等差数列的讲义(汇编)
等差数列及其前n项和讲义
等差数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d 2n 2＋)2(1d a -n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．注意：等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( ) 题组二：教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三：易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．三、典型例题题型一：等差数列基本量的运算1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97思维升华：等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二：等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．引申探究：本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式． 思维升华：等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式． 题型三：等差数列性质的应用命题点1：等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.命题点2：等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________. 思维升华：等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727 B.1914 C.3929 D.43等差数列的前n 项和及其最值典例1(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.典例2在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．四、反馈练习1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．62．由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( )A ．54B ．50C ．27D ．254．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－105．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( )A ．18B ．12C ．9D ．66．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 0337．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.9．张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．13．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.16．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________．。
等差数列讲义(清晰打印版)
数列1.学习重难点学习目标：掌握等差数列求和、求第n项、求项数的方法，学会找双重数列的规律和运用。
重点知识：（1）等差数列求和、求第n项、求项数；2.寻找下列数列的规律。
（1）1，4，7，10，13，（），19.这个数列有什么规律？（2）1，2，3，1，2，3，1，（），3.这个数列有什么规律？3.等差数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。
例如： 1，3，5，7，9，11，13100，90，80，70，60，509，9，9，9，9，9，9，9【例题】判断下面数列是否为等差数列（1）1，2,3,4,5,6,7,（2）0.0,0,0,0,0,0（3）100,99,98,97,96（4）1，3,4,6,7,8,4．等差数列介绍.5.第几项相关知识点【核心公式一】第n项 = 首项+公差×(项数-1) 【例题】1,3,5,7,9........这个数列中，（1）公差是多少（2）首项末项分别是多少（3）第99项是多少（4）第101项是多少6.项数知识点【例题】仔细观察上面数列，2和2006相差多少个公差？【答案】2004÷3=668（个）【例题】2006是第几项？【答案】668+1=669（项）【核心公式】项数=（末项 - 首项）÷公差 + 1【例题】在1,3,5,7,9,11……….99数列中，（1）共有多少项？（2） 99是第几项？7.等差数列求和【例题】计算：2+4+6+8+10+12+14【核心公式】和=(首项+末项) ×项数÷2【例题】1+2+3+4+5+………+100的和是多少？【例题】1+3+5+7+………+99的和是多少？【例题】数列3、5、7……89是一个等差数列，求这个等差数列的和？。
等差数列讲义(学生版)
2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念、通项公式【学习目标】1.理解等差数列的定义(重点)；2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题；3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点).【要点整合】1. 等差数列的概念2. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 23. 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为：(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项；(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列题型二等差中项例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.题型三等差数列的通项公式及应用例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.(2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？（3）等差数列2,5,8,...,107共有项练习3：已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.(1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为：a ，2a －1，3－a .题型四 等差数列的判定例4若a n ＝7n ＋2，b n ＝lg a n ，证明{b n }为等差数列.练习4：已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式.2.2.2 等差数列的性质【学习目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；2.能运用等差数列的性质解决有关问题.【要点整合】1.等差数列与一次函数（1）等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，点(n ，a n )，(m ，a m )分布在以d 为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.（2）公差d 与斜率等差数列{a n }的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d ，即d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m(m,n≥2，m ≠n ，m,n ∈N *)，故等差数列的通项公式也可写为a n ＝a m ＋(n －m)d.2.等差数列的性质（1）等差数列的项的对称性 ①在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…②下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .（2）由等差数列衍生的新数列若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有【典例讲练】题型一等差数列与一次函数的关系例1 已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？练习1若数列{a n}满足a1＝15，3a n＋1＝3a n－2(n∈N*)，则使a k·a k＋1<0的k值为________.题型二等差数列性质的应用例2在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.练习2数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于() A.0 B.3 C.8 D.11例3已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.练习3已知{a n}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为()A.10B.－10C.15D.－15例4已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.练习4已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.例5、已知两个等差数列5,8,11，...和3,7,11，...都有100项，问它们有多少共同项？。
