2021-2022年高一数学下学期周练试题

2021年高一数学下学期周练试题
一、选择题
1．正方形绕某一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（）
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
2．如图是由哪个平面图形旋转得到的（）
A. B. C. D.
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆锥
D.一个圆柱、两个圆锥
4．下列结论正确的是（）
A．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
5．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）．
A．（1）是棱台 B．（2）是圆台
C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱
6．下列命题中正确的个数是（）
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A．0个 B．1个
C ．2个
D ．3个
7．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）．
A ．（1）是棱台
B ．（2）是圆台
C ．（3）是棱锥
D ．（4）不是棱柱
8．如下图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A ．，，，
B
．，，，，:] C ．，，，，，
D ．，，
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体
积为（ ）
A. B. C. D.
10
．在正方体中，M 是棱的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任一点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知地球的半径为，球面上两点都在北纬45°圈上，它们的球面距离为，点在东
经30°上，则两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体积
为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．
14．平面截半径为2的球所得的截面圆的面积为，则球心到平面的距离为 ．
15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 ．
16．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点。

三、解答题
17．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，分别为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.
18．设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.
考点：旋转体.
【易错点晴】一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.等腰三角形绕过底边上的高的直线旋转一周构成的图形性就是一个旋转体——圆锥.还有圆柱、圆台、球等都是旋转体.圆绕过圆心的直线旋转一周所成的球.
2．D
【解析】
试题分析：A.应旋转为中间是圆柱，上下是圆锥，B.应旋转为上下同底的两个圆锥，C.应旋转为上面是圆柱，线面是圆锥，只有D旋转后是如图的几何体，故选D.
考点：旋转体
3．D
【解析】
试题分析：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥.故选D.
考点：旋转体.
4．A
【解析】
试题分析：如图2，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥,B错误；若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥，易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾,C错误；如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥，D错误；易知A正确,故选A.
考点：锥体及其性质.
5．C
【解析】
试题分析：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；
图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③是棱锥．
图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱考点：几何体的结构特征
6．A
【解析】
试题分析：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的
平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个个面是多边形，其余各面是三甲型的几何体不一定是棱锥，如三棱台，所以选A．
考点：多面体的特征．
7．C
【解析】
试题分析：根据几何体的结构特征可知，（1）不是棱台，棱台的侧棱延长后应交于一点，（2）不是圆柱，圆柱的上下底面互相平行，（3）为棱锥，（4）是棱柱。

考点：几何体的结构特征。

8．C
【解析】
试题分析：根据棱台是由棱锥截成的，A、，故A不正确；B、，故B不正确；C、，故C正确，D、满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故选C．
考点：棱台的结构特征．
9．D
【解析】
试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故
，即得，所以该球的体积，故选D.
考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.
10．C
【解析】
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则A(1，0，0)，，，P(1，y，1)，则，，∴，∴OP⊥AM．选C．
11．C
【解析】
如图，设球心为，北纬45°圈的中心为，
由两点的球面距离为，所以=，
为等边三角形．于是．
由，
．即=．
两点在其纬线圈上所对应的劣弧．选C．
12．B
【解析】由勾股定理可得球的半径为，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：
．故选B．
13．
【解析】
试题分析：因为圆柱的表面积为，所以圆柱的表面积为
考点：圆柱的侧面积
14．
【解析】
试题分析：由题意得：截面圆的半径为1.截面圆圆心与球心距离、截面圆的半径1及球的半径2构成直角三角形三边，利用勾股定理可得距离为．
考点：球的相关知识．
15．
【解析】
试题分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．考点：圆锥的体积.
16．5，4，3
【解析】
试题分析：面最少的三棱柱是三棱柱，它有五个面；面数最少的棱锥是三棱椎，它有4个顶点；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有三条侧棱．故答案为：5，4，3.
考点：棱锥的结构特征.
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，要证明平面，则可证明；（2）通过外接球的表面积为可求出四棱柱的高，再通过平移找出异面直线与所成的平面角，从而求解.
试题解析：（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，
∴，而面，面，∴平面.
（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面积为，
∴四棱柱的外接球的半径，
设，则，解得，
在直四棱柱中，∵平面，平面，
∴，在中，，
∴，
∴异面直线与所成的角为.
考点：1.直线与平面平行的判定；2.异面直线所成的夹角.
18．
【解析】
试题分析：本题实质是体积问题，我们知道题中球取出前后水的体积是不变的，通过开始时的圆锥体积减去球的体积得出水的容积，球取出后，水变成了圆锥，圆锥的高就是我们要求的水面高度. 试题解析：如图为圆锥轴截面，球心为，可得
（3分）
（5分）
设取出球后，水面高为，则
（8分）
因为（10分）
所以（12分）
考点：圆锥的体积与圆锥的性质.。