线性变换和特征值

性质1 n 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特 征值。 性质2 设1, 2 , , n 是矩阵A的 n 个特征值， 则 1) 1 2 n a11 a22 ann
2) 12 n A 称 a11 a22 ann为矩阵A的迹，记为 tr (A)
性质3 设 为方阵A的特征值，则 1 1 A 1）当A可逆时， 是 的特征值 A 2） 是A的伴随矩阵 adj( A)的特征值 m m ( m N ) 3） 是 A 的特征值；进而有矩阵A的 m 次多项式 f (A) a0 Am a1Am1 am1A amI
的特征值为
f () a0 a1
m
m1

am1 am
例6.5 设矩阵
1 1 2 A 0 2 1 0 0 1
1)求及的特征值； 2)进一步求矩阵的特征值。 解： 1）由A的特征方程
6.1 n维空间的线性变换
定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x ,按照一定的对应法则T，总有 Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T 为从集合X到集合Y的映射，记为 y = T(x) 或 y = Tx ，x X称y是X在映射T下的像，x是y 在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全 体所构成的集合称为像集，记作 T X。
an 2
（6-4）
ann
称 f ( )为方阵A的特征多项式，方程 f ( ) 0称 为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程 的根。由于 f ( )是 的 n 次多项式，所以方 程 f ( ) 0在复数域内有 n个根（重根按重数 计算）。
矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤： 第一步：求特征值。先通过行列式（6-4） 的计算，写出其特征多项式 f ( )，这一步的 难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需 要很大的计算工作量； 第二步：并进行因式分解 f () ( 1 )( 2 )( n ) 然后求出特征方程 f ( ) 0的全部根 1 , 2 ,, n 这就是A的所有特征值； 第三步：把每个特征值 i分别代入方程，求 pi 齐次线性方程组(i I - A)x 0的非零解 ，它就 是A对应于特征值 i 的一个特征向量（不是 惟一的）。
2 1 1 x 0 2 4 2 4 0 x3
可得它的一个基础解系
1 1 ξ1 2 , ξ 2 0 , 0 1
所以k1ξ1 k2ξ2 (k1, k2 都不为
例6.4 求矩阵 量。 解： A的特征多项式
3 2 I A 2
4
3 2 4 A 2 0 2 4 2 3
4
的特征值和特征向
2 ( 1) 2 ( 8) 2 3
所以A的全部特征值为 1 2 1, 3 8 对于特征值 1 2 1, 解齐次线性方程组 (-I - A)x 0 ，即 4 2 4 x1 0
E(α + β) = α + β = E(α) + E(β), E( kα) = kα = kE(α)
所以恒等变换E是线性变换。
6.2 方阵的特征值和特征向量
6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算
定义6.3 设 A (aij )是 n 阶方阵，若存在数和 n 维非零列向量 x ，使得 成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向 量 x为方阵A对应于特征值 的特征向量。将 （6-1）式变形为 (I - A)x 0 (或 (A I)x 0 ) （6-2）
例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 y = T(x) Ax a a x y a 即
1 11 12 1n 1
y2 a21 ym am1
a22
am 2
a2 n x2 amn xn
定义6.2 设 Vn , Um 是实数域上的向量空间， T是一个从Vn 到 U m 的映射，若映射T满足
1) x1 , x2 Vn , 有T(x1 + x2 ) = T(x1） + T(x2 ) 2) x Vn , k R, 有T (kx)=kT(x）
则称T为从Vn 到 U m 的线性映射，或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射。
零）是A对应于特征值 1 1的全部特征向量。 对于特征值 ，解齐次线性方程组 3 8 ，得它的一个基础解系
(8I - A)x 0
2 ，所以 k3ξ3 ,(k3 ξ 3 1 2
0)
是A对应于特征
值8的全部特征向量。
6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质
Ax = x
（6-1）
满足这个方程的 和 x就是我们要求的特征 值和特征向量。 （6-2）式是含个 n 方程的 n元齐次线性方程 组，它有非零解的充要条件是
I - A 0
a11
a12 a1n a2 n 0
（6-3)
记作
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
a21 an1
a22
都是Rn到Rm的线性映射。 y = T(x) Ax 证：利用矩阵的数乘及乘法运算， 若y1 = Ax1 , y 2 = Ax2 , 显然 是Rn到Rm的映射。 有 y1＋ y 2 = Ax1＋Ax2＝A x1＋x2 及 ky1＝A kx1 即T是 Rn到Rm 的线性映射。
例6.2 向量空间V中的恒等变换 E : E(α) = α, α V 是线性变换。 证明：设 α, β V, k R ，则有