等差数列 黄樟连 讲义版
第一讲 等差数列【知识点】 1． 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差．2． 通项公式与前n 项和公式（1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差． （2）前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=． 3． 等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列．4． 等差数列的常用性质（1）d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(b a ,是常数)；bn an S n +=2(b a ,是常数，0≠a )．（2）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+．（3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列．5． 等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值．（1）若已知通项n a ，则n S 最大⇔10n n a a +≥⎧⎨≤⎩；（2）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大； 2）若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值．（1）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（2）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小． 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程6． 等差数列的判定与证明（1）定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； （2）中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； （3）通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；（4）前n 项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列． 【课堂演练】 题型一 基本量计算例1 已知数列{}n a 为等差数列，若24113=+a a ，34=a ，则数列{}n a 的公差等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7例2 已知等差数列{}n a ，41=a ，公差2=d ，若4012=n a ，则n 等于（ ） A ．2004 B ．2005 C ．2006 D ．2007例3 已知列{}n a 中，11=a ，21+=-n n a a （2n ≥），则10a =（ ） A ．17 B ．18 C ．19 D ．20例4 等差数列89-，87-，85-，⋅⋅⋅，1的项数是（ ） A ．45 B ．46 C ．47 D ．92练1 已知等差数列{}n a 中，1,16497==+a a a ，则16a 的值是（ ） A ．15 B ．22 C ．31 D ．64练2 已知数列{}n a 满足01,211=+-=+n n a a a ,则数列的通项n a 等于（ ） A ．12+n B ．1+n C ．n -1 D ．n -3练3 等差数列20,17,14,11…中第一个负数项是（ ） A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项例5 已知数列{}n a 满足,2,13321==-+a a a n n 则{}n a 的前9项和等于（ ） A ．25B ．26C ．27D ．28例6 (2015全国1 7)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．172B ．192C ．10D ．12例7 设n S 是等差数列{}n a *N n ∈的前n 项和，且7,141==a a ，则5S ＝ ．练4 (2014福建 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14练5 (2013安徽文7）设n S 为等差数列{}n a 的前项和，134S a =，22a =-，则9a =（ ） A ．5 B ．4 C ．2- D ．2练6 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ） A ．13 B ．35 C ．49 D ．63练7 （2014浙江文19）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=． （1）求d 及n S ；练8 已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ；题型二 等差数列的性质例1 a b c 、、都是实数，那么“2b a c =+”是a b c 、、成等差数列的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件练1 等差数列的前三项依次是1,1,23x x x -++，则其通项公式为 ．练2 在ABC ∆中，角A B C 、、成等差数列，则B = ．例2 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S （ ） A ．36 B ．72C ．18D ．114练3 （2015全国2）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11练4 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且==++131272,24S a a a 则（ ） A ．52 B ．78 C ．104 D ．208练5 （2015广东10）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．练6 （2014重庆2）在等差数列{}n a 中,10,2531=+=a a a ，则=7a （ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14练7 在等差数列{}n a 中：24-321=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列201a a +等于 ．练8 已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为（ ）A ． 32B ． 32-C ．12D ． 12-例3 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6练9 若数列{}n a 满足191=a ，)(31*+∈-=N n a a n n ，而数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9练10 设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．1011S S = B ．1011S S > C ．910S S = D ．910S S <题型五 证明等差数列例4 在数列}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=+．设12-=n nn a b ，证明：数列}{n b 是等差数列；例5 在数列{}n a 中，12a =，121nn n a a +=++；(1)求证：数列{}nn a 2-为等差数列；练1 在数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=-（*2,n n N ≥∈），数列{}nb 满足：11n n b a =-（*n N ∈）．求证：数列{}n b 是等差数列练2 （安徽 18）数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈．证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；练3 在数列}{n a 中，11=a ，1133n n n a a ++=+．设3nn na b =，证明：数列}{n b 是等差数列；【课后巩固1】1．（福建卷（理3））等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．142．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若===432,3,1S a a 则（ ） A ．12 B ．10C ．8D ．63．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若357=S ，则=4a （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．54．