x
dx x
θθθθθθθ++++=+=
=
++⎰
由E X =X 得，
12
X
θθ+=+，解得θ的矩估计量： 21
1X X
θ
-=-；
(2) 似然函数 L =12(1)()n
n x x x θ
θ+ ，
对数似然函数 1
l n l n (1)l n
n
i
i L n x θθ==+
+∑
由
ln 0
d L d θ
=，得
1
ln 1
n
i
i n
x θ==-+∑，解得θ的极大似然估计量
1
1ln n
i
i n
X
θ
==--∑.
2. 解 2
11961196
E ()4900,D ()
40,
X X X X
++=++=
P(超载)=196
1
1196490050004900
P (5000)P 4040i i X X X =⎛⎫- ⎪- ⎪++>=>
⎪ ⎪⎝
⎭
∑ 1(2.5)10.99380.0062.≈-Φ=-=。