特殊曲面及其方程 柱面、锥面、旋转面

引言

空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次

特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面

定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ焦作准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程

选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：

(),0

f x y z =⎧⎪⎨

=⎪⎩ 又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =

反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线

图

2

图1

u v

交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：

母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：

(),0f x y = （1）

它表示一个无限柱面。若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。

应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。

例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22

221,0x y z a b

-==和抛

物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为

22

222

22221,1,2x y x y y Px a b

a b

+=-== 它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。

例2：证明，若柱面的准线为

图3

(),0:0

f x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩ 母线方向为{}(),,0V l m n n =≠r

，则柱面方程为

,0l m f x z y z n n ⎛

⎫--= ⎪⎝

⎭ （2）

证：设()111,,0P x y 为准线Γ上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：

11,,

x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数） ①

当点1P 遍历准线Γ上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数ρ，由①式中最后一个式子得z

n

ρ=

，代入其余两个式子，有 11,l m

x x l x z y y m y z n n

ρρ=-=-=-=-

因点1P 在准线上，代入()11,0f x y =，即得(2)式

若柱面的准线为 ()1,0

:0

f x z y =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩

母线方向为 (){,,}0V l m n m =≠u v

则柱面方程为： 1:,0l n f x y z y m m ⎛

⎫Γ--= ⎪⎝⎭ （3）

若柱面的准线为： ()2,0

:0

f y z x =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩

母线方向为 (){,,}0V l m n l =≠u v

则柱面方程为 2:,0m n f y x z x l l ⎛

⎫Γ--= ⎪⎝

⎭ （4）

1.2 柱面的一般方程

设柱面的准线Γ是一条空间曲线，其方程为

()()12,,0

:,,0

F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩

母线方向为{},,l m n ，在准线Γ上任取一点()1111,,P x y z ，

则过点1P 的母线方程是： 11,,

x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数）

这里,,x y z 是母线上点的流动坐标。因点1P 的坐标应满足：

()()11112111,,0,,,0F x y z F x y z ==

()()12,,0

,,0

F x l y m z n F x l y m z n ρρρρρρ---=⎧⎪⇒⎨

---=⎪⎩ 从上面这两组式子中消去参数ρ，最后得一个三元方程

(),,0F x y z = (5)

这就是以Γ为准线，母线的方向数为,,l m n 的柱面方程。

例3：柱面的准线是球面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线，母线方向是{}1,1,1，求柱面的方向。

解：设()111,,x y z 是准线上任一点，则过这点的母线方程为

111,,x x y y z z ρρρ=+=+=+ 由此得 111,,

x x y y z z ρρρ=-=-=-

代入准线方程，得 ()()()2221

30

x y z x y z ρρρρ⎧-+-+-=⎪⎨++-=⎪⎩

消去参数ρ，得 222

1333x y z x y z x y z x y z ++++++⎛

⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

展开，化简后得 ()22223x y z xy yz zx ++---= 这就是所求的柱面方程。