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d =（ ） A ．7 B ．6C ．3D ．25．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为（ ） A ．48 B ．49C ．50D ．516．（重庆卷（文2））在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．147．已知数列}{n a 中，11=a ，21+=-n n a a （2n ≥），则10a =（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．208．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若6321=++a a a ,则5S =（ ） A ．5 B ．7C ．9D ．109．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ） A ．30尺 B ．90尺 C ．150尺 D ．180尺10．数列{}n a 的通项公式为233-=n a n ，当n S 取到最小时，=n （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【课后巩固2】1．（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 ．2．在等差数列{}n a 中，已知2452,10a a a =+=，求数列{}n a 的通项公式 ．3．设数列{}n a 的首项17a =-，且满足12n n a a +=+则1217a a a +++=L ．4．（2016年北京高考）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S ．5．已知数列的通项25a +-=n n ,则其前n 项和为n S = ．7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ ．8．已知数列{}n a 为等差数列，且21423a a π+=，则()313cos a a +的值为 ．9．已知等差数列{}n a 中，253=+a a ，则=++642a a a ．10．（2015年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a + ．【课后巩固3】1．数列{}n a 的前n 项和为n n S n 1722-=，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．54或B ．65或C ．4D ．52．已知数列{}n a 为等差数列，且34131π=+a a ，则()122tan a a +的值为（ ） A ．3- B ．3C ．3±D ．33-3．(2013全国卷．文)等差数列}{n a 中，91972,4a a a == （1）求}{n a 的通项公式4．已知等差数列}{n a ，n S 为其前n 项和，56,1075==S a ． （1）求数列}{n a 的通项公式；5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243S S =,122-=n n a a （1）求数列{}n a 的通项公式；6．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，.20,552-=-=S a 且（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n a S ＞成立的正整数n 的最小值．7．已知数列{}n a 是一个等差数列，且5,1a 52-==a 。
高中数学完整讲义——数列2.等差数列1-等差数列的定义
高中数学讲义1思维的发掘 能力的飞跃【例1】 判断数52，27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？【例2】 若数列{}n a 是等差数列，且11a =，35a =，则10a 等于（ ）A ．19B ．21C ．37D ．41【例3】 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求它的首项、公差与51a 的值．【例4】 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75【例5】 在等差数列{}n a 中，533a =，45153a =，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．63【例6】 在等差数列{}n a 中，47a =，1121a =，则它的首项1a =_______，前n 项和n S =_______．【例7】 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15典例分析等差数列的定义高中数学讲义 2 思维的发掘 能力的飞跃【例8】 ⑴ 在等差数列{}n a 的公差为d ，第m 项为m a ，求其第n 项n a ．⑵ 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==，①求通项n a ；②若242n S =，求n .⑵ 设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2329,S S =424S S =，求数列{}n a 的通项公式．【例9】 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，求证1{}na 是等差数列，并求通项n a ．【例10】 等差数列{}n a 中, 25a =，633a =，则35a a +=______________．【例11】 设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=．【例12】 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．35B ．33C ．31D ．29【例13】 证明以下命题：⑴ 对任一正整数a ，都存在正整数b ，c ()b c <使得2a ，2b ，2c 成等差数列；⑵存在无穷多个互不相等的三角形n △，其边长n a ，n b ，n c ，为正整数，且2n a ，2n b ，2n c 成等差数列．高中数学讲义3思维的发掘 能力的飞跃【例14】 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．35。
等差、等比数列性质总结汇编
等差数列性质总结1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差数列专题讲义
学习改变命运，奋斗成就未来 等差数列专题讲义（一）定义及公式解读高考！ 数列是高考中知识最系统、所用解题方法最直观，高考中最容易拿分的题目。
等差数列作为最简单的一种数列，又是最基本的、体现数列特点的知识点。
1、等差数列的定义（1） 文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d来表示。
（2） 符号定义：如果数列{}n a 满足1(,2;)n n a a d n N n d +--=γ是常数，那么数列{}n a 叫做等差数列。
其中，常数d 叫做数列的公差。
2、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是：1(1)n a a n d =+-（1） 在等差数列中，21a a d =+，3212a a d a d =+=+，……，1(1)n a a n d =+-（2） 根据等差数列的定义，21a a d -=，32a a d -=，……，1n n a a d --=；将以上1n -个式子相加，就可以得到1(1)n a a n d =+-。
等差数列的通项公式有两个量决定：首项1a ，公差d 。
因此，只要我们知道了等差数列的任意两项，就能列出二元一次方程组解出首项1a ，公差d ，进而确定通项公式。
3、等差数列的前n 项和（☆☆）等差数列的n 项和公式为： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n n S na d -=+等差数列的前n 项和是一个关于n 的二次函数，同样有两个参数：首项1a ，公差d 。
怎样推导等差数列的前n 项和公式？（倒序相加法）4、等差中项+,c的等差中项。
11-+1项和，若1a a ++；+1=n S a 偶 ；1=S n-偶 {}n n 是以2为公差的等差数列。
等差数列讲义 (1)
12、(2008 宁夏理)已知数列 {an } 是一个等差数列，且 a2 1， a5 5 . （1）求 {an } 的通项 an ； （2）求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.
S 13、 （2010 全国）设 a n 为等差数列， S n 为数列 a n 的前 n 项和，已知 S7 7 ， S15 75 ，T n 为数列 n n
2ap .
a2 an1 a3 an2
（1）若 an 、 bn 为等差数列，则 an b， 1an 2bn 都为等差数列。 （2）若{ an }是等差数列，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n ，„也成等差数列。 （3）数列 {an } 为等差数列,每隔 k (k N ) 项取出一项 (am , amk , am2k , am3k , ) 仍为等差数列。
n a1 an n n 1 d． ；② Sn na1 2 2
a1 a2 an ).
5、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系
s1 , n 1 an ( sn sn1 , n 2
二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差 d 0 时，
4
等差数列前 n 项和的最值问题 4. 已知等差数列 an ，且满足 an 40 4n ，前多少项的和最大，最大值为多少
课堂总结
课后作业 1、(2007 安徽)等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 a2 1, a3 3, 则S 4＝（ A．12 B．10 C.8 D．6 ）
*
5、前 n 项和的性质 设数列 an 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的和， S n 是前 n 项的和. ①当项数为偶数 2n 时，则
(完整word版)等差数列-简单难度-讲义
等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈． 二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。
等差数列的公式的推导：累加法3。
等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。
若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。
如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公 差为2n d ． 2。
等差数列的讲义
麟子教育一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 则这个 数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差•通常用字母 d 表示。
2、等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 晋 或2A a b 推广：2a n 乳 a n i (n 2) 2a “ 1 a “ a “ 23、等差数列通项公式若等差数列 a n 的首项是a i ，公差是d ，则耳6 n 1 d . 推广：a n a m (n m)d ，从而d 4、等差数列的前n 项和公式5、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系环 n 1a n(数列｛a n ｝的前n 项的和为S n 印a ? L a n ).$需川2二、等差数列的性质 1、 等差数列的增减性若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列, 若公差d 0，则为常数列。
2、 通项的关系当 m n p q 时，则有 a m a “ a p a q ， 特别地，当m n 2p 时，则有a m On 2a p .注：a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法：(1)定义法：若a n a n 1 d 或a n 1 a n d (常数n N ) a n 是等差数列；a n a mn m等差数列的前n 项和的公式：①5n s i a n2n n 1② 5 g 丁 d .(2)等差中项：数列a n是等差数列2a n a^ a n1(n 2) 2a n1 a n a n 2 :练习、选择题1、等差数列a n中，S0 120，那么aA. 12B.24C. 362、已知等差数列a n1的公差d ，a22A. 80 B . 120 C . 1353、已知等差数列a n 中，a2a5a9A. 390B. 195 c.1804、在等差数列a n 中，a2 6 ,a81 a io ( )D. 48a4 a ioo 80，那么S ioo D. 160.a i2 60 ,那么S13D. 1206，若数列a n的前n项和为S n ,则( )A. S4S5B.S4S5二.填空题1、等差数列a n中，若a62、等差数列a n中，若S n c.S6 S5 D.S6 S5 a3a8 ,则S q3n22n，则公差d3、已知等差数列｛a n｝的公差是正整数，且a3 a712,a4 a64，则前10项的和S10= 三•解答题1、在等差数列a n中，a4 0.8，an 2.2，求a51 a52 L a8°.2、设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3 12，S2>0, Sn<0,①求公差d的取值范围；②S,S2丄，S2中哪一个值最大？并说明理由.3、设等差数列｛a n｝的前n项的和为S n ,且S 4 = —62, S 6 = —75,求：(1) ｛a.｝的通项公式 a n 及前n 项的和S n ; (2) |a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ ……+|a 14 |.。
等差数列知识讲解
专题一 等差数列1.要求学生掌握等差数列的概念2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。
重点：1.要证明数列{a n }为等差数列，只要证明a n+1-a n 等于常数即可（这里n≥1,且n∈N *）2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d (n≥1,且n∈N *).3．等到差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的等差中项，且 难点：等差数列“等差”的特点。
公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
等差数列通项公式的含义。
等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。
换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。
过程：一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……3，0，-3，-6，……，，，，……12，9，6，3，……特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”二、得出等差数列的定义： （见P115）注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：AP 首项公差2．若则该数列为常数列3．寻求等差数列的通项公式：由此归纳为当时（成立）注意: 1° 等差数列的通项公式是关于的一次函数2° 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成AP证明：若它是以为首项，为公差的AP。
3° 公式中若则数列递增，则数列递减4° 图象：一条直线上的一群孤立点三、例题：注意在中，，，四数中已知三个可以求出另一个。
例1 （P115例一）例2 （P116例二）注意：该题用方程组求参数例3 （P116例三）此题可以看成应用题四、关于等差中项：如果成AP 则证明：设公差为，则∴例4 《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP，求此数列。
解一：∵∴是-1与7 的等差中项∴ 又是-1与3的等差中项∴又是1与7的等差中项∴解二：设∴∴所求的数列为-1，1，3，5，7五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1．定义法：即证明例5、已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
6-2等差数列(讲义)
(4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．(2019·云南大理统测)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋ a6＋a7＝45，那么 a5 等于( )
A．4 B．5 C．9 D．18
[解析] 根据等差数列的性质可知 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5 ＝45，所以 a5＝9，故选 C.
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)等差中项
若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b
且有 A＝ 2
.
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式
是 an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
．
(2)等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝
＝－12n＋2，
∴a5＝－12×5＋2＝－12.故选 B.
(2)设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋3d＋a1＋4d＝24，
∴6a1＋6×2 5d＝48，
∴d＝4，故选 C.
[答案] (1)B (2)C
等差数列运算的解题思路 由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知若已知 a1，d，n， an，Sn 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二” 的实质是方程思想，即建立方程组求解．
核心考点突破 H
精研考题 突破重难
考点一 等差数列的基本运算
【例 1】 (1)(2018·福州一模)在等差数列{an}中，若 a2＝1，
a8＝2a6＋a4，则 a5 的值是( )
A．－5
2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)
2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义（学生版）典例分析【例1】等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【例2】数列的前项和，求它的通项公式．【例3】数列的前项和，，则数列的前项和_______.【例4】数列的前项和，则_______.【例5】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例6】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例7】有两个等差数列，，其前项和分别为，，若对有成立，求．【例8】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例9】 等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_______．【例10】 等差数列中，，，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】 已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中．⑴ 设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；⑵ 设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．【例12】 等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．【例13】 设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值．【例14】 已知等差数列中，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【例15】已知是等差数列，且，，求数列的通项公式及的前项和．【例16】在各项均不为0的等差数列中，若，则等于（）A．B．C．D．【例17】设数列满足，，，且数列是等差数列，求数列的通项公式．【例18】已知22=-+++-，f x x n x n n()2(1)57⑴设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．⑵设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．【例19】已知数列是等差数列，其前项和为，．⑴求数列的通项公式；⑵设是正整数，且，证明．【例20】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例21】有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是．⑴求数列的通项；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】 已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，成等差数列(为正偶数)．又，，⑴求数列的通项；⑵试比较与的大小，并说明理由．【例23】 设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足则的取值范围是 ．【例24】 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（ ）A ．B ．C ．D ．【例25】 在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式 ．【例26】 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．⑴求数列的通项；⑵求数列的前项和．【例27】 已知数列满足，，且对任意，都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求，；⑵设证明：是等差数列；⑶设，求数列的前项和．【例28】设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10 B．12 C．15 D．30【例29】已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A． B． C． D．【例30】若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A．B．C．D．【例31】已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（）A．或 B．或 C． D．【例32】已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A． B． C． D．【例33】等差数列中，，，此数列的通项公式为，设是数列的前项和，则等于．【例34】设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）⑴在只有项的有限数列，中，其中，，，，，，，，，；试判断数列，是否为集合的元素；⑵设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并写出的取值范围；⑶设数列，且对满足条件的常数，存在正整数，使．求证：．【例35】 已知数列满足：，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，．⑴求的值；⑵设，，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由．2019-2020年高中数学数列的概念与简单表示”课堂实录一、教学目标：知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
等差数列讲义
等差数列知识要点：1.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，第一项为首项，最后一项为末项；从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差为公差，数列中数的个数称为项数。
2.等差数列相关公式。
末项=首项+公差×（项数-1）首项=末项-公差×（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）项数=（末项-首项）÷公差+1和=中间数×项数和=（首项+末项）×项数÷2[ 例1] 判断下面的数列是不是等差数列，如果是等差数列请说出公差、首项、末项、项数分别是多少。
（1）5、10、15、20、25、30；（2） 88、80、72、64、56、48、40、32；（3） 8、8、8、8、8、8；（4）1、2、1、2、1、2、1、2.解析：每相邻两个数的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
这个相等的差叫该数列的公差，我们把数列的第一项叫首项，最后一项叫末项，数列中所有数的个数叫项数。
（1）这是一个递增的数列，依次增加5，也就是相邻两个数的差为5，是等差数列。
公差为5，首项：5，末项：30，项数：6。
（2）这是一个递减的数列，依次减少8，也就是相邻两个数的差为8，是等差数列。
公差8，首项：88，末项：32，项数：8。
（3）这个数列相邻两个数的差为0是等差数列。
公差8，首项：8，末项：8，项数：6。
（4）这个数列不是等差数列。
因为第二项减第一项差为1，可第三项减第二项不够减，所以每相邻两个数的差不相等，不是等差数列。
以第一个等差数列为例子，5、10、15、20、25、30。
问：第3项比第1项相差几个公差？（）第4项比第1项相差几个公差？（）第5项比第2项相差几个公差？（）第10项比第2项相差几个公差？（）小结：等差数列中，第几项与第几项相差几个公差，我们只需要把项数的编号减一减即可。
[ 例2] 1＋2＋3＋…＋99+100＝？解析：这串加数1，2，3，…，99，100是等差数列，首项是1，末项是100，共有100个数，项数是100。
等差数列及其前n项和讲义
等差数列及其前n 项和讲义课前双击巩固1.等差数列中的有关公式已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差是d ,前n 项和为S n ,则 等差数列定义式 (n ≥2,d 为常数) 等差中项 A= (A 是a 与b 的等差中项) 通项公式 或前n 项和公式 S n = =2.等差数列的性质已知{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m+n=p+q=2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则有a m +a n = = .(2)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成 数列. 3.等差数列与函数的关系(1)等差数列{a n }的通项公式可写成a n = ,当d ≠0时,它是关于n 的 ,它的图像是直线y=dx+(a 1-d )上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.注:当d>0时,{a n }是 数列;当d<0时,{a n }是 数列;当d=0时,{a n }是 . (2)前n 项和公式可变形为S n = ,当d ≠0时,它是关于n 的常数项为0的 ,它的图像是抛物线y=d 2x 2+(a 1-d2)x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.注:若a 1>0,d<0,则S n 存在最 值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最 值. 常用结论 等差数列的性质1.已知{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,则有以下结论: (1){a 2n }是等差数列,公差为 2d 1.(2){pa n +qb n }是等差数列(p,q 都是常数),且公差为pd 1+qd 2. (3)a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k,m ∈N *)是公差为 md 1 的等差数列.(4){S nn }成等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的12 .(5)数列{pa n },{a n +p}都是等差数列(p,q 都是常数),且公差分别为pd 1,d 1. 2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为2n,则S 偶-S 奇= nd ,S 奇S偶=a na n+1.(2)若项数为2n-1,则S 偶=(n-1)a n ,S 奇= na n ,S 奇-S 偶= a n ,S奇S 偶=nn -1 .3.两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,它们之间的关系为an b n =S 2n -1T 2n -1.题组一 常识题1.[教材改编] 在等差数列{a n }中,a 5=9,且2a 3=a 2+6,则a 1= .2.[教材改编] 在等差数列{a n }中,a 2=-1,a 6=-5,则S 7= .3.[教材改编] 在等差数列{a n }中,S 4=4,S 8=12,则S 12= .4.[教材改编] 已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m= . 题组二 常错题◆索引:忽视等差数列中项为0的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号判断不正确5.在等差数列{a n }中,a 1=-28,公差d=4,则前n 项和S n 取得最小值时n 的值为 .6.首项为-20的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是 .7.已知等差数列{a n }的通项公式为a n =11-n ,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|= .课堂考点探究探究点一 等差数列的基本运算1 (1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S6=24,S9=63,则a4= ( )A.4B.5C.6D.7(2)公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )A.15B.21C.23D.25[总结反思](1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,a n,S n,知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.式题(1)等差数列{a n}的前n项和是S n,且a3=1,a5=4,则S13= ( )A.39B.91C.48D.51(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且3a3=a6+4,若S5<10,则a2的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,0)C.(1,+∞)D.(0,2)探究点二等差数列的性质及应用2 (1)在等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10)= ( )A.10B.20C.40D.2+log25(2)在等差数列{a n}中,a1=-2017,其前n项的和为S n,若S20132013-S20112011=2,则S2017=.(3)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S672=2,S1344=12,则S2016= ( )A.22B.26C.30D.34[总结反思] 利用等差数列的性质“若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q ”,或者“常用结.式题 (1)在等差数列{a n }中,若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=45,S 3=-3,那么a 5= ( ) A.4 B.5 C.9 D.18(2)两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且Sn T n =7n+2n+3,则a 2+a 20b 7+b 15= .(3)一个正项等差数列前n 项的和为3,前3n 项的和为21,则前2n 项的和为 ( ) A.18 B.12 C.10D.6探究点三 等差数列的判定与证明 3 已知数列{a n }满足a 1=-23,a n+1=-2a n -33a n +4(n ∈N *).(1)证明:数列{1an +1}是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.[总结反思] 判断数列{a n }是否为等差数列,通常有两种方法:①定义法,证明a n -a n-1=d (n ≥2,d 为常数),用定义法证明等差数列时,常选用两个式子a n+1-a n =d a n -a n-1=d ,但它们的意义不同,后者必须加上“n ≥2”;②等差中项法,证明2a n =a n-1+a n+1(n ≥2).式题 已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x+5=0的两个根. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)在(1)中,设b n =S nn+c ,求证:当c=-12时,数列{b n }是等差数列.探究点四 等差数列前n 项和的最值问题4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若公差d=-2,S 3=21,则当S n 取得最大值时,n 的值( ) A.10B.9C.6D.5(2)在等差数列{a n }中,a 1<0,S 18=S 36,则当S n 取得最小值时,n 的值为 ( ) A.18 B.27 C.36D. 54[总结反思] 求等差数列前n 项和最值的常用方法:(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *.(2)图像法:利用二次函数图像的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d<0时,满足{a n ≥0,a n+1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d>0时,满足{a n ≤0,a n+1≥0的项数n ,使S n 取最小值.即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.式题 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1<0且a6a 5=811,则当S n 取最小值时,n 的值为( )A.11B.10C.9D.8(2) 已知数列{a n }为等差数列,若a11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的n 的最大值为( ) A.11 B.19 C.20D.21课时作业一、 填空题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于________． 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________． 3．在等差数列{}a n 中，a 2＝2，a 10＝15，则a 18的值为________．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于________． 6．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，则S 7＝________．7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．8．已知等差数列{a n }满足a 1>0,5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为________． 9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.11．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 二、解答题12． 设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .。
等差数列同步讲义
一、等差数列概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈．二、等差数列的通项公式及推导等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 等差数列的公式的推导：累加法等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a da a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质（1）在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+；该性质推广到三项，即m ，n ，t ，p ，q ，*s N ∈,且m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．（2）若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．（3）如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列；{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等差数列前n 项和公式的推导：倒序相加 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 等差数列知识讲解得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 六、等差数列前n 项和的性质（1）在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公差为2n d ． （2）{}n a 为等差数列① 当项数为奇数时，由1212n n a a a -+=得，()2121(21)()212n n n n n a a S n a ---+==-， ② 当项数为偶数时，由121n n n a a a a ++=+得， 1()n n n S n a a +=+． （3）通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠ 是不含常数项的二次函数的形式．（注：当0d =时，1n S na =，1n a a =）（4）{}n a 为等差数列，()20n S An Bn A =+≠，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列 （5）等差数列{}n a 的公差为d ，S S 奇偶，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有21n +项，则1S n S n+=奇偶；如果数列有2n 项，则S S nd -=偶奇． （6）若10a >，0d <，此时二次函数开口向下，对称轴在y 轴的右侧，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．若10a <，0d >，此时二次函数开口向上，对称轴在y 轴的右侧，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≤≥来确定n ．七、等差数列的前n 项和公式与二次函数（1）区别和联系区别联系n S 定义域为*N 图像是一系列的额孤立点 （1）解析式都是二次式；（2）n S 图像是抛物线上的图像的一系列的点．()f x定义域为R图像是一条光滑的抛物线（2）观察()20n S An Bn A =+≠和211(1)==()222n n n d d S na d n a n -++-得1,22d dA B a ==-； （3）应用二次函数求()20n S An Bn A =+≠的最大值和最小值的特殊性：即当*2Bn N A=-∈，n S 达到最大或最小．而当*2B n N A =-∉时，n 取与2BA-最近的正整数即可． （4）由二次函数的性质可得：当0d >时，n S 有最小值，：当0d <时，n S 有最大值．题型一、等差数列的定义及通项公式【例1】 判断数52、27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5311---，，，，中的项，若是，是第几项？【例2】 若三个数42262a a a -+-，，，适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．【例3】 在数列{}n a 中，112221n n a a a +==+，，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52【例4】 lg(32)-与lg(3+2)的等差中项为（ ）A ．0B ． 32lg()32-+ C ．(526)lg - D ．1【例5】 等差数列{}n a 中，1472461545a a a a a a ++==，，求数列的通项公式．【例6】 若关于x 的方程20x x a -+=和20()x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则a b +的值是_________．【例7】 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人的面包数成等差数列，且使最大的三分之和的13是最小的两份之和，则最小1份得大小是 ．【例8】 设数列{}n a 满足1a 6=，24a =，33a =，且数列{}1n n a a +-()n *∈N 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式．题型二、等差数列通项的性质【例9】 在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________．【例10】 等差数列123n a a a a ，，，，的公差为d ，则数列1235555n a a a a ，，，，是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为5d 的等差数列 C ．非等差数列D ．以上都不对【例11】 在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【例12】 在等差数列{}n a 中，若4515a a +=，715a =，则2a 的值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．2【例13】 等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若1410k a a a =+=，，则k = ． 题型三、等差数列的前n 项和【例14】 设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且1417a a ==，，则5______S = 【例15】 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【例16】 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 【例17】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．【例18】 在各项均不为0的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --等于（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2题型四、等差数列的前n 项和性质【例19】 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____ 【例20】 等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且139960a a a +++=，则12100a a a +++=【例21】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且1284S =，20460S =，求28S ．【例22】 有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对n +∈N 有7223n n S n T n +=+成立，求55a b ．【例23】 已知22()2(1)57f x x n x n n =-+++-，（1）设()f x 的图象的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证{}n a 为等差数列． （2）设()f x 的图象的顶点到x 轴的距离构成{}n b ，求{}n b 的前n 项和．【例24】 等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例25】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项及公差．【例26】 已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，如果48124a a =-=-，， （1）求数列{}n a 的通项公式（2）求n S 的最小值及相应的n 的值【例27】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ）A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >【例28】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【例29】 若等差数列{}n a 共有()*21n n N +∈项，,S S 奇偶分别代表下标为奇数和偶数的数列和，已知40,35S S ==奇偶，则数列的项数为( )A ．10B ．15C ．35D ．75【例30】 已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的最小自然数n 等于（ ）A ．83B ．82C ．81D ．80【例31】 已知数列{}n a 是等差数列，其前项和为n S ，347,24a S ==．（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设p q ，是正整数，且p q ≠，证明221()2p q p q S S S +<+．【例32】 有固定项的数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是79． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求这个数列的项数，抽取的是第几项．【练1】 有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对n +∈N 有7223n n S n T n +=+成立，求65a b ．随堂练习【练2】 数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若10100100,10S S ==，则110______.S =．【练3】 等差数列{}n a 的前m 项和m S 为30，前2m 项和2m S 为100，则它的前3m 项和3m S 为_______． 【练4】 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____． 【练5】 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4，S 5=35．（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n a n b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【练6】 设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m =( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【练7】 若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n =S __________． 【练8】 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 【练9】 等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 【练10】 在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2013S 的值等于 ．【练11】 设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______． 【练12】 在等差数列{}n a 中，123,4a a ==，则4731n a a a ++++等于 ．【练13】 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，321a ，22a 成等差数列，则9871098a a a a a a ++++的值为（ ） A ． 223+B ． 21-C ． 21+D ． 223-【练14】 等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 的值为（ ）A ． 55B ． 60C ． 65D ． 70【题1】 在等差数列{}n a 中，若46+12a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 的值为（ ）A ．48B ．54C ．60D ．66【题2】 已知{}n a 为等差数列，nS为{}n a 的前n 项和，*N n ∈，若320620a S ==，，则10S 的值为_______【题3】 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，264=1S S a =，，则5a =____________． 【题4】 设{}n a 为等差数列，公差2n d S =-，为其前n 项和．若1011S S =，则1a =（ ） A ．18 B ．20 C ．22 D ．24【题5】 已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中*n ∈N ．（1）设函数()y f x =的图象的顶点的横坐标构成数列{}n a ，求证：数列{}n a 为等差数列； （2）设函数()y f x =的图象的顶点到y 轴的距离构成数列{}n d ，求数列{}n d 的前n 项和n S ．【题6】 在等差数列{}n a 中，4512a a +=，那么它的前8项和8S 等于（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【题7】 已知等差数列{}n a 中，1313a a ==-，， （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n a 的前k 项和=-35k S ，求k 的值．课后作业【题8】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且416S =，864S =，求12S ．【题9】 设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，且91000S S ><，，求当n S 取得最大值时n 的值．。
高中数学讲义：等差数列性质
等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ¹：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+（2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *"³Î，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q+=+Û+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。
例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=×+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。
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麟子教育
一、等差数列的相关概念
1、等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。
2、等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+
3、等差数列通项公式
若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．
推广：d m n a a m n )(-+=，从而m
n a a d m n --=。
4、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112
n n n S na d -=+． 5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系
11,1,2
n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 二、等差数列的性质
1、等差数列的增减性
若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。
2、通项的关系
当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，
特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅
三、等差数列的判定与证明
1、等差数列的判定方法：
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列；
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+；
练习
一、选择题
1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
2、已知等差数列{}n a 的公差12d =
，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135
D ．160． 3、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S
A ．390
B ．195
C ．180
D ．120
4、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A.54S S <
B.54S S =
C. 56S S <
D. 56S S =
二．填空题
1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .
2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .
3、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=
三．解答题
1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.
2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；
②1212,,
,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.
3、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.。